Элективный курс по теме "Решение текстовых задач"

Пояснительная записка.

Умение решать задачи - практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на коньках, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь»...

Д. Пойа.

Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9 классов посвящен одной из самых трудных для ученика тем – решению текстовых задач.

В школьном курсе алгебры решению текстовых задач уделено катастрофически мало учебных часов. В то же время на выпускном экзамене в 9 классе предлагаются текстовые задачи различных уровней сложности и различных типов: на совместную работу, на движение, на планирование, на проценты, на зависимости между компонентами арифметических действий, и другие виды. Не малое место занимают текстовые задачи на вступительных экзаменах в ВУЗы, в ЕГЭ по математике, об этом следует помнить и готовиться к таким испытаниям заранее.

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами, истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи. Решение текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Текстовые алгебраические задачи представляют собой традиционный раздел элементарной математики. По своему содержанию текстовые задачи, как правило, тесно связаны с практической деятельностью человека и описывают некоторые реальные ситуации. Для решения обычно используется общая стандартная схема:

1. анализ условий и выбор неизвестных величин;

2. составление уравнений и, возможно, неравенств;

3. решение полученной системы, содержащей соотношения с искомыми неизвестными.

Задачи курса:

• сформировать у учащихся полное представление о решении текстовых задач;

• сформировать высокий уровень активности, раскованности мышления, проявляющейся в продуцировании большого количества разных идей, возникновении нескольких вариантов решения задач, проблем;

• развить интерес к математике, способствовать выбору учащимися путей дальнейшего продолжения образования;

• расширить рамки школьной программы;

• способствовать развитию логического мышления.

Цели элективного курса:

Обучающие:

• рассмотреть проблему необходимости решения текстовых задач,

• овладение научной терминологией;

• эффективное использование терминологии;

• формирование логических навыков выделения главного;

• формирование сравнения, анализа, синтеза, обобщения, систематизации;

• овладение рациональными приёмами работы и навыками самоконтроля;

• формирование знаний и умений учащихся при решении текстовых задач.

Развивающие:

• развитие творческих способностей;

• развитие познавательной активности учащихся;

• развития интереса к предмету;

• применение знаний в нестандартных и проблемных ситуациях;

• интеллектуальное развитие учащихся;

• развивать алгоритмическое и структурное мышление учащихся;

• эстетическое восприятие;

• навыки устной и письменной речи.

Воспитательные:

• воспитание ответственности, самостоятельности, критичному отношению к себе;

• формировать качества мышления, необходимые для продуктивной жизни в обществе;

• формировать логическое, абстрактное, эвристическое, системное мышление;

• воспитывать культуру умственного труда, способствовать укреплению здоровья,

• формирование ответственности, организованности, дисциплинированности;

• воспитание ответственности, самостоятельности, настойчивости, культуры математического мышления;

• воспитывать навыки общения со сверстниками, осознание своего вклада в общий проект.

Важное место уделяется способам общения учащихся на занятиях, которые содержат элементы парного, группового, коллективного решения проблемных ситуаций, диалог в ходе решения, защиту решений, самостоятельную проработку теоретического материала, элементы контроля и самоконтроля.

После рассмотрения полного курса учащиеся должны иметь следующие результаты обучения:

• уметь определять тип текстовой задачи,

• знать особенности методики её решения, используя при этом разные способы;

• уметь применять полученные математические знания в решении жизненных задач;

• уметь использовать дополнительную математическую литературу с целью углубления материала основного курса,

• проводить полные обоснования при решении задач,

• приобрести навык в решении уравнений или неравенств, встречающихся в ходе решения текстовых задач,

• перестать испытывать психологический дискомфорт при встрече с условием текстовой задачи.

Программа курса рассчитана на 9 часов и предназначена для предпрофильной подготовки учащихся 9^х классов, ориентированна на естественнонаучный профиль.

Содержание элективного курса.

Тема 1. Задачи на движение.

