Экономические задачи

Содержание

1. Введение…………………………………………………………….4

2. Решение задач …………..……………….…………………………5

2.1. Задачи на определение суммы выплат. ………………………..6

2.2. Задачи на определение процентной ставки банка……………10

2.3. Задачи на определение срока кредитования………………….12

2.4. Задачи на определение суммы ежегодного платежа…………14

2.5. Задачи на определение оптимального выбора варианта…….13

3. Приложения

4. Список литературы

.

Введение

Начиная с 2015 года, в контрольные измерительные материалы профильного ЕГЭ по математике во вторую часть была включена задача 19 с экономическим содержанием (в структуре ЕГЭ 2016 теперь это задание 17, далее по тексту «задание 17»).

Новое задание сразу привлекло внимание и учащихся, и учителей практико-ориентированной направленностью. Введение текстовых задач с экономическим содержанием в ЕГЭ 2015 есть наиболее заметное изменение во всём комплексе заданий контрольных измерительных материалов с развёрнутым ответом. Во всех заданиях второй части предыдущих лет условие с самого начала формулировалось в математических терминах и отдельно не предполагало построения какой-либо математической модели.

Существенно усилена сюжетная, практико-ориентированная, составляющая условия в заданиях 17. Сами сюжеты не есть прямые цитаты «из жизни», они уже являются некоторыми текстовыми упрощениями, моделями, реально возникающих ситуаций. Эти сюжеты условно можно разделить на два типа, использующих соответственно дискретные модели (проценты, погашение кредитов, …) и непрерывные модели (различные производства, протяжённые во времени, объёмы продукции, …). Критерии оценивания задания, спецификация КИМ ЕГЭ 2015 профильного уровня по математике, кодификатор требований к уровню подготовки выпускников и элементов содержания КИМ приведены в Приложении 1.

Работа с учащимися профильной школы, нацеленных на продолжение образования в высших учебных заведениях с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов; работа с коллегами в городской проблемной группе «Системная подготовка обучающихся 9-11 классов к государственной итоговой аттестации по математике» вскрыла проблему, вставшую как перед учащимися, так и учителями. Для овладения прочными навыками решения задач с экономическим содержанием недостаточно учебных материалов, сборников задач. Материалы по данной теме приходится собирать из разных источников.

Работа экспертом предметной комиссии по проверке экзаменационных работ ЕГЭ и ГВЭ по математике, показала, что в экзаменационных работах ЕГЭ 2015 года самой распространённой ошибкой учащихся при решении задания 19 (ныне 17) было неверное понимание условия, поэтому текстовая задача с экономическим содержанием вызвала затруднения в составлении правильной математической модели. Процент учащихся Кемеровской области, получивших положительный балл (1, 2 или 3) за решение составил всего 2,3%. Процент выполнения учащимися нашей гимназии 3%. Количество учащихся, приступивших к выполнению задачи с экономическим содержанием, составил …% в Кемеровской области и …..% гимназии.

Статистика показывает, что решение текстовых задач в целом, и в частности, задач на проценты, вызывает у учащихся трудности. Многие ученики не приступают к их решению. Большой объём текста, экономические термины, используемые в условии, сбивают с толку учащихся, отталкивают от решения данных заданий.

Итоговая аттестация выпускников по математике в форме ЕГЭ является обязательной, поэтому проблема подготовки учащихся к этой процедуре сегодня актуальна.

С целью оказания помощи учителю математики при подготовке учащихся профильной школы к единому государственному экзамену, помощи учащимся в овладении знаний по решению задач с экономическим содержанием, решено собрать и систематизировать материал по данной теме. Это облегчит труд учителя, позволит не обращаясь к дополнительной литературе, получить желаемый результат: учителю научить, а учащимся научиться решению задач с экономическим содержанием.

Предлагаемый учебно – методический комплект «Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задачи с экономическим содержанием. Задание 17», призван оказать помощь учителю математики и старшеклассникам при подготовке к ЕГЭ. Учебно – методический комплект включает в себя:

1. Методическое пособие для учителя.

