Элективный курс «Числа правят миром» для учащихся 10 классов

4

§1. Приложение теории делимости чисел к решению задач

Как известно операциями над числами занимается арифметика. Она зародилась в глубокой древности, и является старейшей отраслью математики. Научным обобщением арифметики является теория чисел. Результатами этих наук, полученными древними учеными, активно пользуются и в наше время. Роль теории чисел в середине 𝑋𝑋 века и 𝑋𝑋𝐼 века существенно изменилась. С появлением компьютеров, она нашла свое место не только в математики, но и в информатики. Роль теории чисел с развитием компьютерных технологий значительно увеличилась и изменилась. Она нашла многочисленные приложения при обработке, передаче и защите информации, представимой в числовом виде. Поэтому в школьный курс математики вошли некоторые разделы теории чисел, ранее не изучавшихся, например: алгоритм Евклида и решение уравнений в целых числах. Многие и разнообразные задачи теории чисел из школьного курса вводились в олимпиады, в международные конкурсы и вступительные экзамены лучших ВУЗов страны, а сегодня представлены в ЕГЭ в виде задачи С6 [2].

Практического применения до середины 𝑋𝑋 века теории чисел не находили. В частности, английский математик Харди, называл ее чистой наукой. Начиная со второй половины 𝑋𝑋 века, появились криптографические протоколы, использующие вычислительную трудность решения задачи разложения больших чисел на простые, вычислительную трудность решения задачи дискретного логарифмирования и других теоретико-числовых задач. Вычислительная трудность решения данных задач не имеет строгого математического обоснования и является скорее предметом веры, что не мешает использовать соответствующие криптографические протоколы, в том числе в банковской практике.

Следует отметить, что особое место задач 𝐶6 — теоретический материал для их решения. Он преподается достаточно рано (в 6 – 7-ом классах), а некоторые разделы не входят в обязательную программу и изучаются только в профильных классах (с 7 по 9). Поэтому для успешного решения задач 𝐶6, следует повторить школьный материал по теории чисел. Исходя из этого, первая часть учебно-исследовательской работы посвящена классификации задач 𝐶6 по темам и сравнительному анализу методов их решения. Итак, целями учебно-исследовательской работы являются классификация задач по арифметике и алгебре, прилагаемых в заданиях 𝐶6 ЕГЭ из открытых материалов ЕГЭ по математике, и сравнительный анализ методов их решения. В данной учебно-исследовательской работе мы приводим решения задач по арифметике и алгебре 𝐶6 ЕГЭ, давно включаемых во вступительные экзамены в ведущих ВУЗах России, но в ЕГЭ появившееся с 2010 года. Все задачи, решение которых мы представили в работе, взяты из книг по подготовке к ЕГЭ 2010 – 2011, демонстрационных вариантов ЕГЭ 2010 – 2011 и пособий для поступающих в ВУЗы. Так как некоторые задачи из данных источников решены авторами, то мы приводим свое решение, которое тоже может представлять интерес [2].

Рассмотрев задачи из описанных выше источников, мы выделили следующие классы задач:

∙ Признаки делимости.

∙ Наибольший общий делитель.

∙ Наименьшее общее кратное.

∙ Текстовые задачи.

Все необходимые теоретические сведения для решения задач по теории чисел, изучаются в школах в профильных классах, их можно найти в учебниках по алгебре, и по алгебре и началам анализа (с 7 по 10 класс, профильный уровень).

Делимость и признаки делимости чисел.

Данный класс задач очень широко представлен во всех открытых источниках ЕГЭ. В нашей классификации мы не приводим много задач этого класса, так как делимость и признаки делимости чисел встречаются практически во всех задачах арифметики и алгебры, представленных в ЕГЭ, из-за чего свойства делимости и признаки делимости чисел будут встречаться в других классах задачах из нашей классификации [11].

Пример 1.

В данной задаче используется связь НОД с НОК, поэтому мы также отнесли ее к классу делимости чисел.