На первом занятии сообщаются цели и задачи курса, систематизируются знания учащихся об уравнениях и системах уравнений, о способах их решений.

В начале занятия рассмотреть:

• основные компоненты этого типа задач (время, скорость, расстояние);

• зависимость между этими величинами в формулах;

• план решения задач на движение (заполнение таблицы);

• обратить внимание на особенности при различных видах движения.

Затем рассматриваем решение задач этого типа.

Тема 2. Задачи на проценты.

Следует заметить, что задачи этого раздела входят как составная часть в решение других типовых задач. Заменяя проценты соответствующим количеством сотых долей числа, легко свести данную задачу на проценты к задаче на части. При решении задач данного типа предполагается использование калькулятора – всюду, где это целесообразно. Применение калькулятора снимает непринципиальные технические трудности, позволяет разобрать больше задач. Кроме того в ряде случаев необходимо считать устно. Для этого полезно знать некоторые факты, например: чтобы увеличить величину на 50%, достаточно прибавить ее половину; чтобы найти 20% величины, надо найти ее пятую часть; что 40% некоторой величины в 4 раза больше, чем ее 10%; что треть величины – это примерно 33% и т. д.

Важно, чтобы каждый ученик смог самостоятельно выбрать свой способ решения, наиболее ему удобный и понятный.

Тема 3. Задачи на смеси и сплавы.

Задачи, в которых идет речь о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ. Все получающиеся сплавы или смеси однородны и при слиянии двух растворов объемы V₁иV₂,получается смесь, объем которой равен V₁+ V₂. Заметим, что такое допущение не всегда выполняется в действительности.

Тема 4. Задачи на совместную работу.

Основными компонентами задач этого типа являются:

а) работа А(выполненная, выполняемая или планируема к выполнению);

б) время Т (затраченное, используемое или необходимое для выполнения работы);

в) производительность труда N, т.е.работа, выполненная в единицу времени(фактическая или предполагаемая).

Указанные компоненты связаны между собой равенством N .

К задачам на работу относятся и задачи на «бассейны», в которых основными компонентами являются:

а) объем V бассейна;

б) время Т, необходимое для заполнения (или опорожнения) бассейна;

в) скорость Х наполнения бассейна.

Указанные компоненты связаны между собой равенством Х .

Тема 6. Разные задачи.

Учащимся предлагаются для решения различные задачи.

Учебно-тематическое планирование элективного курса

Методические рекомендации

Занятие 1-2. Задачи на движение.

Широко известны серьезные трудности, которые испытывают учащиеся при решении задач.

Первая трудность состоит в составлении математической модели. Для того, чтобы перевести содержание задачи на математический язык, необходимо изучить и правильно истолковать его, формализовать вопрос задачи, выразив искомые величины через известные величины и введённые переменные.

Вторая трудность – составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводит учащийся.

Третья трудность состоит в том, чтобы составить функцию (отношение), применительно к которой формулируется вопрос задачи.

Четвертая трудность – решение полученного уравнения, системы уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным методом.

Задача 1. Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/ч выехал первый автомобиль, а через некоторое врем с постоянной скоростью второй. После остановки на 20 мин в пункте В второй автомобиль поехал с той же скоростью назад. Через 48 км он встретил первый автомобиль, шедший навстречу, и был на расстоянии 120 км от В в тот момент, когда в пункт В прибыл первый автомобиль. Найти расстояние от А до места первой встречи автомобилей, если АВ=480 км.

Самое важное- это понять, что первая встреча автомобилей произошла в тот момент, когда второй автомобиль обгонял первый.

