Дидактические материалы по теме "Четырехугольники"

Логико-дидактический анализ

содержания темы «Четырехугольники»

Тематическое планирование темы

На изучение темы «Четырёхугольники» 8 класс, учебник Атанасян Л.С. Геометрия, 7–9 по программе отводится 14 часов. Тематическое планирование изучения данной темы представлено в таблице 1.

Таблица 1.

Тематическое планирование, 2 часа в неделю

Номер параграфа	Содержание материала	Количество часов
§ 1	Многоугольники	2ч
§ 2	Параллелограмм и трапеция	6 ч
§ 3	Прямоугольник. Ромб. Квадрат	4 ч
	Решение задач	1ч
	Контрольная работа № 1	1 ч

Характеристика основных видов деятельности ученика

(на уровне учебных действий)

ГЛАВА V

Четырёхугольники

14 ч

Объяснять, что такое ломаная, многоугольник, его вершины, смежные стороны, диагонали, изображать и показывать многоугольники на чертежах; показывать элементы многоугольника, его внутреннюю и внешнюю области; формулировать определение выпуклого многоугольника; изображать и распознавать выпуклые и невыпуклые многоугольники; формулировать и доказывать утверждения о сумме углов выпуклого многоугольника и сумме его внешних углов; объяснять, какие стороны (вершины) четырёхугольника называются противоположными; формулировать определения параллелограмма, трапеции, равнобедренной и прямоугольной трапеций, прямоугольника, ромба, квадрата; изображать и распознавать эти четырёхугольники; формулировать и доказывать утверждения об их свойствах и признаках; решать задачи на вычисление, доказательство и построение, связанные с этими видами четырёхугольников; объяснять, какие две точки называются симметричными относительно прямой (точки), в каком случае фигура называется симметричной относительно прямой(точки) и что такое центр(ось) симметрии фигуры; приводить примеры фигур, обладающих осевой(центральной) симметрией, а также примеры осевой и центральной симметрии в окружающей нас обстановке.

Целеполагание

Тема «Четырёхугольники» в курсе геометрии основной школы является традиционным разделом и достаточно важным во всех периодах школьного образования. В курсе геометрии данная тема является актуальной, т.к. она используется при изучении других разделов геометрии – площадей, многоугольников, преобразованиях фигур, объёмов, многогранников.

Однако при изучении темы «Четырёхугольники» возникают определённые трудности: при применении определений, свойств и признаков четырёхугольников к решению практических задач, при решении задач на построение, к доказательству теорем.

Поэтому возникает необходимость в поиске наиболее эффективных форм и методов работы и с теоретическим материалом, и с задачным материалом по данной теме.

Материал в учебнике по данной теме представлен в V главе «Четырёхугольники», которая содержит три параграфа. Каждый параграф содержит теоретический материал, который разбивается на небольшие смысловые порции, что позволяет ученику лучше осознать и выучить теоретический материал по данной теме. После изучения каждого параграфа идёт система задач различной степени трудности на закрепление изученного материала, а после изученной главы идёт система упражнений и вопросов на отработку знаний, умений и навыков. Дан образец решения задач на доказательство (№378, №384), доказана теорема Фалеса (задача №385), дано решение задач на построение 393 а), 396, даны чертежи ко всем этим задачам.

Названия пунктов выделены другим цветом. Материал для заучивания (понятия, определения, формулировки теорем) выделен жирным тёмным цветом. Имеются рисунки и чертежи для наглядного представления теоретического материала, дано доказательство всех свойств и признаков рассматриваемых фигур.

Изложение материала носит дедуктивный характер.

Изучение темы «Четырехугольники» начинается с изучения многоугольников и его элементов. Понятие четырехугольника вводится через понятие многоугольника, затем рассматривается параллелограмм, определение, свойства, признаки. Трапеция вводится в том же параграфе, что и параллелограмм.

Параграф третий раскрывает понятия, свойства, признаки прямоугольника, ромба и квадрата. Определение прямоугольника и ромба даются на основе параллелограмма. Так как прямоугольник и ромб являются параллелограммом, то они обладают всеми свойствами параллелограмма. Также в учебнике рассматриваются особые свойства прямоугольника и ромба, добавляются особые свойства квадрата. В этом же параграфе вводятся осевая и центральная симметрия.