Условие задачи. Произведение четырех натуральных чисел меньше, чем их сумма, а сумма трех из этих чисел равна . Найдите НОД и НОК этих чисел.

Решение.

Пусть — данные числа, тогда:

Произведение из четырех натуральных чисел может быть меньше суммы, состоящей из этих четырех чисел и равной , только тогда, когда три числа равны .

Доказательство этого утверждения методом от противного.

Пусть это не так, т.е.

— такого быть не может предположение неверно утверждение доказано.

Предположим, что сумма трех чисел была равна ; сумма трех чисел равна ; сумма трех чисел была равна ;

— данное неравенство имеет решение при: но при этих значениях и сумма трех чисел не будет равна предположение неверно ⇒ утверждение доказано. Случай, когда только одно число равно , доказывается аналогично. Утверждение доказано.

Так как есть числа, равные , то НОД всех четырех чисел равен (по определению НОД)(по теореме о связи НОД с НОК) Получаем:,

,

Ответ:

Текстовые задачи. Текстовые задачи, связанные с повседневной практикой, мы выделили в отдельный класс, потому что в них могут использоваться любые сведения из теории чисел, изучаемые в школе.

Пример 2.

В данной задаче можно составить линейное целочисленное уравнение, решение которого, а, следовательно, решение задачи, можно получить с использованием алгоритма решения линейных целочисленных уравнений.

Условие задачи.

Ваня купил раков, в среду мелких, по цене 5,10 руб. за штуку, а в четверг – по 9,90 руб., но очень крупных. Всего на покупку истратил 252 руб., из них переплаты из-за отсутствия сдачи составили от 1,60 до 2 руб. Сколько Иван купил раков в среду и сколько в четверг.

Решение.

Переведем все цифры из рублей в копейки, для того чтобы они стали целыми. Получаем: 510 коп., 990 коп., 25 200 коп., 160 коп., 200 коп. Пусть Ваня вчера купил раков, а сегодня – раков (,). Тогда получаем уравнение: 510 + 990 = , где — общая сумма денег, потраченная на раков (). Для того чтобы уравнение имело решения, нужно

НОД(510, 990) = , (по достаточному признаку решения линейных целочисленных уравнений). НОД(510, 990) = 30, т.к. 550 = 2 · 5 · 17 · 3, 990 = 2 · 5 · 11 · 9. Так как Ваня заплатил за раков 25 200 копеек, и из них переплата составили от 160 коп до 200 коп., то лежит в промежутке от 25 000 до

25 040 (причем ). Так как число 30 = 2 · 3 · 5, то переплату и общую сумму денег, потраченную на раков, можно сократить в 10 раз.

Получаем, что переплата лежит в промежутке от 16 до 20, значит, общая сумма денег лежит в промежутке от 2 500 до 2 504(все рассматриваемые промежутке состоят только из натуральных чисел).

Подбором из промежутка 2 500, 2 504, в который входят натуральные числа, находим число, делящееся на 3 — это число равно 2 502. Откуда = 25 020. Получаем уравнение: 510 + 990= 25 020. Преобразуем его: 510 + 990 = 25 02017 + 99 = 834. (*)

Применим для полученного уравнения алгоритм решения линейного целочисленного уравнения. 17 + 99= 1, = 17, = 99;; , ; ; = 1, ; . Подставляем вместо их значения:

Частным решением уравнения (*) будут: . Общее решение: , где – целое число. Так как – натуральное число, то . Поэтому найдем , такое что . , т.к. — целое число. При = 50, =18, =16. Больше, чем 50, число быть не может, т. к. тогда будет отрицательным числом, а по условию оно натуральное.

Ответ: 18, 16.

Сегодня в школе очень мало времени уделяется на теорию чисел. На данный момент на делимость чисел выделяться 15 часов в 6 классе, а в остальном школьном курсе теория чисел, а именно делимость чисел не прослеживается в явном виде. Только кратко затрагиваются отдельные темы, на которые учителя очень мало уделяют внимания, так как в учебном плане либо эти темы не освещены, либо выделено мало часов. Поэтому мы предлагаем разработать элективные занятия: «Числа правят миром», где более подробно будет освещена тема делимость чисел. Подробно здесь осветим признаки делимости чисел, которые будем изучать на элективных занятиях [23].