Если обозначить расстояние от А до места первой встречи через S км, а скорость второго автомобиля через V км/ч, то из условия задачи видно, что расстояние в 72 км (120-48=72) второй автомобиль пройдет за то же время, которое понадобится первому автомобилю, чтобы преодолеть 48 км. Следовательно, , откуда V = 120 км/ч

От места первой встречи до пункта В первому автомобилю оставалось пройти (480- S) км со скоростью 80 км/ч. На это он затратил (480- S)/80 ч. За это же время второй автомобиль прошел от места первой встречи до пунктаВ, потратил 1/3 ч на стоянку в пункте В и еще 120/ Vч на то, чтобы отъехать от В на 120 км. Таким образом, можно составить еще одно уравнение

.

Из него, зная, что V=120, находим S=160.

Задача 2. Перемещение двух тел по окружности в разных направлениях можно уподобить движению навстречу друг другу по прямой, даже если тела стартовали из одной точки вроде бы сразу разошлись, а не сблизились.

Два тела, двигаясь по окружности в одном и том же направлении, встречаются каждые 56 мин. Если бы они двигались с теми же скоростями в противоположных направлениях, то встречались бы каждые 8 мин.. Если при движении в противоположных направлениях в некоторый момент времени расстояние по окружности между телами 40м, то через 24с оно будет 26м. (в течение этих 24 с тела не встретятся). Найдите скорости тел и длину окружности.

Пусть с - длина окружности, х м/мин - скорость 1-го тела, у м/мин- скорость 2-го, х у. При движении в одном направлении первое тело догоняет второе со скоростью (х – у)м/мин. После одного из обгонов следующий обгон имеет место через столько минут, сколько понадобится , чтобы преодолеть с метров со скоростью (х – у)м/мин, т.е. через 56 мин.

(1)

При движении в разных направлениях тела сближаются со скоростью (х + у)м/мин, причем с метров они вместе проходят за 8 минут.

(2)

Если первоначальное расстояние было равно 40 м, а осталось пройти до встречи 26м, то общий пройденный путь составляет 40м-26м=14м. Он был преодолен со скоростью (х+у) м/мин за 24с, т.е. за 2/5 мин.

(3)

Разделив уравнение 2 на 1,получим

,

Подставляя в уравнение 3 находим х=20, у=15, а из уравнения 2 получаем с=280.

Задачи для решения.

1. Пароход, отчалив от пристани А, спустился вниз по течению реки на 60 км до устья впадающего в нее притока и поднялся вверх по притоку (против течения) на 20 км до пристани В, Весь путь от А до В пароход прошел за 7 часов. Скорость течения реки и скорость течения притока равны 1 км/ч. Найти собственную скорость парохода (собственная скорость— скорость в неподвижной воде).

Ответ.11км/ч.

2. В соревнованиях по бегу на дистанцию 120 м участвуют три бегуна. Скорость первого из них на 1 м/с больше скорости второго, а скорость второго бегуна равна полусумме скоростей первого и третьего. Определить скорость третьего бегуна, если известно, что первый бегун пробежал дистанцию на 3 с быстрее третьего.

Ответ.8м/с.

3. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта В в пункт А выехал велосипедист, который встретил пешехода через 50 мин после своего выезда из В. Сколько времени потребовалось бы пешеходу, для того чтобы пройти весь путь из Л в В, если известно, что велосипедист проделал бы тот же путь на 4 часа быстрее пешехода?
Ответ.5часов.

4. От пристани А к пристани В против течения реки отошел катер, собственная скорость которого В стоячей воде в 7 раз больше скорости течения реки. Одновременно навстречу ему от пристани В, расстояние которой до А по реке равно 20 км, отошла лодка. На каком расстоянии от В произошла встреча катера. с лодкой, если известно, что через полчаса посла начала движения лодке оставалось проплыть 4 км до'; встречи и что катер затратил на весь путь до Е;стречи с лодкой на 20 мин больше, чем на путь от места встречи до пункта В?
Ответ.8км.

5. В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения пункта А он проехал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через 9 с после того, как автомобиль достиг пункта А, навстречу ему выехал автобус из пункта В, находящегося на расстоянии 258 м от пункта А. В первую секунду автобус проехал 2 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на I м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние проехал автобус до встречи с автомобилем?

