Эвристические метапредметные задания по математике

Эвристические метапредметные задания

Метапредметные задания выстраиваются вокруг фундаментальных образовательных объектов и направлены на формирование у обучающегося целостного представления об окружающем мире, законах и закономерностях, которые в нем действуют. Эти задания часто опираются на исторические факты, философские воззрения различных эпох и востребуют глубокое проникновение в суть вещей и символотворчество. Число, закономерность, операция, фигура, пространство, вероятность, расстояние и др. – вот те фундаментальные образовательные объекты, которые рассматриваются на уроках математики.

Результатом работы над метапредметным заданием может быть образ, символ, новый знак, классификация, новое определение, теория, выведенный закон.

При оценке продукта учащегося необходимо обращать особое внимание на мировоззренческую глубину, логичность и обоснованность представленной работы.

1. Философия числа.

Для Платона числа – это гармония вселенной. Для Аристотеля число было началом и сущностью вещей, их взаимодействием и состоянием. Нечётные числа являются мужскими, а чётные – женскими. Какие числа для вас связаны с чем-то личным? На какие группы вы разделили бы их? Составьте уравнение с помощью этих чисел и решите его. Несёт ли решение этого уравнения какой-то особый смысл для вас?

2. Живое число.

Пифагор считал числа живыми божественными силами, которые управляют миром. Постигая свойства числа можно было понять сущность мира. Проведите исследование числа 1 и сформулируйте все обнаруженные вами его свойства.

3. Грани числа.

Древние философы считали, что число 3 и 1 + 1 + 1 не одно и то же. Почему? Чем отличаются друг от друга такие выражения: 2; 4/2; 10/5; 1х2; корень квадратный из 4? Какие свойства чисел вы использовали для ответа на вопрос?

4. Символ связи.

В настоящее время с числом  связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Говорят, что число  символизирует связь круглого с прямолинейным. Как вы это понимаете? Приведите как можно больше математических фактов, подтверждающих это высказывание. Придумайте оригинальный способ изобразить эту символическую связь.

5. Число 21-го века.

Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число). Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почётный гость.

Но времена меняются. Какое число (или числа) в наши дни достойно почитания, на ваш взгляд? Почему? Опишите математические свойства этого числа. Как сегодня «почитают» это число?

6. Особенное число.

Число ПИ, равное отношению длины любой окружности к её диаметру, - это единственное число, которому поставлен памятник (он расположен перед зданием музея искусств в Сиэтле). ПИ – единственное число, у которого есть свой праздник: 14 марта (в американской системе записи дат 3/14) празднуется Международный день числа ПИ. Считается, что в десятичных знаках этого числа зашифрована практически вся информация, которой располагает человечество.

Если бы вы участвовали во всемирном конкурсе на лучшую надпись для памятника числу ПИ, какую надпись бы предложили?

7. Мистика чисел.

Сумма кубов трёх первых чисел 1, 2, 3 равна 36. Сумма первых четырёх чётных и первых четырёх нечётных чисел также равна этому числу. У пифагорейцев самой страшной клятвой была клятва числа 36, они считали, что весь мир состоит из четырёх первых чётных и четырёх первых нечётных чисел. У китайцев четыре первые четные числа представляют чистые и небесные элементы мироздания, четыре первые нечетные числа - нечистые и земные. В халдейской мифологии число 36 известно под именем Tetractys. Напишите беседу 2-3 математиков древности и современности о природе этого числа с математическим обоснованием их позиций.

8. Смысл выражения.

Чем отличаются следующие два математических выражения: 1 + 1 = 2 и 2 = 2? Раскройте смысл данных выражений и дайте объяснение их отличия.

9. Прямоугольное уравнение.

Квадратное уравнение и прямоугольный треугольник – в привычных математических названиях поистине совмещаются несовместимые вещи. А можете ли вы себе представить, допустим, треугольный квадрат? Или прямоугольное уравнение? Предложите математически обоснованные толкования этим новым понятиям. Предложите один-два своих математических термина, в которых сочетались бы, на первый взгляд, несовместимые математические свойства.

10. Реальная закономерность.

Предложите числовую последовательность, взяв за основу реальные события своей жизни. Обоснуйте полученную закономерность.

11. Извлекая корень.

«Зри в корень!» – это высказывание Козьмы Пруткова можно считать объяснением понятия «корень» – суть, исток, причина…Математики ищут корни уравнений и извлекают квадратные корни из чисел, лингвисты – ищут корни слов… Продолжите операцию извлечения корней для других наук: какие корни, из каких объектов и как можно извлечь при изучении других наук? Приведите примеры.

12. Датчики случайности.

