Доказательство неравенств.

Доказательство неравенств.

Пупкова Т.В., учитель математики МАОУ «Многопрофильный лицей №1» г. Магнитогорск

Решение задач на доказательство неравенств.

• При решении задач на доказательство неравенств или равенств часто применяются следующие способы:

Использование формул о среднем арифметическом и среднем геометрическом неотрицательных чисел.

• Среднее арифметическое неотрицательных чисел.
• Среднее геометрическое неотрицательных чисел.

x + y + z Для всех положительных х, у, z . __ __ __ _ z x y " width="640"

Пример использования формул.

• Доказать справедливость неравенства
• x у + у z + zx x + y + z
• Для всех положительных х, у, z .

__

__

__

_

z

x

y

_ y = x x z z 2 xy + zy __ __ x z ______ _ y 2 " width="640"

• Доказательство:
• 1) Применим формулу

Истинную для всех положительных значений a, b.

• xy + yz

; ;

;

______

__

______

__

√

xy

. yz

x

√

z

__

__

______

xy

. yz

__

__

_

y

=

x

x

z

z

2

xy + zy

__

__

x

z

______

_

y

2

2 zy + zx __ __ x y ______ _ z 2 " width="640"

• Аналогично:

;

;

Почленным сложением получившихся неравенств получим истинность первоначального неравенства.

xy + zx

__

__

z

y

______

_

x

2

zy + zx

__

__

x

y

______

_

z

2

Применение принципа математической индукции.

• Математическая индукция — в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

• Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Пример математической индукции.

• Доказать, что, каковы бы ни были натуральное n и вещественное q ≠ 1, выполняется равенство:

• Доказательство.
• Индукция по n. База, n = 1:
• Переход: предположим, что
• тогда

• Что и требовалось доказать.

Использование неравенств вида:

0 и y 0 " width="640"

Пример использования данных неравенств.

• Доказать справедливость неравенства

( x+2)(y+2)(x+y) ≥ 16xy

При х 0 и y 0

2√2 ; ____ . ____ . ____ __ __ __ _ 16 y xy x √ √ √ _ _ _ _ __ __ _____ __ _ _ _ _ √ 2 √ x √ x √ x _ _ _ _ __ __ _ _ _ √ x √ 2 " width="640"

• Неравенство, которое нам дано равносильно следующему:

x+2 y+2 x+y

Преобразуем каждый сомножитель левой части полученного выражения:

x + 2 = √x + 2 = √2 ( √x + √2 ) ;

√ 2 ( √x + √2 ) 2√2 ;

____

. ____

. ____

__

__

__

_

16

y

xy

x

√

√

√

_

_

_

_

__

__

_____

__

_

_

_

_

√ 2

√ x

√ x

√ x

_

_

_

_

__

__

_

_

_

√ x

√ 2

2√2; x + y При почленном умножении получившихся неравенств получим: x+2 y+2 x+y _ _____ __ _ √ y ____ __ _ 2 √ xy ____ . ____ . ____ __ __ _ _ 16 √ x √ y √ xy Что и требовалось доказать. " width="640"

• Второй и третий множитель аналогично:

y + 2 2√2;

x + y

При почленном умножении получившихся неравенств получим:

x+2 y+2 x+y

_

_____

__

_

√ y

____

__

_

2

√ xy

____

. ____

. ____

__

__

_

_

16

√ x

√ y

√ xy

• Что и требовалось доказать.

Метод неопределённого неравенства.

• Неравенство называется неопределённым, если у него знак \/ или /\ , т.е. когда мы не знаем в какую сторону следует повернуть этот знак, чтобы получить справедливое неравенство.
• Здесь действуют те же правила доказательства, что и с обычными неравенствами.

2 где a – положительное число. _ _ a " width="640"

Пример неопределенного неравенства.

Доказать справедливость неравенства.

a + 1 2

где a – положительное число.

_

_

a

0 Значит и первоначальное выражение истинно, что и требовалось доказать. _ " width="640"

Доказательство:

• Умножая обе части неравенства на a , получим:

a 2 + 1 \/ 2a

Перенесем все в левую часть:

а 2 + 1 – 2a \/ 0

Получаем формулу: Квадрат разности:

( a – 1 ) 2 \/ 0

Так как квадрат любого числа всегда положительный, следовательно

( a – 1) 2 0

Значит и первоначальное выражение истинно, что и требовалось доказать.

_

Задачи на самостоятельное рассмотрение.

6 √xyz Для всех неотрицательных х, у, z . ___ _ " width="640"

№ 1

• Доказать неравенство:
• Х(1+У) + У(1+ Z) + Z(1+x) 6 √xyz
• Для всех неотрицательных х, у, z .

___

_

2 √ xyz Y + zx 2 √ xyz Z+ xy 2 √ xyz ___ Почленным сложением полученных неравенств убеждаемся в истинности первоначального неравенства. _ ___ _ ___ _ " width="640"

Доказательство:

• Левую часть представим в виде:
• ( x+yz) + (y+zx) + (z+xy)
• Теперь применим формулу:
• X + yz 2 √ xyz
• Y + zx 2 √ xyz
• Z+ xy 2 √ xyz

___

Почленным сложением полученных неравенств убеждаемся в истинности первоначального неравенства.

_

___

_

___

_

12 для неотрицательных значений х, у, z , если х + у + z=16. _ " width="640"

№ 2

• Доказать справедливость неравенства х 2 +у 2 + z 2 12 для неотрицательных значений х, у, z , если х + у + z=16.

_

Доказательство

• Из истинности неравенств :
• x 2 +y 2 ≥2xy; x 2 +z 2 ≥2xz; y 2 +z 2 ≥2yz;
• Следует:
• 2(х 2 +у 2 + z 2 )≥2xy + 2xz + 2yz
• Возведем обе части равенства в квадрат:
• Х 2 +у 2 + z 2 +2(xy+xz+yz)=36
• Преобразуем:

1)3(х 2 +у 2 + z 2 ) = (х 2 +у 2 + z 2 )+2(х 2 +у 2 + z 2 ) ;

2)(х 2 +у 2 + z 2 ) + 2 xy + 2zx + 2yz = 36;

• Следовательно получаем:
• 3(х 2 +у 2 + z 2 ) ≥ 36.
• х 2 +у 2 + z 2 ≥ 12.
• Что и требовалось доказать.

16х 3 для всех х [0; ∞). _ " width="640"

№ 3

• Доказать справедливость неравенства (х 3 +х 2 +х+1) 2 16х 3
• для всех х [0; ∞).

_

Доказательство.

• Данное неравенство при указанных значениях х равносильно неравенству х 3 +х 2 +х+1 ≥4х√х
• Левую часть преобразуем:
• х 2 (х+1) + (х+1) = (х+1)(х 2 +1)
• Применим формулу для а≥0; b≥0.
• Тогда
• Х+1≥2√х ; х 2 +1≥2х.
• Поэтому (х+1)(х 2 +1) ≥ 4х√х
• Что и требовалось доказать.