Ответ.20м.

6. Станции А, В и С находятся на одной и той же железной дороге, причем расстояние от В до С равно 200 км. Известно, что скорый поезд, вышедший из Л, и пассажирский поезд, вышедший одновременно с ним из С, встретились на станции В. Найти расстояние между станциями А и С, если оно меньше 300 км, а скорый поезд идет в 1,5 раза быстрее, чем пассажирский.

Ответ.100км.

7. Два лыжника стартовали на дистанции 10 км друг за другом с интервалом в 6 мин. Второй лыжник догнал первого в двух километрах от точки старта. Дойдя до поворота на отметке 5 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого на расстоянии 1 км от точки поворота. Найти скорость первого лыжника.

Ответ.10км/ч.
8. Лодка плывет вчетверо медленнее катера, при этом 16км катер проплывает быстрее лодки на 3 часа. Найдите скорость лодки.

Ответ.4км/ч.

9.Петя вышел из школы и пошел домой со скоростью 4,5 км/ч. Через 20 мин по той же дороге из школы выехал Вася на велосипеде со скоростью 12км/ч. На каком расстоянии от школы Вася догонит Петю.

Ответ.2,4км.

Занятие 3-4. Задачи на проценты.

Проценты употребляются для сравнения однородных положительных количеств. Один процент это одна сотая: 1%=1/100, соответственно р% = р/100.

Один процент от количества А- это одна сотая часть количества А: 1% от А равен 1/100 А, р% от А равен А*р/100. Процентом р задается коэффициент к=р/100.

Вычисление количеств по процентам. Дано количество А и некоторый процент р. Требуется найти количество, которое этот процент выражает: Ар/100

Вычисление процентов по количеству. Сколько процентов составляет А от В: (А/В)*100%

Каково количество, р% от которого есть А: (100/р)*А

Каково количество, большее чем А на р%: (1+ р/100)*А

Каково количество, меньшее чем А на р%: (1- р/100)*А

На сколько процентов А больше чем В : .

Задача 1. Находясь в гостях у кролика, Вини-Пух за первые 3 часа съел 40% всего запаса меда кролика. Пятачок и кролик вместе, за это же время, съели 300 граммов меда. За следующие 3 часа Вини-Пух съел 2/3 оставшегося меда, а пятачок и кролик съели 100г меда на двоих, после чего у кролика осталось 1,6 кг меда. Сколько меда было у кролика до визита Вини-Пуха?

Пусть первоначально у кролика было х кг меда. Вини-Пух съел 1 раз 0,4х кг, а Пятачок и кролик съели 300г мёда. У кролика осталось х-0,4х-0,3=0,6х-0,3

Вини-Пух съел второй раз 2/3(0,6х-0,3)=0,4х-0,2, а Пятачок и кролик 100г. У кролика осталось 0,6х-0,3-0,4х+0,2-0,1=0,2х-0,2.Зная, что осталось 1,6кг ,составим уравнение: 0,2х-0,2=1,6 х=9

Задача 2. Длина дистанции трех дневной велогонки была 480 км. В первый день велогонщики проехали 25% всего пути, а во второй день 55% оставшегося пути . Сколько километров проехали велогонщики в третий день пути?

В 1-ый день проехали км

Оставшийся путь составил 480-120=360 км. Тогда во второй день велогонщики проехали км. В третий день велогонщики проехали 360-198=162км.

Задача 3. В одном городе Канады 70% жителей знают французский язык и 80%- английский язык. Сколько процентов жителей этого города знают оба языка.

Исходим из того, что каждый житель города знает хотя бы один из двух языков. Пусть х жителей знают только английский язык, у- только французский, с- оба языка.

, .

Сложив оба эти равенства получим : .

Задача 4. Капитал в 1300 рублей отдан в рост на 2,5 года по 6%. Сколько прибыли (процентных денег) получено с капитала?