Случайные числа очень часто используются в программировании, при моделировании различных процессов. Но получение случайных чисел – отнюдь не тривиальная задача! В компьютере случайные числа рассчитываются по формуле, не являясь в полной мере «случайными». Раньше для получения случайных чисел использовали рулетку, а также таблицы чисел для выбора их наугад, или преобразование в числа показаний датчиков шумов. А какие ещё процессы (например, в вашей жизни) могут выступать в качестве датчика случайных чисел? Приведите примеры таких источников, получаемые последовательности и интервалы случайных чисел.

13. Двадцать пятый час.

В Дискордианском календаре 5 сезонов по 73 дня. Дискордианизм описывается как «пародия на религию или религия, маскирующаяся под пародию». Основывается она на принятии теории, что дисгармония и хаос играют значимую роль во Вселенной. Подберите такие числа, которые мог бы использовать Дискордианизм в своей теории. Напишите, почему они уместны для хаоса или для пародии на хаос?

14. Г + В – Р.

Какие элементы можно посчитать у объемной фигуры? Вершины (В), рёбра (Р), грани (Г). Сосчитайте их количество для куба, тетраэдра, фигур, которые видите на рисунке. Составьте из этих чисел примеры Г + В – Р и найдите ответ для каждой фигуры. Какой вывод можно сделать из полученных результатов? Где могут пригодиться выявленные закономерности?

15. Абсурдное решение.

Иногда математически верное решение задачи в жизни оказывается абсурдным, например, как в анекдоте: Физик, биолог и математик проводят эксперимент. С утра, после открытия кафе, они делают подсчет: сколько людей вошло в кафе и сколько из него вышло. После закрытия кафе оказывается, что вышло на одного человека больше, чем вошло. Физик говорит, что расчеты всегда имеют погрешность и можно пренебречь одним человеком. Биолог утверждает, что люди имеют свойство размножаться. А математик предполагает, что если сейчас в кафе впустить ещё одного человека, то их там станет ноль…»

Предложите жизненную задачу, решение которой с математической точки зрения будет верным, но с точки зрения человеческого разума абсурдным. Решите ее математически и покажите абсурдность, с точки зрения реальности.

16. Новая операция.

Как известно, над действительными числами можно совершать различные математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. Каждая из этих операций обладает определенными свойствами. Например, сложение и умножение коммутативны и ассоциативны (работают переместительный и сочетательный законы), а действия вычитания и деления коммутативностью не обладают. Операции бывают бинарными (все те же действия + - * /) или унарными (возведение в степень, извлечение корня). К операциям можно причислить также округление, нахождение остатка от деления и др. Предложите свою новую математическую операцию над числами, сформулируйте её свойства, связанные с нею математические действия или законы. Укажите, для чего эта операция необходима.

17. Расстояние между словами.

В математике сформулированы три аксиомы расстояния. Первая из них – расстояние между двумя точками неотрицательно, причём оно равно нулю, только если точки совпадают. Вторую и третью аксиомы вы, конечно, без труда вспомните сами (ρ(А, В) = ρ( В, А); ρ(А, В) + ρ(В, С) ≥ ρ(А, С)). Но можно измерять расстояния не только между точками, но и, например, между словами! Назовём расстоянием между двумя трёхбуквенными словами количество несовпадений букв, стоящих на одинаковых местах. Расстояние от слова «шар» до слова «шаг» равно 1, а от слова «шар» до слова «мир» - 2. Убедитесь, что все аксиомы расстояния выполняются! Предложите ещё несколько способов измерять расстояния между словами с доказательством того, что все три аксиомы расстояния будут выполняться.

1 8. Геометрия мира.

Знак «пацифик» - символ мира – был разработан в конце 50-х годов 20 века. изначально он был создан как сочетание семафорных сигналов N и D, что означает «ядерное разоружение». Математики с древних времен утверждают, что в числах и фигурах, отношениях между ними скрыт особый смысл – не зря существуют такие понятия, как «совершенные числа», «золотое сечение» и т.д. Установите геометрические свойства знака пацифик и сделайте вывод, отражает ли данная геометрическая форма своё символическое содержание?

19. Пространство.

Однажды один известный математик пытался объяснить своему знакомому поэту, что такое пространство. «Это всё не так, - заметил поэт. – Я знаю, что пространство голубое и по нему летают птицы». Возможно ли общее или единое понимание пространства? Существует ли метапредметный (лежащий вне какого-либо одного учебного предмета или науки) смысл пространства? Примените известные вам математические способы для исследования пространства. Результаты исследования изложите по следующему плану: предмет исследования, цель исследования, проведенные математические опыты и выводы из них.

20. Мнимые фигуры.

