Экзаменационный материал по геометрии 8 класс

Экзаменационный материал по геометрии для 8 класса.

(по УМК Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.)

С 2008 года в список предметов, по которым государственная итоговая аттестация по курсу основной школы проводится в новой форме, включена и геометрия. С 2011 года задания по геометрии включаются в экзамен по математике. С 2013 года КИМы по математике (за курс основной школы) состоят из трех модулей («Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»). С 2018 года КИМы по математике (за курс основной школы) состоят из двух модулей («Алгебра», «Геометрия»). Модуль «Геометрия» содержит 9 заданий: в первой части – 6 заданий, во второй части – 3 задания. Причем оценка за экзамен будет неудовлетворительной, если не выполнено два задания по геометрии. Чтобы успешно сдать экзамен по математике за курс основной школы, необходимо провести экзамен на промежуточной аттестации за курс геометрии 7 и 8 класса.

Билеты составлены по курсу геометрии 8 класса. Всего 20 билетов по три вопроса в каждом: первый вопрос предполагает, что учащийся должен сформулировать теорему, свойство и доказать его, правильно сформулировать определение, привести пример или выполнить необходимый рисунок.

Второй вопрос предполагает, что учащийся правильно и грамотно должен сформулировать определение, записать необходимую формулу, привести пример, или выполнить необходимый рисунок.

Третий вопрос практический – состоит из задачи, которую нужно правильно оформить, составить к ней чертеж и решить, обосновывая каждое действие известными геометрическими сведениями.

Содержание заданий экзаменационных билетов разработано по основным темам курса геометрии 8 класса: «Четырехугольники», «Параллелограмм и трапеция», «Прямоугольник, ромб, квадрат», «Площадь многоугольника», «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции», «Теорема Пифагора», «Подобные треугольники», «Признаки подобия треугольников», «Применение подобия треугольников к доказательству теорем и решению задач», «Соотношение между сторонами и углами треугольника», «Касательная к окружности», «Центральные и вписанные углы», «Четыре замечательные точки треугольника», «Вписанные и описанные окружности».

Критерии оценивания:

Отметка 5 (отлично) – ставится за полный, логически обоснованный ответ на все три вопроса билета.

Отметка 4 (хорошо) – выставляется за обоснованный полный ответ на 1 вопрос, изложенный второй вопрос с небольшими недочетами и решение задачи, но возможны и допустимы вычислительные ошибки или неточности в доказательстве теоремы.

Отметка 3 (удовлетворительно) – ставится за решение задачи и правильно сформулированные теоремы, свойства, определения (без доказательства).

Отметка 2 (неудовлетворительно) – выставляется во всех остальных случаях.

Экзаменационный материал

для проведения устного экзамена по геометрии 8 класс­­­­

(по УМК Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.)

1. Сформулируйте определение четырехугольника, назовите все его элементы (стороны, вершины, соседние, противолежащие вершины и стороны). Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов четырёхугольника. Перечислите все виды четырехугольников (выполните чертежи).

2. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте свойства сторон и углов параллелограмма, признаки параллелограмма. Дайте определение высоты параллелограмма (выполните чертежи). Выведите формулу площади параллелограмма.

3. Сформулируйте определение прямоугольника, свойства сторон, диагоналей и признаки прямоугольника (доказать один из признаков) (выполните чертежи). Вывести формулу площади прямоугольника

4. Сформулируйте определение ромба. Сформулируйте свойства углов, диагоналей и признаки ромба (один из признаков с доказательством). Выведите формулы площади ромба (выполните чертежи).

5. Сформулируйте определение квадрата. Сформулируйте свойства диагоналей и признаки квадрата (выполните чертежи). Выведите формулу площади квадрата. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

6. Сформулируйте определение трапеции. Перечислите все виды трапеции (выполните чертежи). Сформулируйте определение равнобокой трапеции, перечислите свойства углов, диагоналей. Сформулируйте определение высоты трапеции, средней линии трапеции, свойство средней линии трапеции. Выведите формулу площади трапеции.

7. Перечислите все виды треугольников, выполните чертежи. Выведите формулы для вычисления площади треугольника. Сформулируйте определение средней линии, сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

8. Сформулируйте определения центрального и вписанного углов окружности. Сформулируйте и докажите теорему о градусной мере вписанного угла. Сформулируйте свойства вписанных углов, выполните чертежи.