Процесс формирования понятий состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ранее изученными понятиями.

Во всех действующих в настоящее время учебниках геометрии осуществляется одинаковый подход во введении частных параллелограммов: прямоугольников, ромбов и квадратов. Частные виды четырехугольников рассматриваются в соответствии с условной единой методической схемой:

• дается определение (через ранее изученный вид четырехугольников),

указываются элементы;

• формулируются и доказываются свойства и признаки;

• рассматривается задача на построение этого четырехугольника.

В теме доказывается восемь утверждений (свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата).

В основе доказательства лежат признаки равенства треугольников, признаки параллельности прямых, свойства углов параллельных прямых и секущей, сумма углов треугольников, четырехугольников, многоугольников.

Процесс изучения школьниками теоремы включает следующие этапы: мотивация изучения теоремы; ознакомление с фактом, отражённым в теореме; формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы; усвоение содержания теоремы; запоминание формулировки теоремы; ознакомление со способом доказательства; доказательство теоремы; установление связей с ранее изученными теоремами.

Существует два вида формулирования теоремы: условная, категорическая. Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти к другому. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указано: при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы) и что в этом объекте утверждается (заключение теоремы).

При изучении теорем необходимо придерживаться следующей схемы:

1. Постановка вопроса (создание проблемной ситуации).

2. Обращение к опыту учащихся.

3. Высказывание предположения.

4. Поиск возможных путей решения.

5. Доказательство найденного факта.

6. Проведение доказательства в максимально простой форме.

Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, можно выделить по двум основаниям: по пути обоснования тезиса (прямое и косвенное); по математическому аппарату, используемому в доказательстве.

К прямым приемам доказательства относятся: прием преобразования условия суждения (синтетический), прием преобразования заключения суждения: а) отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); б) отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ), прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

К косвенным приемам поиска доказательств относятся: метод “от противного” (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения); разделительный метод или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения.

Для того чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказательствами, необходимо сформировать у них определенную последовательность умений: умение искать доказательство, умение проводить доказательство, умение оформлять доказательство теоремы.

При доказательстве теорем ученики, как показывает опыт, часто путают, признаки, свойства определения, неверно строят логические цепочки, умозаключения. Поэтому при работе с понятиями необходимо уже на этой теме формировать дедуктивное мышление, учить построению схем, таблиц, выявлять зависимости; делать правильные классификации.

Ожидаемые результаты – ученики должны

• Знать различные виды четырехугольников, их признаки и свойства.

• Уметь применять свойства четырехугольников при решении простых задач.

• Уметь решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними.

• Уметь решать задачи на построение.

Анализ дидактической единицы темы

С точки зрения логики:

– в теме представлены понятия:

Определения:

• многоугольника, выпуклого многоугольника;

• параллелограмма;

• трапеции;

• прямоугольника;

• ромба;

• квадрата;

• фигур симметричных относительно прямой;

• точек симметричных относительно точки;

• фигур симметричных относительно прямой;

• теорема Фалеса (в ходе решения задач);

Утверждения, не выделенные в тексте параграфа как теоремы:

1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны (доказано)

2.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (доказано);

3.Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм (доказано);

4.Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм (доказано);

5.Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм (доказано);

6.Диагонали прямоугольника равны (доказано);

7.Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник (доказано);

8.Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (доказано);

9. Все углы квадрата прямые;

10.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам.

Обязательные результаты обучения теме:

знать:

• определения (параллелограмма, многоугольника, ромба, квадрата, прямоугольника, трапеции) формулу суммы углов выпуклого четырёхугольника, точек симметрических относительно прямой, фигур симметрических относительно прямой, точек симметрических относительно точки, фигур симметрических относительно точки;

• формулировки свойств и признаков параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, виды трапеций,

уметь:

• изображать четырёхугольники, строить симметрические фигуры, относительно точки, прямой, строить симметрические точки, определять неизвестные элементы в данных фигурах;

Анализ задачного материала темы

При проведении анализа задачного материала темы определён вид задач и их дидактическая цель. Задачный материал классифицирован по способу задания, характеру требования, способу решения.

Результаты анализа задачного материала темы

№ задач

Вид задач

По способу задания

По характеру требования

По способу решения

По дидактической цели

№ 363

практическая

Задачи представлены математическим текстом

Начертить многоугольник, провести диагонали.