В математике есть необычное число, обозначаемое буквой i, которое равно корню квадратному из минус единицы. Это число получило название мнимой единицы. Дж. Кардано, который ещё в 1545 году ввёл мнимые величины, считал их бесполезными, непригодными к употреблению. Ньютон даже не включал мнимые величины в понятие числа. В 1837 году У.Гамильтон построил теорию комплексных чисел вида z = x + iy, где x и y – действительные числа, i – мнимая единица. Данная теория помогла решить ряд математических проблем. Какие проблемы, на ваш взгляд, можно решить с помощью введения мнимых геометрических элементов и фигур, например, мнимой точки, мнимой прямой и т.д.? Опишите свойства мнимых геометрических элементов и фигур. Чем они отличаются от действительных элементов и фигур, чем похожи?

21. Моя геометрия.

Н.И.Лобачевский, как известно, показал возможность геометрии, отличной от евклидовой. Он заметил, что первичные геометрические понятия типа «пространство», «поверхность», «линия», «точка», «угол» не имеют природной опоры, приобретаемой посредством наших чувств. «Вместо того, чтобы начинать Геометрию прямой линией и плоскостью, как это делается обыкновенно, предпочел начать сферой и кругом, которых определение не подлежит упреку в неполноте, потому что в этих определениях заключается способ, каким образом эти величины происходят» (Н.И.Лобачевский, «Новые начала геометрии»). Плоскость затем он определил как геометрические место кругов пересечения равных сфер, описанных около двух неподвижных точек – полюсов. Из этого определения Лобачевский вывел все основные свойства плоскости и т.д.

Предложите свои идеи для построения Новейшей геометрии. Какие понятия вы предлагаете сделать первичными, опишите их свойства. Дайте определения других производных от них понятий.

22. Восприятие непредсказуемости.

Одни люди, если монетка десять раз выпала «орлом», считают, что на следующий раз скорее всего она выпадет «решкой». Другие, думают, что вероятность выпадения «орла» в этом случае 50% на 50%. А умные люди догадываются, что монетка гнутая.

Народная мудрость

Если кто-либо скажет нам, что подбросив монету 15 раз и, обозначив «орла» единицей, а «решку» – нулем, получил такой результат: 110100111010101, мы вряд ли удивимся. Однако, если нам скажут, что результат бросаний был таким: 111111111111111, мы будем поражены и усомнимся в корректности эксперимента. Почему? Ответ на этот вопрос связан с математикой или психологией?

Рассмотрите математические свойства нескольких цепочек из 15-ти цифр 0 или 1, являющихся моделями некоторых реальных процессов или явлений. Запишите, к какому типу восприятия вы отнесете каждую: как в первом указанном выше случае, назовем её «вероятною», или как во втором – «невероятною». Результаты запишите по плану:

I. «Вероятные» цепочки

1. Цепочка, что моделирует, её математические свойства

2. Цепочка, что моделирует, её математические свойства

…

II. «Невероятные» цепочки

1. Цепочка, что моделирует, её математические свойства

2. Цепочка, что моделирует, её математические свойства

Изменится ли восприятие каждой числовой последовательности, если рассматривать только математические свойства цепочек, не связывая их с реальными явлениями? Сделайте вывод – что влияет на восприятие человеком числовых закономерностей.

23. Кофейное пространство.

Вы знаете, что векторы связаны с кофе? Линейным или векторным пространством называют множество, на котором введены операции сложения и умножения на число и выполняется несколько аксиом. Причём, множество может состоять из элементов любой природы. Возьмём вместо вектора… чашечку кофе. Это множество разнообразно: они разного размера, их содержимое весьма различно: кофе крепкий или основательно разбавленный молоком.

Введём над элементами множества вышеуказанные операции. Если к имеющейся чашечке кофе добавить ещё пару таких же чашечек, то содержимое сосуда увеличится в три раза. Будем говорить, что в этом случае мы умножили элемент множества на число три.

Возьмём приготовленные по разным рецептам две чашки кофе и сольем их вместе. Примем такое действие как определение сложения двух элементов множества. В результате сложения мы получим не что иное, как элемент заданного множества – чашку кофе.

Важно, чтобы введённые операции удовлетворяли определенным аксиомам. Например, знакомая вам с детства аксиома сложения (х + у = у + х) здесь совершенно очевидна. Другая аксиома: существование нуля – это чашка, которая пуста.

А какие у вас пристрастия? Постройте пространство соответствующее вашим интересам. Определите множество, задайте операции умножения на число и сложения. Рассмотрите основные аксиомы. Для чего может понадобиться построение такого пространства?

2 4. Матрёшка – символ математики?

Может ли обычная детская игрушка воплощать в себе целый свод математических понятий? С точки зрения математики – может! Попробуйте свои силы – составьте свой список математических понятий, действий, операций, законов, которые можно объяснить с помощью матрёшки.

Литература:

Математика, 9-11 классы. Сборник эвристических заданий. Учебно-методическое пособие / под ред. А.В.Хуторского. – М.: Издательство «Эйдос», Издательство Института образования человека, 2013.