9. Сформулируйте определения окружности, описанной около четырёхугольника и окружности, вписанной в четырехугольник (выполните чертежи). Сформулируйте и докажите свойства углов и сторон вписанного и описанных четырехугольников. Сформулируйте обратные теоремы. Сформулируйте признак принадлежности четырех точек одной окружности.

10. Сформулируйте теорему Фалеса, теорему о пропорциональных отрезках, теорему о свойстве медиан треугольника (выполните чертежи). Сформулируйте и докажите теорему о свойстве биссектрисы треугольника.

11. Сформулируйте определение подобных треугольников. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

12. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.

13. Сформулируйте и докажите свойство пересекающихся хорд окружности, свойство касательной и секущей окружности.

14. Сформулируйте признаки подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними и по трем сторонам. Докажите один на выбор.

15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: сформулируйте лемму о свойстве высоты, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, сформулируйте и докажите свойства катетов прямоугольного треугольника и свойство высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе

16. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

17. Сформулируйте определения синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Сформулируйте и докажите основное тригонометрическое тождество и формулы приведения. Составьте таблицу значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30⁰, 45⁰, 60⁰.

18. Сформулируйте определение многоугольника, дайте определение вершин, сторон. Сформулируйте понятие соседних вершин и сторон, выпуклого и невыпуклого многоугольников. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов выпуклого n –угольника. Сформулируйте определение вписанной и описанной около многоугольника окружности. Сформулируйте понятие площади многоугольника, перечислите свойства площади многоугольника, дайте определение равновеликих многоугольников (выполните чертежи).

19. Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника (с доказательством).

20. Сформулируйте свойство угла между касательной и хордой, угла между пересекающимися хордами, угла между непересекающимися хордами. Одно из свойств докажите (выполните чертежи).

21. Сформулируйте понятия равнобедренного и равностороннего треугольников, перечислите все свойства элементов в этих треугольниках (выполните чертежи).

22. Сформулируйте понятие окружности, касательная к окружности, перечислите все случаи взаимного расположения прямой и окружности. Сформулируйте свойство и признак касательной, теорему о двух касательных, проведённых к окружности из одной точки (выполните чертежи).

23. Сформулируйте понятие ГМТ. Приведите примеры ГМТ (серединный перпендикуляр, биссектриса как ГМТ) (выполните чертежи).

24. Сформулируйте понятие треугольника, выполните чертежи и перечислите все виды треугольников. Сформулируйте неравенство треугольника (выполните чертёж).

25. Сформулируйте понятие параллельных прямых. Перечислите свойства параллельных прямых (выполните чертежи).

26. Сформулируйте понятие окружности и её элементов. Сформулируйте теорему о диаметре, перпендикулярном хорде (выполните чертежи).

27. Сформулируйте понятие внешнего угла треугольника, свойство внешнего угла треугольника (выполните чертежи).

28. Сформулируйте признаки равенства треугольников (выполните чертежи).

29. Сформулируйте понятие прямоугольного треугольника, перечислите признаки равенства прямоугольных треугольников (выполните чертежи).

30. Сформулируйте понятия смежных и вертикальных углов. Сформулируйте их свойства (выполните чертежи).

31. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника, выполните чертёж.

32. Сформулируйте понятия вписанной и описанной около окружности треугольника (выполните чертежи).

33. Сформулируйте понятие прямоугольного треугольника, перечислите свойства его элементов (выполните чертежи).

34. Сформулируйте понятие параллельных прямых. Перечислите признаки параллельных прямых (выполните чертежи).

35. Сформулируйте понятие равнобедренного треугольника. Перечислите признаки равнобедренного треугольника (выполните чертежи).

36. Сформулируйте понятие серединного перпендикуляра, сформулируйте его свойство и признак принадлежности точки серединному перпендикуляру (выполните чертежи).

37. Сформулируйте понятия медианы, биссектрисы и высоты треугольника (выполните чертежи).

38. Сформулируйте понятие угла. Перечислите виды углов. Сформулируйте понятие биссектрисы угла (выполните чертежи).

39. Запишите формулы для вычисления площадей четырехугольников и треугольника (выполните чертежи).