На построение.

Отработка понятия выпуклого многоугольника и его элементов

№ 364;365;368;370

вычислительная

Задачи представлены математическим текстом

Найти сумму углов или количество сторон многоугольника

арифметический

Отработка формулы о сумме углов многоугольника

№366;367

вычислительная

Задачи представлены математическим текстом

Найти длины сторон четырехугольника

алгебраический

Вспомнить периметр четырехугольника

№371;378;379;380;381;382;383

Задачи представлены математическим текстом

Доказать, что данный четырехугольник-параллелограмм

На доказательство

Применение определения, свойств и признаков параллелограмма

№372;373;374;375;376;377

вычислительная

Задачи представлены математическим текстом

Вычислить периметр параллелограмма

алгебраический

Применение определения, свойств и признаков параллелограмма

№ 384;385

Задачи представлены математическим текстом

Теорема Фалеса

На доказательство

Применение определения, свойств и признаков параллелограмма

№386;388;389

Задачи представлены математическим текстом

Доказать свойства и признаки трапеции

На доказательство

Применение определения, трапеции

№387;390;392

вычислительная

Задачи представлены математическим текстом

Вычислить стороны или углы трапеции

алгебраический

Применение определения, свойств и признаков трапеции

№391

прикладная

Задача представлена математическим текстом

Доказать, что из равнобоких трапеций можно сделать паркет

На доказательство

Применение свойств и признаков равнобедренной трапеции

№393;394;395

Задачи представлены математическим текстом

Построить параллелограмм

На построение

Применение определения, свойств и признаков параллелограмма

№ 396

Задача представлена математическим текстом

Разделить отрезок на части

На построение

Применение теоремы Фалеса

№ 397;398

Задачи представлены математическим текстом

Построить трапецию

На построение

Применение определения, свойств и признаков трапеции

№399;400;402;404

Задачи представлены математическим текстом

Доказать, что данный четырехугольник является прямоугольником

На доказательство

Применение определения, свойств и признаков прямоугольника

№401;403

вычислительная

Задачи представлены математическим текстом

Вычислить стороны прямоугольника

алгебраический

Применение определения, свойств и признаков прямоугольника

№405;406;407

вычислительная

Задачи представлены математическим текстом

Вычислить стороны или углы ромба

алгебраический

Применение определения, свойств и признаков ромба

№408

Задача представлена математическим текстом

Доказать свойства ромба

На доказательство

Применение определения, свойств и признаков ромба и параллелограмма

№409;411

Задачи представлены математическим текстом

Доказать, что данный четырехугольник является квадратом

На доказательство

Применение определения, свойств и признаков ромба

№412

вычислительная

Задача представлена математическим текстом

Вычислить периметр квадрата

алгебраический

Применение определения, свойств и признаков квадрата

№ 413;414;415

Задачи представлены математическим текстом

Построить прямоугольник, или ромб, или квадрат

На построение

Применение определения, свойств и признаков прямоугольника, ромба и квадрата

№ 416;417;418;422;423

практическая

Задачи представлены математическим текстом

Распознавать фигуры, обладающие осевой и центральной симметрией

Применение определений осевой и центральной симметрии

№419;420

Задачи представлены математическим текстом

Доказать, что данная фигура обладает симметрией

На доказательство

Применение определений осевой и центральной симметрии

№421

Задача представлена математическим текстом

Построить фигуру, симметричную данной

На построение

Применение определений осевой и центральной симметрии

В результате выполнения анализа задач была проведена их классификация по уровню сложности и виду:

Классификация задач по теме «Четырёхугольники»

Вид /сложность

задачи

I уровень сложности

II уровень сложности

III уровень сложности

Задачи

на вычисление

№364,365,368,390,405,

406,407.

№ 366,367,369,372,

374,376,387,401,403.

№370,373,375,377,392,

412.

Задачи

на доказательство

№371,399,400,404,408,

409,410,419,420.

№379,380,388,389,402

№381,382,383.386,391

411.

Задачи

на построение

№3693,414,416

№394,413,415,421.

№395,397,398.

Практические

задачи

№363

Математический диктант 1.

 Четырехугольник. Параллелограмм. Трапеция

1. Дан четырехугольник ABCD [MKPE]. Назовите его диагонали.