1. 6%- это годовые проценты, найдем срочные проценты, т.е. проценты за 2,5 года. Срочные проценты равны 6%* 2,5=15%

15% прибыли составляют 15/100 части капитала. С капитала в 1300 рублей прибыли за 2,5 года будет получено: 1300 * 15/100=195 руб.

2. 2. То, что капитал был в обороте по 6%, значит что 6коп. процентных денег получено будет в 1 год с 1 рубля капитала. Найдем процентные деньги с 1рубля за 2,5 года. 6 *2,5 =15 коп. С капитала 1300 руб. процентных денег получено будет: 15 * 1300=195 руб.

Задачи для решения.

1.В начале года в сберкассу на книжку было положено 1640 руб. и в конце года было взято обратно 882 руб. Еще через год на книжке снова оказалось 882 руб. Сколько процентов начисляет сберкасса в год?
Ответ. 5%.

2.По оценке социологов за период в 24 года — с 1966 г. по 1989 г. включительно — в городе N должно было быть заключено 3150 браков. Фактически в 1966 г. состоялось ЮО.браков. Каждый последующий год заключалось на 5 браков больше, чем в предыдущий, пока не была досрочно, причем за целое число лет, достигнута предварительная оценка — 3150 браков. После этого, вплоть до конца 1989 г., годовое число вступлений в брак сократилось на 11 по сравнению с годом достижения оценки. На сколько процентов реальное число браков за 24 года превысило предварительную оценку?
Ответ. На 18%. 98

3. В сообщении о реконструкции цеха указано, что в результате реконструкции процент высвободившихся рабочих заключен в пределах от 1,7 до 2,3%. Определить минимально возможное число рабочих, первоначально занятых в цехе. Ответ.44.

4.Какой процент ежегодного дохода давал банк, если положив на счет 13000 рублей, вкладчик через 2 года получил 15730 рублей?

Ответ.10%

5.Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)

Ответ.1240

6. В осеннее – зимний период цена на фрукты возрастала трижды: на 10%, на 20%, и на 25%. На сколько процентов возросла зимняя цена по сравнению с летней?

Ответ.65%

7.Хлебопекарня увеличила выпуск продукции на 50%. На сколько процентов увеличится прибыль пекарни, если отпускная цена ее продукции возросла не 10%, а ее себестоимость для пекарни, которая до этого составляла ¾ отпускной цены, увеличилась на 20%.

Ответ.20%

8. На первом поле 65% площади занято овсом. На втором поле овсом занято 45% площади. Известно, что на первом и втором полях вместе под овсом занято 53% общей площади. Какую часть всей засеянной площади составляет первое поле?

Ответ.2/5

9. Число 51,2 трижды увеличили на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшили на то же самое число процентов, в результате получили число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?

Ответ.10%

Занятие 5-6. Задачи на смеси и сплавы

Задачи на смеси и сплавы вызывают наибольшие затруднения у школьников. В процессе решения каждой такой задачи целесообразно действовать по следующей схеме.

1. Изучение условия задачи. Выбор неизвестных величин (их обозначаем буквами х, у и т.д.), относительно которых составляем пропорции. Выбирая неизвестные параметры, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.

2. Поиск плана решения. Используя условия задачи, определяем все взаимосвязи между данными величинами.

3. Осуществление плана, т.е. оформление найденного решения – переход от словесной формулировки к составлению математической модели.

4. Изучение полученного решения, критический анализ результата.

При решении задач на смеси часто путают проценты и доли, раствор и растворенное вещество. Необходимо помнить, что массовая доля находится делением значения процентной концентрации на 100%, а масса растворенного вещества m(в-ва) равна произведению массы раствора m(р-ра) на массовую долю:

m(в-ва) = m(р-ра)• .

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, иллюстративные рисунки или вспомогательные таблицы.

Задача 1. В каких пропорциях нужно смешать а%-й и b%-й растворы кислоты (a b), чтобы получить с%-й раствор?