2. Сборник задач экономического содержания. Часть 1(Сборник задач для проверки знаний, необходимых для решения задания 17.)

3. Сборник задач экономического содержания. Часть 2 (Задачник)

4. Буклет «Экономический словарь», объясняющий значение экономических терминов, встречающихся в условии текстовых задач.

Предлагаемый комплект может быть использован на дополнительных занятиях для подготовки к итоговой аттестации учащихся профильных классов.

Представленные материалы являются результатом работы с учащимися профильных классов учебного заведения, в котором работаю, и могут быть использованы на дополнительных занятиях для подготовки к итоговой аттестации учащихся профильных классов.

Методическое пособие для учителя является частью учебно–методического комплекта «Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задачи с экономическим содержанием. Задание 17». Цель данного пособия: оказать методическую помощь учителям, работающим по указанному комплекту.

Пособие знакомит с алгоритмом решения задач различного типа задач с экономическим содержанием, предлагает методические рекомендации по составлению математической модели и отработки алгоритма решения задач. Если при решении задачи встретится незнакомое понятие, связанное с экономикой, следует обратиться к буклету «Экономический словарь».

Следует отметить не статичность экономического словаря. Так как задачи с экономическим содержанием включены в контрольные измерительные материалы профильного ЕГЭ по математике недавно, начиная с 2015 года, следует ожидать появления новых сюжетных практико-ориентированных составляющих условия задач. Это приведёт к использованию в тексте новых экономических терминов, значениями которых можно дополнить содержание буклета - четвёртой составляющей учебно-методического комплекта.

Сборник задач экономического содержания. Часть 1. Это сборник задач для проверки знаний учащихся, необходимых для решения задания 17. В нём приведены краткие теоретические сведения, представлены проверочные работы и задачи для корректировки знаний учащихся, позволяющие вспомнить соответствующий материал. Ко всем задачам и проверочным работам даны ответы.

Если при решении задачи встретится незнакомое понятие, связанное с экономикой, следует обратиться к буклету «Экономический словарь».

Сборник задач экономического содержания. Часть 2. Это задачник, в который вошли задачи из различных сборников и из разрешённых для публикации (открытых) вариантов ЕГЭ. Приводятся примеры решения задач, позволяющие лучше понять и запомнить, рассмотренные способы решения задач. Предложены задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы.

Решение задач

Для успешного выполнения задач с экономическим содержанием необходимо познакомить учащихся с экономическими терминами, обратившись к буклету, научить выделять необходимую информацию из большого объёма, выработать устойчивые навыки работы с процентами.

Эффективным способом решения задач считаю использование таблиц. Он упрощает решение текстовых задач, просто потому, что это удобно. Данные таблицы позволяют в наглядном и понятном виде записать условие задачи и провести его анализ для составления уравнения.

Самой распространённой ошибкой при решении задачи 19 на итоговой аттестации 2015 года было неверное понимание условия задачи. Большая часть учащихся, приступивших к выполнению, трактовала условие « в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года» как « в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше», то есть как «платёж был одинаковым». Изменив условие задачи, учащиеся решали другую задачу, что оценивалось 0 баллов. Этой ошибки можно было избежать, используя для решения таблицу:

Таблица 1

Работу с текстовыми задачами рекомендую организовывать по следующему алгоритму, сложившемуся в процессе работы:

Алгоритм решения задач

1. Внимательно прочитайте условие задачи, обращая внимание на единицы измерения.

2. Составьте таблицу, заполняя её ячейки данными из условия.

3. В незаполненные ячейки таблицы введите переменные x, y. Заполните оставшиеся ячейки через выражения, содержащие переменные.

4. Составьте математическую модель.

5. Решите уравнение (систему уравнений).

6. Выберите ответ. Прежде, чем его записать, следует прочитать задачу ещё раз для того, чтобы правильно выписать ответ.

Решить уравнение – это не значит решить задачу. Это правило работает для всех текстовых задач. Многие учащиеся сосредотачиваются на решении уравнения, но совершенно забывают о том, что требовалось найти.