2. Как называется отрезок, соединяющий две противолежащие вершины четырехугольника? [Чем являются в четырехугольнике концы его диагоналей?]

3. Какие вершины четырехугольника АМОР являются соседними для вершины А? [Какие стороны четырехугольника ВСКМ являются соседними для КМ?]

4. Четырехугольник КЕРМ – параллелограмм. Сколько общих точек имеют прямые КЕ и РМ? [В четырехугольнике ВСОЕ стороны ВС и ОЕ параллельны, а углы В и С равны 90ْ. Являются ли четырехугольник ВСОЕ параллелограммом?]

5. Диагонали четырехугольника АВКМ пересекаются. Обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм? [Точка пересечения диагоналей четырехугольника ВСКМ не является серединой одной из них. Может ли этот четырехугольник быть параллелограммом?]

6. Точка пересечения диагоналей четырехугольника является серединой каждой из них. Как называется такой четырехугольник? [Точка М служит серединой отрезков КО и ВD. Как называется четырехугольник ВКDО?]

7. Диагонали параллелограмма равны 7 дм и 5 дм. На отрезки какой длины делит их точка пересечения? [Точка С – точка пересечения диагоналей параллелограмма ОВКМ. Какова длина диагоналей, если отрезки СО и СВ равны соответственно 3,5 см и 2,5 см?]

8. Один из углов параллелограмма равен 35˚. Чему равны остальные углы? [Периметр параллелограмма равен 20 см, а одна из сторон равна 3 см. Найдите длины остальных сторон.]

9. Периметр параллелограмма равен 26 м, а одна из сторон равна 5 м. Найдите длины остальных сторон. [Один из углов параллелограмма равен 45˚. Чему равны остальные его углы?].

10. Как называется четырехугольник у которого только две стороны равны

Математический диктант 2.

 Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Трапеция.

1. Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть прямой угол? [Обязательно ли является прямоугольником четырехугольник, у которого есть прямой угол?]

2. Верно ли, что каждый прямоугольник является параллелограммом? [Верно ли, что каждый параллелограмм является прямоугольником?]

3. Диагонали прямоугольника АЕКМ пересекаются в точке О. Отрезок АО равен 3 дм. Найдите длину диагонали ЕМ. [Диагонали параллелограмма равны 3 и 5 дм. Является ли этот параллелограмм прямоугольником?]

4. Диагонали четырехугольника равны. Обязательно ли этот четырехугольник – прямоугольник? [Сумма длин диагоналей прямоугольника равна 13 см. Найдите длину каждой диагонали.]

5. Периметр ромба равен 12 см. Найдите длины его сторон. [Верно ли, что каждый ромб является параллелограммом?].

6. Верно ли, что каждый параллелограмм является ромбом? [Периметр ромба равен 30 см. Найдите его стороны.]

7. Диагонали ромба делят его на четыре треугольника. Найдите углы каждого треугольника, если один из углов ромба равен 30˚. [Ромб АВСD имеет прямой угол. Является ли этот ромб квадратом?]

8. Две соседние стороны параллелограмма равны и образуют прямой угол. Как называется такой параллелограмм? [Диагонали квадрата делят его на четыре треугольника. Найдите углы каждого треугольника.]

9. Как называется трапеция, у которой один угол прямой( как называется трапеция, у которой боковые стороны равны)

Тема «Четырехугольники» в контрольных измерительных материалах представлена, в основном, задачами о параллелограмме ( и его частных видах: ромбе, прямоугольнике и квадрате), а также задачами о трапеции. Для их решения кроме определений, признаков и свойств перечисленных четырехугольников, изучаемых в школьном курсе планиметрии, могут быть полезны и некоторые сведения и приемы, встречающиеся в ходе решения школьных задач.

Тест можно использовать как при закреплении темы «Четырехугольники», так и при подготовке к ЕГЭ.

Тест №1

Вариант 1

1. Диагональ ромба, лежащая против угла в 60°, равна 10. Найдите периметр ромба.

1. 20 2) 40

1. 4  4) 2

1. Площадь параллелограмма, длина одной из сторон которого равна  , равна площади равностороннего треугольника с высотой 2 . Найдите высоту параллелограмма, проведенную к данной стороне.

1. 8 2) 8

3) 4  4) 4

1. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб так, что этот угол у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите длину того катета, которому принадлежит сторона ромба, если ее длина равна .