40. Сформулируйте понятие расстояния от точки до прямой. Сформулируйте понятие расстояния между параллельными прямыми (выполните чертежи).

Задачи для проведения устного экзамена по геометрии 8 класс­­­­

1. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ = 6, АС = 10.

2. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠ОАВ = 30°, АВ = 5 см.

3. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.

4. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС дугу в 43°. Найдите ∠ ВАС.

5. Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите r, если ОА = 14 дм, А = 90°.

6. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

7. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 10 см, а его площадь 12 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырёхугольник.

8. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

9. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к основанию.

10. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 .

11. В параллелограмме ABCD известно, что AD= 12 см, AB = 3 см, биссектрисы углов B и C пересекают сторону AD в точках E и F соответственно. Найдите отрезок EF.

12. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.

13. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите ∠ADC , если ∠C = 50°.

14. Найдите углы параллелограмма ABCD, если ∠A ∠B = 54°.

15. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её меньшее основание равно 18 см, высота 9 см и острый угол равен 45°.

16. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68. Найдите углы ромба.

17. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 8 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

18. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

19. Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке М. Найти расстояния от точки М до концов меньшего основания.

20. Около трапеции АВСD, один из углов которой равен 36°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.

21. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.

22. Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне AB, равна 11 см. Найдите высоту, проведённую к стороне BC.

23. Найдите периметр ромба ABCD , в котором ∠B = 60°, AC = 10,5 см.

24. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.

25. В четырёхугольнике CDEF, в который можно вписать окружность, CD= 6 см, DE = 8 см, EF = 12 см. Найдите длину стороны CF.

26. Отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите ВC, если AB = 30, AD = 20, DC = 16.

27. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках M, N, Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника MNP равны 52°, 56° и 72°.

28. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см. Найдите основание треугольника

29. Один из углов прямоугольной трапеции равен 135°, средняя линия 21 см, а основания относятся как 5 : 2. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

30. В трапеции ABCD известно, что угол В равен 90°, угол С равен 150°, ВС = 5 см. Найдите сторону CD, если высота трапеции, проведённая из вершины С, разбивает данную трапецию на треугольник и квадрат.

31. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 21, BF = 20.

32. Отрезки АВ и СD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 40, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 21 и 20.

33. Сторона BC параллелограмма ABCD в 2 раза больше стороны AB. Биссектрисы углов A и B параллелограмма пересекают прямую CD в точках M и K соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если MK = 18 см.

34. Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удалён от концов её боковой стороны на 12 см и 16 см. Найдите периметр трапеции.

35. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, CM = 4 см, DM = 6 см, AM на 2 см больше BM. Найдите длину хорды AB.

Билет № 1

1. Сформулируйте определение четырехугольника, назовите все его элементы (стороны, вершины, соседние, противолежащие вершины и стороны). Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов четырёхугольника. Перечислите все виды четырехугольников (выполните чертежи).

2. Сформулируйте понятие окружности и её элементов. Сформулируйте теорему о диаметре, перпендикулярном хорде (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 2

1. Сформулируйте определение прямоугольника, свойства сторон, диагоналей и признаки прямоугольника (доказать один из признаков) (выполните чертежи). Запишите формулу площади прямоугольника.

2. Сформулируйте понятие прямоугольного треугольника, перечислите признаки равенства прямоугольных треугольников (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 3

1. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте свойства сторон и углов параллелограмма, признаки параллелограмма. Дайте определение высоты параллелограмма (выполните чертежи). Выведите формулу площади параллелограмма.

2. Сформулируйте понятия смежных и вертикальных углов. Сформулируйте их свойства (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 4

1. Сформулируйте определение ромба. Сформулируйте свойства углов, диагоналей и признаки ромба (один из признаков с доказательством). Выведите формулы площади ромба (выполните чертежи).

2. Сформулируйте понятие внешнего угла треугольника, свойство внешнего угла треугольника (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 5

1. Сформулируйте определение квадрата. Сформулируйте свойства диагоналей и признаки квадрата (выполните чертежи). Запишите формулу площади квадрата. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

2. Сформулируйте понятия вписанной и описанной около окружности треугольника (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 6

1. Сформулируйте определение трапеции. Перечислите все виды трапеции (выполните чертежи). Сформулируйте определение равнобокой трапеции, перечислите свойства углов, диагоналей. Сформулируйте определение высоты трапеции, средней линии трапеции, свойство средней линии трапеции. Выведите формулу площади трапеции.