Рассмотрим решение экономических задач 17 из третьей книги предлагаемого комплекта. Задания каждого типа следует подробно разобрать с учащимися.

Задачи на определение суммы выплат

Пример 1 (задача, решение которой полностью показывает учитель).

Решение: В задаче используется аннуитетная схема выплаты кредита, когда само тело кредита выплачивается равными частями, но платежи все разные по той причине, что каждый раз, внося платёж, кроме части тела кредита необходимо выплатить и все проценты по нему. Тогда вначале проценты могут даже превышать ту долю кредита, которую должны выплатить, но потом в платеже проценты уже не превалируют, а в конце срока становятся совсем небольшими, потому что начисляются на всё меньшую и меньшую часть долга.

Внимательно прочитав условие задачи, обратившись при необходимости к экономическому словарю, выпишем величины, с которыми предстоит работать при решении задачи:

кредит 2,4 млн. руб. = 2400000руб.; срок кредитования 24 месяца; процентная ставка 2%; сумма выплат за последние 12 месяцев - ? Обозначим для удобства заполнения таблицы и составления математической модели задачи кредит .

Запишем, что происходило с кредитом поэтапно:

- в январе взяли кредит млн. рублей;

- 1-го февраля сумма кредита возросла, по сравнению с концом предыдущего месяца, потому что банк начислил проценты: ;

-15-го февраля долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца, то есть , в данном случае срок кредитования 24 месяца, значит на ;

- после февральских выплат (выплаты по процентам и выплаты части тела кредита) долг перед банком составит , и так каждый месяц. Рассуждая аналогично, заполним таблицу. Для составления математической модели задачи важно выразить выплаты первых двух месяцев, чтобы показать, как образуются эти суммы ежемесячно, увидев в их образовании закономерность и выразив её в k месяц. Для нахождения суммы, которую нужно выплатить банку за последние 12 месяцев в таблице следует отразить выплаты в 13 и 24 месяцы кредитования (это первый и последний месяцы периода, о котором стоит вопрос задачи).

Таблица 2

Из таблицы видно, что ежемесячные выплаты состоят из суммы выплаты части тела кредита и выплаты по процентам, начисляемым на остаток тела кредита на данный период. Обозначим искомую величину S:

;

Заметим, слагаемые в квадратной скобке образуют арифметическую прогрессию: (13мес.)+(24мес.)=(14)+(23)=(15)+(22)=(16)+(21)=(17)+(20)=(18)+(19). Всего 6 пар.

Подставим в S:

Подставим в полученную формулу сумму кредита:

Найденное значение – сумма, которую нужно выплатить банку за последние 12 месяцев, то есть ответ задачи.

Ответ: рублей нужно выплатить банку за последние 12 месяцев.

Пример 2 (задача, которую учащиеся решают пошагово с комментариями под руководством учителя)

Решение: После знакомства учащихся с условием задачи можно задать вопросы:

- Что известно в условии и что требуется найти?

- Похожа эта задача на предыдущую?

- В чём отличие от разобранной ранее?

- Предложите этапы решения.

После этого обсуждения следует подвести итог: Зная величину суммы, которую нужно вернуть банку в течение первого года кредитования, найдём сумму кредита; затем определим какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев.

Так как сумму выплат придётся составлять для двух периодов (для первого года кредитования и последних 12 месяцев), удобно для каждого случая составить таблицы отдельно. При составлении и заполнении таблицы рассуждения проводим как в первом примере.

Сумма выплат банку за первые 12 месяцев 2466 тыс. руб.=2466000руб.

24 месяца ; 2%; Сумма выплат за последние 12 месяцев -? Обозначим кредит .

Таблица 3

Обозначим сумму выплат банку за первые 12 месяцев - :

;

Заметим, (1мес.)+(12мес.)=(2)+(11)=(3)+(10)=(4)+(9)=(5)+(8)=(6)+(7).

.

Подставим в : .

Найдём сумму кредита: ;

3600000 рублей - сумма кредита.

Таблица 4

Обозначим сумму выплат банку за последние 12 месяцев - :

;
.