1. 0,6  2) 0,8 

3) 0,6 + 0,4   4) 3,6

1. В трапеции основания равны 16 и 44, а боковые стороны – 17 и 25. Найдите площадь трапеции.

1. 900 2) 225

3) 450 4) 225

5. Стороны параллелограмма равны 10 и 24, а одна из диагоналей равна 26. Найдите длину другой диагонали.

6. Основания трапеции равны 16 и 20, а одна из диагоналей равна 18. Найдите длину большего из отрезков, на которые делится эта диагональ точкой пересечения диагоналей.

Вариант 2

1. В прямоугольнике меньшая сторона равна 2 и вдвое меньше диагонали. Найдите периметр прямоугольника.

1. 2 + 2  2) 4 + 4

3) 4  4) 4

2. Диагональ ромба равна 1,25. Этот ромб равновелик равнобедренному треугольнику с боковой стороной 13 и основанием 10. Найдите вторую диагональ ромба.

1) 96 2) 9,6

3) 48  4) 4,8

3. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие – на катетах. Найдите длину катета, если сторона квадрата равна .

1) 4,5 2) 4,5

3)   4) 2,25

4. В равнобокой трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

1) 640 2) 256

3) 512 4) 128

5. Стороны параллелограмма равны 15 и 20, а одна из диагоналей равна 25. Найдите длину другой диагонали.

6. Основания трапеции равны 12 и 18, а одна из диагоналей равна 20. Найдите длину меньшего из отрезков, на которые делится эта диагональ точкой пересечения диагоналей.

Ответы к тесту №1

Номер задания	1	2	3	4	5	6
Вариант 1	2	4	1	3	26	10
Вариант 2	2	1	4	2	25	8

Список используемой литературы:

• Сборник задач по геометрии, автор Ю. А. Глазков

• Учебник Геометрия 7-9 кл, автор Л. С. Атанасян

• Справочник по геометрии, автор М. Д. Бурмистрова

Тест 2 «Четырёхугольники»

1 вариант

1. Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны

1. ромб

2. трапеция

3. квадрат

4. прямоугольник

2. Трапеция, у которой один из углов равен 90 градусов, называется

1. равнобедренной

2. остроугольной

3. тупоугольной

4. прямоугольной

3. Любой ромб является:

1. квадратом

2. прямоугольником

3. параллелограммом

4. трапецией

4.Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм:

1. ромб

2. квадрат

3. прямоугольник

4. нет правильного ответа

5.Любой прямоугольник является:

1. ромбом

2. квадратом

3. параллелограммом

4. нет правильного ответа

6.Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник:

1. ромб

2. квадрат

3. прямоугольник

4. нет правильного ответа

7.Диагонали четырёхугольника в точке пересечения делятся пополам. Одна из его сторон равна 4 см. Чему равна противолежащая сторона?

1. 2 см

2. 8 см

3. 4 см

4. 6 см

8.Сумма двух углов параллелограмма  равна 100 градусов, найдите углы параллелограмма.

1. 40, 140

2. 80, 100

3. 50, 130

4. 40, 60

9.Квадрат - это…

1. параллелограмм с равными сторонами

2. параллелограмм с равными углами

3. прямоугольник, у которого все стороны равны

4. нет правильного ответа

10.У этого четырёхугольника диагонали всегда равны?

1. трапеция

2. прямоугольник

3. ромб

4. параллелограмм

11.В равнобедренной трапеции один из углов равен 110 градусов. Найдите все углы.

1. 55, 55, 125, 125

2. 180, 70, 180, 70

3. 70, 110, 70, 110

4. нет верного ответа

12.Найдите периметр ромба, если один из его углов равен 60 градусов, а меньшая диагональ равна 12 см.

1. 48 см

2. 36 см

3. 24 см

4. 72 см

Тест «Четырёхугольники»

2  вариант

1.Квадрат - это…

1. параллелограмм с равными сторонами

2. параллелограмм с равными углами

3. прямоугольник, у которого все стороны равны

4. нет правильного ответа

2.У этого четырёхугольника диагонали всегда равны?