2. Сформулируйте понятие равнобедренного треугольника. Перечислите признаки равнобедренного треугольника (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 7

1. Сформулируйте теорему Фалеса, теорему о пропорциональных отрезках, теорему о свойстве медиан треугольника (выполните чертежи). Сформулируйте и докажите теорему о свойстве биссектрисы треугольника.

2. Сформулируйте понятие угла. Перечислите виды углов. Сформулируйте понятие биссектрисы угла (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 8

1. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: сформулируйте лемму о свойстве высоты, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, сформулируйте и докажите свойства катетов прямоугольного треугольника и свойство высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе

2. Сформулируйте понятие параллельных прямых. Перечислите свойства параллельных прямых (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 9

1. Сформулируйте определение биссектрисы угла и свойство биссектрисы треугольника (с доказательством).

2. Запишите формулы для вычисления площадей четырехугольников и треугольника (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 10

1. Сформулируйте определения окружности, описанной около четырёхугольника и окружности, вписанной в четырехугольник (выполните чертежи). Сформулируйте и докажите свойства углов и сторон вписанного и описанных четырехугольников. Сформулируйте обратные теоремы. Сформулируйте признак принадлежности четырех точек одной окружности.

2. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника, выполните чертёж.

3. Задача.

Билет № 11

1. Сформулируйте определения центрального и вписанного углов окружности. Сформулируйте и докажите теорему о градусной мере вписанного угла. Сформулируйте свойства вписанных углов, выполните чертежи.

2. Сформулируйте понятие прямоугольного треугольника, перечислите свойства его элементов (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 12

1. Перечислите все виды треугольников, выполните чертежи. Выведите формулы для вычисления площади треугольника. Сформулируйте определение средней линии, сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

2. Сформулируйте понятие параллельных прямых. Перечислите признаки параллельных прямых (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 13

1. Сформулируйте и докажите свойство пересекающихся хорд окружности, свойство касательной и секущей окружности.

2. Сформулируйте понятия равнобедренного и равностороннего треугольников, перечислите все свойства элементов в этих треугольниках (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 14

1. Сформулируйте определение подобных треугольников. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

2. Сформулируйте понятие окружности, касательная к окружности, перечислите все случаи взаимного расположения прямой и окружности. Сформулируйте свойство и признак касательной, теорему о двух касательных, проведённых к окружности из одной точки (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 15

1. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

2. Сформулируйте понятия медианы, биссектрисы и высоты треугольника (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 16

1. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.

2. Сформулируйте понятие ГМТ. Приведите примеры ГМТ (серединный перпендикуляр, биссектриса как ГМТ) (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 17

1. Сформулируйте определение многоугольника, дайте определение вершин, сторон, соседних вершин и сторон, выпуклого и невыпуклого многоугольников. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов выпуклого n –угольника. Сформулируйте определение вписанной и описанной около многоугольника , понятие площади многоугольника, перечислите свойства площади многоугольника, дайте определение равновеликих многоугольников (выполните чертежи).

2. Сформулируйте понятие прямоугольного треугольника, перечислите признаки равенства прямоугольных треугольников (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 18

1. Сформулируйте признаки подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними и по трем сторонам. Докажите один на выбор.

2. Сформулируйте понятие расстояния от точки до прямой. Сформулируйте понятие расстояния между параллельными прямыми (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 19

1. Сформулируйте определения синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Сформулируйте и докажите основное тригонометрическое тождество и формулы приведения. Составьте таблицу значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30⁰, 45⁰, 60⁰.

2. Сформулируйте понятие серединного перпендикуляра, сформулируйте его свойство и признак принадлежности точки серединному перпендикуляру (выполните чертежи).

3. Задача.

Билет № 20

1. Сформулируйте свойство угла между касательной и хордой, угла между пересекающимися хордами, угла между непересекающимися хордами. Одно из свойств докажите (выполните чертежи).

2. Сформулируйте понятие треугольника, выполните чертежи и перечислите все виды треугольников. Сформулируйте неравенство треугольника (выполните чертёж).

3. Задача.

Материал подготовила

учитель математики Православной гимназии

г. Калининграда Демьянова И.Ж.