Заметим, (13мес.)+(24мес.)=(14)+(23)=(15)+(22)=(16)+(21)=(17)+(20)=(18)+(19). Всего 6 пар.

.

Подставим в :

Подставим в полученную формулу сумму кредита:

Ответ: 2034рублей нужно выплатить банку за последние 12 месяцев.

После выполнения примеров 1 и 2 для закрепления материала можно предложить учащимся рассмотреть решение примеров 3 и 4, (разобранных в третьей книге) и решить самостоятельно задачи № ………..из третьей книги комплекта.

Замечание: Необходимо обратить внимание учащихся на то, что количество месяцев кредитования по условию задачи не всегда бывает чётным. Если оно нечётное, выражая сумму выплат банку, следует не забывать выплаты месяца, для которого не досталось пары (Пример 3 третьей книги комплекта).

Задачи на определение процентной ставки банка

В задачах, в условии которых используется аннуитетная схема выплаты кредита, для определения процентной ставки банка можно составлять математическую модель по условию таким же образом, как и при решении разобранных выше заданий (Пример 5 третьей книги комплекта).

Задачи, в которых погашение кредита происходит траншами, удобно решать, выписывая построчно, что происходило с кредитом ежегодно.

Пример 7. (задача, решение которой полностью показывает учитель).

Решение: Внимательно прочитав условие задачи, обратившись при необходимости к экономическому словарю, выпишем величины, с которыми предстоит работать при решении задачи:

Обозначим кредит ; ; ; платёж , ; платёж .

Для решения воспользуемся формулой погашения кредита равными платежами: , где . Для понимания математической модели задачи, вывод формулы для учащихся необходимо осуществить (Приложение 2).

Выразим величину кредита в обоих случаях, а затем для нахождения процентной ставки кредитования приравняем полученные выражения.

1 случай: Олег выплатит долг за четыре года.

; ;

; (1);

2 случай: Олег выплатит долг за два года.

; ;

; (2).

(1) = (2); ; ;

; ; ; - не удовлетворяет условию задачи; .

Прочитаем условие задачи ещё раз для того, чтобы правильно выписать ответ. Нами получен промежуточный результат. Осталось найти величину процента, который начисляет банк.

; ; ; .

Ответ: банк начисляет на оставшуюся сумму долга .

Примечание: При вычислении (при возможности) можно использовать формулы сокращённого умножения, применять признаки делимости чисел при сокращении дроби. Значения величин в задачах указываются таким образом, что при правильном решении после сокращения знаменатель становится равным единице и дело остаётся за малым: не ошибиться при умножении чисел, оставшихся в числителе.

После выполнения примера 7, рассмотреть решение примера 6,затем можно предложить учащимся решить самостоятельно задачи № ………..из третьей книги комплекта.

После выполнения примеров 1 и 2 для закрепления материала можно предложить учащимся рассмотреть решение примеров 3 и 4, (разобранных в третьей книге) и решить самостоятельно задачи № ………..из третьей книги комплекта.

Задачи на определение срока кредитования

Для решения задач этого типа воспользуемся формулой погашения кредита равными платежами, с которой учащиеся уже познакомились.

Пример 8 (Вариант 36)

Решение: Чем больше срок, тем меньше платежи. По условию задачи необходимо, чтобы платежи не превышали 275 тыс. рублей, то есть срок должен быть не менее указанного. Подставив в формулу данные задачи, получим равенство Натурального значения подобрать нельзя, значит выбираем минимальное такое, чтобы выполнялось неравенство: . Приложение 3.

; .

Ответ: Александр Сергеевич может взять кредит на 5 месяцев.

После выполнения примеров 8, 9 можно предложить учащимся решить самостоятельно задачи № ………..из третьей книги комплекта.

Задачи на определение суммы ежегодного платежа

При решении задач данного типа удобно использовать формулу погашения кредита равными платежами.

Пример 10 (Вариант 33)

Решение: Для более глубокого понимания применяемой формулы можно расписать ещё раз, как формируется сумма равного платежа.

Кредит ; ; . Обозначим ежегодный платёж рублей; .