1. трапеция

2. прямоугольник

3. ромб

4. параллелограмм

3. Любой прямоугольник является:

1. ромбом

2. квадратом

3. параллелограммом

4. нет правильного ответа

4. Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны

1. ромб

2. трапеция

3. квадрат

4. прямоугольник

5. Трапеция, у которой один из углов равен 90 градусов, называется

1. равнобедренной

2. остроугольной

3. тупоугольной

4. прямоугольной

6. Любой ромб является:

1. квадратом

2. прямоугольником

3. параллелограммом

4. трапецией

7.Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм:

1. ромб

2. квадрат

3. прямоугольник

4. нет правильного ответа

8.Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник:

1. ромб

2. квадрат

3. прямоугольник

4. нет правильного ответа

9.Найдите периметр ромба, если один из его углов равен 60 градусов, а меньшая диагональ равна 12 см.

1. 48 см

2. 36 см

3. 24 см

4. 72 см

10.Диагонали четырёхугольника в точке пересечения делятся пополам. Одна из его сторон равна 4 см. Чему равна противолежащая сторона?

1. 2 см

2. 8 см

3. 4 см

4. 6 см

11.Сумма двух углов параллелограмма  равна 100 градусов, найдите углы параллелограмма.

1. 40, 140

2. 80, 100

3. 50, 130

4. 40, 60

12.В равнобедренной трапеции один из углов равен 110 градусов. Найдите все углы.

1. 55, 55, 125, 125

2. 180, 70, 180, 70

3. 70, 110, 70, 110

4. нет верного ответа

Тематический зачет

проводится в конце изучения темы и направлен на систематизацию, обобщение и проверку усвоения учащимися материала данной темы.

Проведение зачета дает возможность объективно оценить конкретные знания и умения ученика по данной теме, повысить качество его знаний, указать на пробелы, дать возможность их устранить. Зачет способствует более глубокому, осознанному усвоению учебного материала, предъявляет повышенные требования к уровню знаний учащихся, стимулирует систематическую домашнюю работу учеников.

На зачет выделяется два урока перед контрольной работой, т.к. при подготовке к сдаче зачета идет повторение учебного материала и закрепление навыков решения задач.

Зачет проводятся в открытой форме. В начале изучения темы в классе вывешивается список вопросов, охватывающих теоретический материал всей темы, задачи для подготовки к зачету, указываются сроки проведения зачета. При подготовке к зачету проводятся индивидуальные консультации по содержанию учебного материала, восполняются пробелы, возникающие у отдельных учащихся, как следствие недостаточной подготовленности к усвоению учебного материала.

Перед сдачей зачета обязательно обговариваются критерии оценки. Учащиеся сначала устно сдают теоретические вопросы, а затем приступают к выполнению практической части.

Все вопросы теории разбиты по билетам. Каждый билет теории содержит два вопроса. В ответе на первый вопрос учащийся должен дать формулировку требуемого понятия или теоретического факта, наглядно его проиллюстрировать, привести необходимый пример. Строгие доказательства или обоснования при ответе на первый вопрос не предусматриваются. При ответе на второй вопрос билета ученик должен продемонстрировать умение обосновать утверждение, вывести формулу, доказать теорему и т.п.

Практическая часть зачета содержит задачи обязательного уровня, аналогичные тем, которые были приведены в списке, и более сложные задания, рассчитанные на более подготовленных учеников. Данные задачи соответствуют трем уровням сложности:

• уровень сложности А – это минимум того, что должен знать ученик – база;

• уровень сложности В – “твердая четверка”;

• уровень сложности С – на “пятерку”.

Каждый ученик имеет право сам, добровольно выбрать для себя уровень сложности, что способствует психологическому комфорту ученика в школе, формирует у него чувство уважения к себе и к окружающим, вырабатывает ответственность и способность к принятию решений.

Вопросы для подготовки к зачету:

1. Объясните, какая фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника?

2. Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.

3. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.

4. Начертите четырехугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины.

5. Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?

6. Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?

7. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

8. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

9. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

10. Какой четырехугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции?

11. Какая трапеция называется равнобедренной? Прямоугольной?

12. Какой четырехугольник называется прямоугольником? Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

13. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

14. Какой четырехугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

15. Какой четырехугольник называется квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата.

Задачи для подготовки к зачету по теме “Четырехугольники”

1. Один из углов параллелограмма равен 55⁰ Найдите основные углы.

2. Один из углов параллелограмма на 50⁰ меньше другого. Найдите все углы параллелограмма.