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Чтобы узнать, делится ли двузначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам - если сумма делится на 2, значит, число делится на 4. Например, 92 : 9 + 1 = 10, значит, 92 делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра 5 или 0 Признак делимости на 6 Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как делится на 7). Либо использовать модификацию признака деления на 1001 = 103+1, которое само делится на 7: Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «−» делилась на семь (например, число 689 255. Первая группа со знаком «+» (255), вторая со знаком «−» (689). Отсюда 255 + (−689) = −434. В свою очередь 434 : 7 = 62).

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Чтобы узнать, делится ли трёхзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8. Например, 952 : 95 + 1 = 96, далее 9 + 3 = 12. Значит, 952 делится на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 35 без остатка.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11. Примеры. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих чётные места, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 − 7 = 4 на 11 не делится.

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного отбрасыванием последней цифры и учетверенной последней цифры, делится на 13. Например, 845  13 , так как 84 + (4 · 5) = 104 13, 10 + (4 · 4) = 26 13.

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29 053 → 2 905 + 36 = 2 941 → 294 + 12 = 306 → 30 + 72 = 102 → 10 + 24 = 34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29 053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц кратна 17 (например, 32 952 → 3295 − 10 = 3285 → 328 − 25 = 303 → 30 − 15 = 15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32 952 не делится на 17) [2].

§2. Программа элективного курса «Числа правят миром»

1. Пояснительная записка

Элективный курс «Числа правят миром» является предметно-ориентированным и предназначен для расширения и углубления теоретических и практических знаний учащихся.

Приобретенные в процессе практической деятельности знания и умения помогут учащимся в формировании ключевых компетенций — готовности учащихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач.

Содержание курса рассчитано на один год и полностью соответствует требованиям к уровню подготовки выпускников по математики на ступени основного общего образования, а именно: свободно, правильно излагать свои мысли в устной и письменной форме, развивать свою мыслительную деятельность, абстрактное мышление. Это связанно с тем, что в это время учащиеся располагают всеми знаниями, которые нужны на начальном этапе изучения элективного курса и углубят свои знания на следующем этапе элективного курса.

Данный курс не дублирует программы по математики, а лишь опирается на знания и умения, полученные учащимися, совершенствует их, восполняет возникшие проблемы в обучении, давая широкий просмотр для развития самостоятельности и творческой деятельности. Учащиеся более подробно знакомятся с теорией чисел (с делимостью чисел, с делимостью многочленов и сравнением). Представленная программа элективного курса предполагает решение дополнительных задач, многие из которых понадобятся как при подготовке к экзаменам, в частности ЕГЭ, так и при учебе в высших учебных заведениях.

Представленная программа элективного курса предполагает решение дополнительных задач, многие из которых понадобятся как при подготовке к экзаменам, в частности ЕГЭ, так и при учебе в высших учебных заведениях. Предлагаются к рассмотрению следующие вопросы курса математики, выходящие за рамки школьной программы: делимость чисел; делимость многочленов; разложение многочленов на множители; сравнение чисел и их свойства; сравнение первой степени и др.[3].

Элективный курс представлен в виде практикума, который позволит систематизировать и расширить знания учащихся в решении задач по математике и позволит начать целенаправленную подготовку к сдаче экзамена в форме ЕГЭ.

Программа элективного курса предназначена для учащихся 10 класса, рассчитана на 16 часов.

Основная цель курса:

основываясь на интересах и склонностях учащихся, расширить и углубить знания по предмету, обеспечить усвоение ими программного материала, ознакомить школьников с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики на практике.

Основные задачи элективного курса:

1. Расширение кругозора учащихся;

2. Развитие математического мышления и формирование активного познавательного интереса к предмету;

3. Воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углубленного изучения математики.

