Деление с остатком

Деление с остатком

Вы не раз встречались с такой ситуацией, когда целое число не делится на натуральное без остатка. Теперь мы разберём этот случай подробно.

Рассмотрим деление числа 13 на 5.

Число 13 не делится на 5. Наибольшее число, которое делится на 5 и не превосходит 13, равно 10 = 5·2. Таким образом, 13 = 5·2+3, и мы скажем, что в результате деления 13 на 5 получается частное 2 и остаток 3.

Обозначим целое делимое буквой а, делитель (натуральный) буквой b, частное от деления числа а на число b – буквой q, а остаток от деления – буквой r.

Оказывается, любое число a можно разделить с остатком на любое число . А именно, найдутся два числа q и r такие, что , и при этом будет выполнено неравенство |.

Число q называется частным, а число r - остатком от деления a на b.

Если r = 0, то есть , то a делится на b без остатка.

Упражнение. Найдите частное и остаток от деления: а) 7 на 2; б) 15 на 4; в) 2012 на 5; г) 1001 на 13; д) 9 на 8; е) 8 на 9.

Остаток от деления любого нечётного числа на 2 равен единице. Вот почему всякое нечётное число может быть записано в виде 2n + 1. Остатки оказываются полезными во многих ситуациях. Допустим, в ходе решения задачи вам нужно доказать, что равенство не может выполняться ни при каких целых числах n и k. Рассуждаем следующим образом.

Число n при делении на 3 может давать остатки 0, 1 или 2. Иными словами, возможны три случая: или . Какие остатки при делении на 3 будут у числа ? Давайте посмотрим, что получается в каждом из трёх случаев.

(остаток 0); (остаток 1); (остаток 1). Таким образом, квадрат целого числа при делении на 3 не может давать остаток 2. Следовательно, равенство действительно невозможно ни при каких n и k.

Пример. Доказать, что если целые числа а и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю, то число аb – 1 делится на 3.

Доказательство: По условию, числа а и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю. Т.е. возможны варианты, когда в остатке остаётся либо 1, либо 2. Других вариантов нет. Значит, либо а = 3k + 1 и b = 3p + 1, либо а = 3k + 2 и b = 3p + 2, где k и p – целые числа.

В первом случае получаем:

. Т.к. один из множителей делится на 3, то и всё произведение делится на 3. Значит, аb – 1 делится на 3.

Во втором случае получаем:

Т.к. один из множителей делится на 3, то и всё произведение делится на 3. Значит, аb – 1 делится на 3.

И в первом, и во втором случае мы получили верное утверждение. Значит, если целые числа а и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю, то число аb – 1 делится на 3, ч.т.д.

1. Выберите число, при делении которого на 5 получится остаток 3.                          
               12                         26                          39                         44                         68 

2. Выберите делитель числа 58, чтобы в результате получился остаток 3.                          
                3                          4                        5                         6                         7    

3. Выполните деление с остатком и запишите результат в виде формулы   

1. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

2. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели?

1. Наташа разделила число 61 на некоторое число и получила остаток 5. На какое число делила Наташа?

2. В отряде 27 туристов. Какое наименьшее количество лодок надо взять на лодочной станции, чтобы всем одновременно переправиться через реку, если вместимость лодки 4 человека?

3. В загородный лагерь необходимо вывезти 150 человек. Какое наименьшее количество автобусов надо заказать, если вместимость автобуса 42 пассажира?

4. Бабушка сварила 43 л вишнёвого варенья. Какое наименьшее количество трёхлитровых банок надо взять, чтобы разлить всё варенье?

1. Антон живёт в доме с одним подъездом, в квартире № 49. На каком этаже живёт Антон, если на каждом этаже расположено по 8 квартир?

2. Необходимо разлить в банки 17 л кваса. Какое наименьшее количество двухлитровых банок надо взять, чтобы разлить весь квас?

3. На туристический слёт приехали 112 участников. Какое наименьшее количество шестиместных палаток должны заготовить организаторы, чтобы разместить всех участников?

4. Число a кратно 6. Докажите, что число  кратно 36.

5. Докажите, что сумма квадрата целого числа и самого числа есть число чётное.

6. Докажите, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел при делении на 4 даёт остаток 1.

7. Число a кратно 3. Может ли остаток от деления числа a на 12 быть равным 2?

8. Чётные числа a и b, не кратные 6, при делении на 6 дают разные остатки. Докажите, что сумма a+b делится на 6.

1