3. Периметр параллелограмма равен 64 см, а одна из его сторон больше другой стороны на 4 см. Найдите стороны параллелограмма.

4. В параллелограмме АВСD О – точка пересечения диагоналей, ВD = 12 см, АD = 8 см, АО = 7 см. Найдите периметр треугольника ВОС.

5. В ромбе угол между диагональю и стороной равен 25⁰. Найдите углы ромба.

6. Дано: АВСD – параллелограмм, О – точка пересечения его диагоналей, ВС = 12 см, периметр треугольника СОD равен 24 см, периметр треугольника АОD равен 28 см. Найдите периметр параллелограмма АВСD.

7. Дано: АВСD – параллелограмм (Рисунок1) , Р_АОВ = 17 см, ВС = 9 см, СD = 6 см. Найти: Р_АОD.

Рисунок 1.

8. Дано: АВСD – прямоугольник, точка О – точка пересечения его диагоналей. АВD больше СВD на 20⁰. Найти углы треугольника АОD.

9. Стороны ромба образуют с его диагоналями углы, один из которых в 4 раза больше другого. Найдите углы ромба.

10. Сумма трех углов параллелограмма равна 254⁰. Найдите углы параллелограмма.

11. Дано: АВСD – параллелограмм (Рисунок2), ВЕ – биссектриса АВС, АЕ = 8 см, ЕD = 2 см. Найти: периметр параллелограмма.

Рисунок 2.

12. В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне, острый угол трапеции равен 45⁰. Найдите отношение оснований.

13. Дано: АВСD – параллелограмм (Рисунок3), АМ и DN – биссектрисы углов ВАD и АDС, МN = 8 см, Р_АВСD = 44 см. Найти стороны параллелограмма.

Рисунок 3.

Проверка теории (по билетам):

Билет №1

1. Объясните, какая фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника?

2. Сформулируйте свойства параллелограмма. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Билет №2

1. Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.

2. Сформулируйте признаки параллелограмма и докажите один из них (по выбору).

Билет №3

1. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.

2. Какой четырехугольник называется квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата.

Билет №4

1. Начертите четырехугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины.

2. Сформулируйте и докажите признак прямоугольника.

Билет №5

1. Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника?

2. Сформулируйте свойства прямоугольника и докажите его “особое” свойство.

Билет №6

1. Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым многоугольником?

2. Какой четырехугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Билет №7

1. Какой четырехугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции?

2. Сформулируйте свойства параллелограмма и докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Билет №8

1. Какая трапеция называется равнобедренной? прямоугольной?

2. Какой четырехугольник называется прямоугольником? Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

Билет №9

1. Какой четырехугольник называется квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата.

2. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Билет №10

1. Какой четырехугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

2. Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника.

Билет №11

1. Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым многоугольником?

2. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны , то параллелограмм является прямоугольником.

Билет №12

1. Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.

2. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Билет №13

1. Какой четырехугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции?

2. Сформулируйте признаки параллелограмма и докажите один и з них (по выбору).

Практическая часть зачета

I вариант

Уровень А:

1. В параллелограмме АВСD найдите:

а) стороны, если ВС на 8 см больше стороны АВ, а периметр равен 64 см; 
б) углы, если угол А равен 38⁰.

2. В прямоугольной трапеции один угол 110⁰, найдите остальные углы.

3. Найдите одну из диагоналей ромба, если один из его углов 60⁰, а периметр равен 16 см.

Уровень В:

1. Дано: АВСD – прямоугольник, АВD = 48⁰. Найдите СОD, САD.

2. Периметр параллелограмма 46 см. Найдите стороны параллелограмма, если сумма трех его сторон равна 42 см.

3. Из вершины тупого угла ромба проведен перпендикуляр к его стороне, делящий эту сторону пополам. Найдите углы ромба.

Уровень С:

1. Дано: ABCD – параллелограмм, AD = 11 см, CD = 4 см. Периметр треугольника BOC равен 26 см. Найдите периметр треугольника АОВ, если точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

2. ABCD – прямоугольник (Рисунок4), BE ^ АС, АВ = 12 см, АЕ : ЕС = 1 : 3. Найти диагонали прямоугольника.

Рисунок 4.

3. В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне, острый угол трапеции равен 45⁰. Найдите отношение оснований.