4. Приобщение учащихся к исследовательской деятельности;

5. Подготовка одаренных школьников к олимпиадам;

6. Знание признаков делимости натуральных чисел на числа от 2 до 17, во-первых, значительно сэкономит время в получении ответа на вопрос, об определении делимости числа не прибегая к самому действию деления, во-вторых, исключит вычислительную ошибку, которую можно сделать при выполнении деления;

7. Систематизация, обобщение знаний и умений по математике.

Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером.

Предполагаемые результаты.

Изучение данного курса дает учащимся возможность:

• повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики; (определения делимости чисел, признаки делимости на 5, на 10 и на 2, на 3 и на 9, понятие делителя, делимого и кратного, определение простого и составного числа, определение НОД и НОК)

• освоить основные приемы решения задач (применять основные факты математического анализа для решения задач, применения признаков делимости и их комбинация);

• овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;

• познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач(использовать свойства сравнения для решения задач);

• повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;

• познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе интернет-ресурсов, в ходе подготовки к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

1. Содержание курса и методические рекомендации

Делимость чисел и многочленов (9 часов)

Введение в историю математики. Делимость чисел. Повторение делимости чисел в курсе математике 5-6 класса. НОД и НОК. Основные свойства НОД и НОК. Алгоритмы нахождения НОД и НОК. Признаки делимости на 4, 6, 7 и на 8. Признаки делимости на 11, 12, ..., 17. Признаки делимости. Обобщение и систематизация. Признаки делимости суммы и разности. Признаки делимости суммы, разности и произведения. Делимость многочленов. Разложение многочленов на множители. Нахождение НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида.

Методические рекомендации.  На первых занятиях повторяем изученный материал 5-6 классов, затем четко вводим признаки делимости чисел и даем возможность вывести их самостоятельно ученикам. Учащиеся на занятиях работают самостоятельно либо в группах. Учитель помогает лишь при необходимости. При изучении данной темы вырабатывается самостоятельность учащихся и коллективизм, так же развивается творческая деятельность учащихся и лидерские способности. На первом занятие, которое посвящено многочленам, ведется беседа с учениками. Ученики знакомятся с основными понятиями. На втором уроке работают в парах, и самостоятельно в конце занятия ведется проверка работ учащихся и выставления баллов. На каждом занятие разбираются задачи разного уровня сложности. От простых, повторяющих школьную программу задач (таких немного), до сложных задач, решение которых обеспечивает хорошую и отличную оценку на экзаменах.

Сравнение чисел (7 часов)

Сравнение чисел. Сравнение чисел и их свойства. Сравнение первой степени. Обобщение, систематизация и коррекция знаний по изученным темам.

Методические рекомендации. Данная тема изучается лишь в профильных классах, поэтому в начале изучения материала необходимо объяснить ученикам, почему водится эта тема и для чего она нужна, затем давать основные понятия сравнения и решать вместе с учениками элементарные задачи сравнения. Сравнение рассматривается для чисел и важность изучения этой темы в том, что она тесно связана с делимостью чисел. Сравнение с неизвестной переменной. Важно объяснить ученикам, что сравнивать можем не только числа, но и одночленов вида, где — некоторое целое число, а — неизвестная переменная. Первое занятие учитель объясняет материал и дает задачи аналогичные тем, которые он вместе с учениками прорешал. На втором занятии проводится самостоятельная работа для контроля знаний и оставшуюся часть занятия учитель проводит в виде игровой деятельности.

Материал излагается при рассмотрении конкретных задач на оптимизацию с привлечением учащихся, при этом выделяются основные методы и приемы их решения. Учитывая сложность таких заданий, на этих занятиях преобладают фронтальные и групповые формы работы. Так как при решении заданий на применение теории чисел требуется время, то качество ее усвоения проверяется при выполнении домашней самостоятельной работы.

В разделе  «Итоговое повторение» предполагается провести заключительную контрольную работу по материалам и в форме ЕГЭ, содержащую задания, аналогичные демонстрационному варианту.

1. Учебно-тематическое планирование элективного курса по математике для учащихся 10 классов

«Числа правят миром»