.

Ответ: ежегодный платёж 2296350 рублей.

После выполнения примеров 10, 12 можно предложить учащимся решить самостоятельно задачи № 11………..из третьей книги комплекта.

Задачи на определение оптимального выбора варианта

При решении задач оптимизации условие в наглядном и понятном виде лучше представить в таблице, которая позволит провести его анализ для составления математической модели задания. Так как эти сюжетные задачи разнообразны, шаблона таблиц для них нет, и в каждом случае она будет индивидуальна. Учащимся следует показать составление таблиц и математической модели задачи на различных сюжетах.

Пример 13 (задача, решение которой полностью показывает учитель).

При знакомстве с условием задачи следует обратить внимание учащихся на тот факт, что «часов в неделю» не означает, что рабочие заводов трудились в течение одинакового времени. Эта величина дана для того, чтобы выразить производительность труда на каждом из заводов.

Решение: Пусть единиц продукции выпускает первый завод, тогда единиц продукции выпускает второй завод. Следует обратить внимание учащихся на ограничения: .

Таблица 5

Оплата рабочим в неделю составит: ;

; ; ;

Введём функцию количества единиц продукции .

Переформулируем задачу: найти наибольшее значение функции . ;

=0; ; ;

; ; ; .

Определим знаки производной: S`(x) x

. 110

При определении знака производной следует обратить внимание учащихся на ограничение по , значение которого принадлежит только натуральным числам, при которых подкоренное выражение составленной функции имеет смысл, поэтому было взято только значение .

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области.

. Это означает, что 110 единиц продукции будет выпущено первым заводом.

Прочитаем условие задачи ещё раз для того, чтобы правильно выписать ответ. Нами получен промежуточный результат. Осталось найти количество единиц продукции, выпущенное двумя заводами.

Ответ: 550 единиц продукции.

Пример 18 ( Вариант 8, 24)

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле он могут быть стандартные номера площадью и номера «люкс» площадью . Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000рублей в сутки, а номер «люкс» 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение: Пусть количество стандартных номеров, а количество номеров «люкс».

Таблица 6

Введём функцию заработанных за сутки средств .

Переформулируем задачу: найти наибольшее значение функции .

; ; .

;

Учитывая, что , найдём решения уравнения, просто подбирая целое число и отыскивая целое число . Получим пары чисел : (3;20); (13;14); (23;8); (33;2).

Функция убывающая. Наибольшее значение функция будет принимать при:

Ответ: рублей – наибольшая сумма денег, которую сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель.

Замечание. При решении уравнения, полученного в ходе решения задачи, в целых числах, нахождение всех целочисленных пар можно не осуществлять. Достаточно определить пару с минимально возможным значением , так как в формуле перед ним стоит минус.

После выполнения примеров 13, 14, 15, 17, 18 можно предложить учащимся решить самостоятельно задачи № 16………..из третьей книги комплекта.

Приложение 1

При знакомстве с задачей с экономическим содержанием, содержащейся в демонстрационном варианте, следует обратить внимание учащихся на критерии проверки и оценивания решений. Такие же критерии будут использовать эксперты при проверке экзаменационной работы. Важно понять, какие этапы решения и какие обоснования относятся к ключевым, отслеживаемым в процессе проверки.

Каждый раз после решения задачи полезно сопоставить свои способы записи решений с критериями оценивания.

Критерии оценивания выполнения заданий на ЕГЭ

Таблица 7

Следует отметить, что один и тот же сюжет может быть успешно сведён к различным математическим моделям и доведён до верного решения. По этой причине в критериях проверки нигде нет жёсткого упоминания о какой-либо конкретной модели.

Спецификация КИМ ЕГЭ 2015 профильного уровня по математике (фрагмент)

Таблица 8

«Спецификация экзаменационной работы по математике единого государственного экзамена» содержит разделы, знакомство с которыми позволит иметь более полное представление о содержании будущей экзаменационной работы, в частности, задачи с экономическим содержанием.

Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников, КИМ ЕГЭ 2015 по математике (фрагмент)

Таблица 9

Кодификатор элементов содержания КИМ ЕГЭ 2015 профильного уровня по математике (фрагмент)

Таблица 10

Знакомя с «Кодификатором элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов (КИМ) единого государственного экзамена», обратить внимание на список элементов содержания курса математики (понятий, свойств, формул, теорем, алгоритмов и прочее), знания которых может проверяться задачей экономического содержания на ЕГЭ текущего учебного года.

Приложение 2

Пусть - сумма кредита, взятая в банке, – платёж (ежегодный или ежемесячный, но всегда один и тот же – равные платежи), - срок кредитования (лет или месяцев), - процент, начисляемый банком за пользование его деньгами.

При решении задач, когда выплаты банку (ежегодные или ежемесячные) являются равными платежами, удобно использовать формулу:

, где .

Рассмотрим вывод данной формулы, запишем, что происходило с кредитом поэтапно.

1 год: ;

2 год: ;

3 год: ;

4 год: ;

; ;

; ;

.

- формула выплат банку равными платежами.

Приложение 3.

Таблица 11

Примечание: При вычислении (при возможности) можно использовать формулу сокращённого умножения, применять признаки делимости чисел при сокращении дроби. Значения величин в задачах указываются таким образом, что при правильном решении после сокращения знаменатель становится равным единице и дело остаётся за малым: не ошибиться при умножении чисел, оставшихся в числителе.

Список литературы

1. Единый государственный экзамен по математике. Демонстрационный вариант 2015г. Демонстрационный вариант экзаменационной работы подготовлен Федеральным государственным научным учреждением» Федеральный институт педагогических измерений». [Электронный ресурс].-Электрон. текст.дан.-Москва:ФИПИ.-2015.-Режим доступа: http://www.fipi.ru, свободный.

2. Единый государственный экзамен по математике. Демонстрационный вариант 2016 г. Демонстрационный вариант экзаменационной работы подготовлен Федеральным государственным научным учреждением» Федеральный институт педагогических измерений» . [Электронный ресурс].-Электрон. текст.дан.-Москва:ФИПИ.-2015.-Режим доступа: http://www.fipi.ru, свободный.

3. Единый государственный экзамен по математике. Кодификатор элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов (КИМ) единого государственного экзамена 2016г. [Электронный ресурс].-Электрон. текст.дан.-Москва:ФИПИ.-2015.-Режим доступа: http://www.fipi.ru, свободный.

4. Единый государственный экзамен по математике. Спецификация экзаменационной работы по математике единого государственного экзамена 2016г. [Электронный ресурс].-Электрон. текст.дан.-Москва:ФИПИ.-2015.-Режим доступа: http://www.fipi.ru, свободный.

5. ЕГЭ-2015 Открытый банк заданий по математике [Электронный ресурс]. Режим доступа: http:// mathege.ru/or/ege/Main, свободный.

6. ЕГЭ-2016 Открытый банк заданий по математике [Электронный ресурс].Режим доступа: http:// mathege.ru/or/ege/Main, свободный.

7. Решу ЕГЭ РФ Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ по математике. [Электронный ресурс].-Электрон. текст.дан. Режим доступа: http:// reshuege.ru/

8. Рязановский А.Р., Мирошин В.В. Математика. Решение задач повышенной сложности.[Текст] - М.: Интеллект-Центр, 2012.-480с.

9. Словарь финансовых терминов и экономических понятий. [Электронный ресурс].-Электрон. текст.дан. Режим доступа: http://fingramota.org/servisy/slovar, свободный

10. Экономический словарь. [Электронный ресурс].-Электрон. текст.дан. Режим доступа: http://www.klerk.ru/slovar/econ/letter/193, свободный

8. Ященко И.В. ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. [Текст]. Ященко И.В./ М.: Национальное образование, 2015.-272с.

9. Ященко И.В. ЕГЭ 2016. Математика: типовые экзаменационные варианты: 50 вариантов. [Текст]; под ред. Ященко И.В./ М.: издательство «Экзамен», 2016 – 247с.

9