Физический смысл производной

Физический смысл производной

Выполнила: Григорьева Алена, студентка 1 курса ГАУ ко поо Кст

История появления производной

В конце 12 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал, что Путь и скорость связаны между собой формулой: V(t) = S’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, химией, биологией и техническими науками.

Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу.

Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции 

y = f(x) получать новую функцию, которую называют  производной функцией   (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом штрих

Определение

  - Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.   Таким образом,

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ:

Допустим есть некоторая точка, которая двигается вдоль оси ОХ, и ее координата меняется со временем по закону х (t) или s(t).

Получается, что х(t) - это функция того, как меняется расстояние.

Мы знаем определение производной: это темп изменения функции. Если говорить про темп изменения расстояния, то можно догадаться, что это скорость. то есть:

• Чтобы найти скорость материальной точки, необходимо взять производную от закона движения:

v(t) = x'(t)

Темп изменения скорости - это ускорение.

• Чтобы найти ускорение, необходимо взять производную от функции скорости, то есть вторую производную от координаты:

a (t) = v'(t) = x"(t)

Таким образом, скорость материальной точки v(t) - это первая производная от функции расстояния (координаты),

а ускорение a(t) - вторая производная от функции расстояния.

Производная выражает мгновенную скорость

в момент времени t .

Задача 1

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6 - 48 +17 (где x   — расстояние от точки отсчета в метрах, t   — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t   =  9 с.

Задача 2

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=- + 6+5t +23 (где x   — расстояние от точки отсчета в метрах, t   — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t=3 с.

Задача 3

Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат  — расстояние s .

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Решение.

Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s ( t ). Точек экстремума на графике 6.

Ответ: 6.

Использованные источники

1 https ://studfile.net/preview/16705087/page:2 /

2 https:// maximumtest.ru/uchebnik/10-klass/matematika/smysl-proizvodnoy

3 https:// ege.sdamgia.ru/test?theme=69