II вариант

Уровень А:

1. Один из углов параллелограмма в три раза больше другого его угла. Найдите все углы параллелограмма.

2. Докажите, что ромб, у которого угол между диагональю и стороной равен 45⁰, является квадратом.

3. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Е – середина стороны АВ, ВАС = 50⁰. Чему равен ЕОD?

Уровень В:

1. ABCD – параллелограмм, ВЕ – биссектриса АВС; периметр ABCD равен 48 см, АЕ больше ED на 3 см. Найти стороны параллелограмма.

2. ABCD – прямоугольник; АОВ = 36⁰. Найти: CAD, BDC, если точка О – точка пересечения диагоналей прямоугольника.

3. Сторона ромба в два раза больше перпендикуляра, проведенного к ней из вершины тупого угла. Найдите углы ромба.

Уровень С:

1. Дано: ABCD – параллелограмм, точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, периметр треугольника АОВ равен 21 см, периметр треугольника BOC 24 см, CD = 6 см. Найти периметр параллелограмма ABCD.

2. Дано: ABCD – прямоугольник (Рисунок5), СЕ  BD, CD = 10 см, DЕ : ОС = 1 : 2. Найти диагонали прямоугольника.

Рисунок 5.

3. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол в 120⁰. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найти углы трапеции.

Проверочная работа по геометрии. 8 класс.

Четырехугольники.

1 вариант.

1. Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 40 см, а сторона АВ больше ВС на 4 см.

2. Найти углы параллелограмма АВСД, если известно, что угол А больше угла В в 3 раза.

3. Найти углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 75º.

4. Найти диагонали прямоугольника АВСД, если , СД=4 см.

5. В четырехугольнике АВСД: АВ=СД, Докажите, что АВСД – параллелограмм.

6. В ромбе АВСД угол А равен . Диагонали ромба пересекаются в точке О. Найти углы треугольника ВОС.

7. Доказать любой из признаков параллелограмма

2 вариант.

1. Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 54 см, а сторона АВ больше ВС в 2 раза.

2. Найти углы параллелограмма АВСД, если известно, что угол А меньше угла В на 

3. Найти углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 120º.

4. Найти диагонали прямоугольника АВСД, если , АД=6 см.

5. В четырехугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна . Докажите, что АВСД – параллелограмм.

6. В ромбе MHPK с тупым углом K диагонали пересекаются в точке Е. Один из углов треугольника РКЕ равен . Найти углы ромба.

7. Доказать особое свойство прямоугольника

№		Содержание дидактической единицы материала		Номенклатура заданий
1		Понятие «Многоугольник»		М1-2, 3; ЗТ-1,2,3,4,5; ЗП -10; ПТ-7; ПП-5
2		Понятие «Параллелограмм»		М1-4,5,7,8,9; М2-1,2,3,6,8; Т1-4,8; Т2-2,5; ЗТ – 6,7,8,9; ЗП -1,2,3,4,6,7; ПТ-7; ПП-1,2
3		Признаки параллелограмма		М1-8,9; М2-1,2; Т1-5; Т2-4,5,8; ЗТ-7,8,9; ЗП-6,7,10; ПТ-7; ПП-1,2
4	Понятие «Трапеции»		М1-10; М2-9; Т1-1,2,11; Т2-4,6; ЗТ-10,11; ЗП-12; ПП-3;
5	Понятие «Прямоугольник»		М2-1,2,3,4; Т1-1; Т2-5,3; ЗТ-12,13; ЗП-8; ПТ-7; ПП-4
6	Свойство диагоналей прямоугольника		М2-1,3,4; Т1-1; ЗТ-12,13; ЗП-7,8; ПТ-7; ПП-4.
7	Признак прямоугольника		М2-3; Т2-10; ЗТ-12,13; ЗП-8; ПТ-7; ПП-4.
8	Понятие «Ромб»		М2-5,6,7; Т1-2,3; Т2-6,7,9; ЗТ-14; ЗП-5,9; ПП-6.
9	Свойство ромба		М2-5,6,7; Т1-1; Т2-9,12; ЗТ-14; ЗП-9; ПП-6.
10	Понятие «Квадрат»		М2-8; Т1-3; Т2-1; ЗТ-15.
11	Основные свойства квадрата		М2-8; Т1-3; Т2-9,10; ЗТ-15.