Экономические задачи

Экономические задачи

Задача №1

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 руб­лей в кре­дит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Пусть сумма кредита равна а рублей

Ежегодный платеж равен Х рублей

Годовые составляют k %

Тогда 31 декабря каждого года сумма долга умножается

на коэффициент m  = 1 + 0,01 k

После первой выплаты сумма долга составит: a 1  =  am  −  x

После второй выплаты сумма долга составит:

После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

При  a  = 9 930 000 и  k  = 10, получаем:  m  = 1,1 Ответ: Сумма ежегодного платежа составляет 3993000 рублей " width="640"

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью

=

При  a  = 9 930 000 и  k  = 10, получаем:  m  = 1,1

Ответ: Сумма ежегодного платежа

составляет 3993000 рублей

Задача № 2

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5 %), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами ( то есть за 4 года)?

Решение

Пусть сумма кредита равна S

Годовые составляют a%

Сумма перевода равна Х рублей

Тогда 31 декабря каждого года сумма долга умножается на коэффициент b  = 1 + 0,01a

После первой выплаты сумма долга составит: S 1  = Sb  − X

После второй выплаты сумма долга составит:

После третьей выплаты сумма долга составит:

После четвертой выплаты сумма долга составит

При условии четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью

При S=6 902 000 и а=12,5, получим: b=1,125= 9/8

Ответ: 2 296 350 рублей

Задача № 3

Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется  r  % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц ( на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма взятая им в кредит. Найдите  r .

Пусть сумма кредита равна S.

По условию долг должен уменьшаться до нуля равномерно:

К концу каждого месяца к сумме долга добавляется r%. Пусть

Последовательность сумм долга вместе с процентами будет такова:

Следовательно, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить :

Общая сумма выплат оказалась на 13 % больше суммы, взятой в кредит, поэтому:

Откуда получаем, что  

Ответ: 2 %

Задача № 4

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14- е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и туже сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30 % больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Пусть сумма кредита равна S.

По условию долг должен уменьшаться до нуля равномерно:

Первого числа каждого месяца долг возрастает на r%. Пусть

Последовательность размеров долга на 1-ое число каждого

месяца такова:

Следовательно, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить :

Общая сумма выплат на 30 % больше суммы, взятой в кредит, поэтому:

Ответ: 3 %

Задача № 5

В начале года 5/6 некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось – в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определенный процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу года сумма вкладов стала равна 670 у.е., к концу следующего года – 749 у.е. Если первоначально 5/6 суммы было бы вложено в банк Б, а оставшуюся часть вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла до 710 у.е. Определите сумму вкладов по истечению второго года в этом случае.

Пусть в банке А: коэффициент повышения вклада равен y, вложили 5х у.е. денег

Тогда в банке Б: коэффициент повышения вклада равен t, вложили х у.е.

В соответствии с условием задачи будем иметь:

Если бы те же суммы были вложены в банки Б и А соответственно, то имели бы уравнение:

Искомая сумма будет равна значению выражения:

Рассмотрим систему уравнений (1) и (3):

Отсюда:

Подставим найденное значение y в уравнение (2):

Искомая сумма имеет вид:

Ответ: 841 у.е.

Задача № 6

Алексей приобрел ценные бумаги на 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10 %. В течении каждого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумму на банковском счету была наибольшей?

Продать ценную бумагу нужно в тот момент, когда 10 % стоимости станут составлять не менее чем 2 тыс. рублей.

год

Сумма

1

10 %Процент

7000

2

700

9000

3

900

11000

4

5

13000

1100

1300

15000

6

1500

17000

7

1700

19000

8

1900

21000

2100

Ответ: в течении 8 года

Задача № 7

1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплат кредите следующая:

• 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 % на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 1 %), затем Павел Витальевич переводит в банк платеж.

На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты был не более 125 тыс. рублей?

Сумма на конец месяца

Сумма долга

Месяц

0

1 000 000

885 000

1 010 000

1

2

768 850

893 850

651 538,5

3

776538,5

533 053,885

4

658053,885

5

538384,42385

413384,42385

292518

6

417518

170423

295423

7

8

172127

47127

47598

9

0

Ответ: 9 месяцев

Задача № 8

Баба Валя, накопив часть пенсии, решила улучшить своё материальное положение. Она узнала, что в Збербанке от пенсионенров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Збербанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк , в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Зпербанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банка, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Зпербанке Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от вклада, заявив : «Такой навар меня не устраивает!». И открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.

Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65 %. Сожалела Баба Валя, что год назад в Зпербанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..»

Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без навара! А каков в Зпербанке процент годовых для пенсионеров?

Пусть Баба Валя внесла в Збербанк S у.е. по x % годовых.

Тогда за год хранения сумма выросла до:

Баба Валя сняла со счета:

За год хранения в коммерческом банке сумма выросла до:

А по условию эта сумма составляет 1,65S. Решим уравнение:

По условию задачи нам подходит только положительный корень х=10.

Ответ: 10 %

Задача № 9

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а % до (а+40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превышала первоначальный вклад.

Каков процент новых годовых?

Пусть банк первоначально принял вклад в размере s у.е. под х % годовых.

Тогда к началу второго года сумма составила s(1+0,01х) у.е.

После снятия четверти накопленной суммы на счету осталось:

С момента увеличения банком процентной ставки на 40 % к концу второго года хранения остатка вклада накопленная сумма стала

По условию задачи эта сумма равна 1,44s. Решим уравнение

; 

Корень -260 не подходит по смыслу задачи.

Новые годовые составляют 20+40= 60 %

Ответ: 60 %

Задача № 10

Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 рублей. Когда цена на акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 рублей. Первый брокер продал 75 % своих акций, а второй – 80 % своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140 % превысила сумму, полученную первым брокером.

На сколько процентов возросла цена на акции?

Пусть первый брокер купил x акций, а второй – y акций.

Тогда первый продал 0,75х акций, а второй 0,8у акций.

То, что сумма от продажи акций, полученная вторым брокером на 140 % превысила сумму, полученную первым брокером, означает: сумма полученная вторым брокером, больше суммы, полученной первым, в 2,4 раза

Так как цена одной акции у обоих брокеров одинакова, а полученные суммы прямо пропорциональны количеству акций, проданных каждым брокером, то

Если k – коэффициент пропорциональности количества акций, купленных брокерами, то ими приобретено 13k акций на сумму 3640 рублей. Следовательно, на тот момент цена каждой акции составляла:

Первый брокер продал 0,75 ∙ 4k = 3k

Второй брокер продал 0,8 ∙ 9k = 7,2k

Всего было продано 10,2k акций. К моменту продажи цена одной акции стала

То есть выше на

Значит, цена одной акции возросла на 37,5 %

Ответ: 37,5 %