Формирование финансовой грамотности в школьном курсе математики

Формирование финансовой грамотности в школьном курсе математики

Н.А. Киселёва,

учитель математики МБОУ ВСОШ №1

Актуальность проблемы

Решение прикладных задач показывает практическое применение математического аппарата, изучаемого в школе; пробуждает интерес у учащихся к изучению предмета; осуществляет функции интеграции школьных предметов

Цель: - облегчить работу учителя по подбору задач экономического содержания; - показать учащимся необходимость изучения процентов для применения их в различных практических ситуациях; - сформировать у учащихся навыки перевода реальных ситуаций в различные математические модели; - обобщить методы решения задач с экономическим содержанием как базового, так и повышенного уровня.

Финансовая математика. Задание № 15 (ЕГЭ-2022).

Математическая модель. М атематическая модель – это система математических соотношений – формул, уравнений, неравенств и т.д., отражающих существенные свойства объекта или явления. Создавая математическую модель для решения задачи, нужно: выделить предположения, на которых будет основываться математическая модель; определить, что считать исходными данными и результатами; записать математические соотношения, связывающие результаты с исходными данными.

Классификация задач с экономическим содержанием

По сюжетам задач

По математическим методам

• Задачи на вклады;
• Задачи о кредитах;
• Торгово-денежные отношения;
• Курсы валют;
• Инфляционные процессы;
• Выборы и социологические опросы

• Простейшие задачи на проценты;
• Пропорциональное деление величины;
• Процентное изменение величины;
• Проценты и соотношения между величинами;
• Формула простых процентов;
• Формула сложных процентов;
• Задачи на оптимизацию

Простейшие задачи на проценты. Процент – сотая часть целого. 1. Как выразить число в процентах. Чтобы выразить число в процентах достаточно умножить его на 100 и поставить знак %. Пример: 4 = 4 2. Как выразить проценты в виде десятичной дроби? Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби достаточно число процентов разделить на 100. Пример: 300% = 300 : 100 = 3; 36,7% = 0,367.

Чтобы найти проценты от данного числа, надо: 1) выразить проценты в виде дроби; 2) умножить заданное число на эту дробь. Чтобы найти число по данным его процентам, надо: 1) выразить проценты в виде дроби; 2) разделить заданное число на эту дробь. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо: 1) найти отношение этих чисел; 2) умножить это отношение на 100 и приписать знак %.

Пропорциональное деление величины - Чтобы разделить число А на части, прямо пропорциональные данным числам a , b , c (разделить в данном отношении a:b:c ), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них: c - Чтобы разделить число А на части, обратно пропорциональные данным числам a , b , c (разделить в данном отношении a:b:c ), надо разделить это число на части, прямо пропорциональные числам , , . - Чтобы найти, в каком процентном соотношении находятся числа a , b , и c, надо определить, какой процент составляет каждое число по отношению к сумме этих чисел. Пусть - искомые проценты (), тогда:

Процентное изменение величины Задачи на процентное изменение величины уже нельзя отнести к простейшим. Они решаются в несколько действий. В большинстве случаев эти задачи удобно решать с помощью формул. 1) Если значение а выросло на p %, то новое значение будет 2) Если значение с уменьшилось на p %, то новое значение будет c 3) Если А больше В на p %, то A Выразим из последней формулы p: % формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше, чем В. 4) Если В меньше А на q %, то %

Кредиты Выбирая кредитную программу, потенциальные заемщики ориентируются на процентную ставку по кредиту. Таких методов существует два: дифференцированные платежи и аннуитетные платежи . Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего. Аннуитет — начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится — выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но увеличивает общую сумму начисляемых процентов.

Табличный способ решения задач Табличный метод – это решение путем занесения содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу. Суть метода – максимально компактно представить информацию не только об условии задачи, но и обо всех промежуточных результатах вычислений. Он позволяет видеть задачу целиком.

Таблица дифференцированного платежа

Период

Период

Долг в начале периода

Долг в начале периода

Годовой платеж

Годовой платеж

1

1

Д

Платеж по долгу

2

Д

Платеж по долгу

2

Платеж % банку

………

………

Платеж % банку

…… .

…… .

…… .

k

…… .

итого

итого

…… .

…… .

k

Д

Д

Таблица аннуитетного платежа

Период

Период

Долг в начале периода

1

1

Долг в начале периода

Д

Д

2

2

3

Долг в конце периода

Д -

Долг в конце периода

3

Д

4

Ежегодный платеж

Ежегодный платеж

4

Остаток

Остаток

Д

Задачи на оптимизацию – текстовые задачи, в которых необходимо найти наименьшее или наибольшее значение некоторой величины. При решении большинства этих задач применяется производная. Для их решения нужно: 1. Составить функцию, которую необходимо оптимизировать. 2. Найти ее производную. 3. Приравнять к нулю, чтобы выявить критические точки. В них функция принимает наименьшее или наибольшее значения. 4. Подставив найденные значения в функцию, получим ответ задачи. Важно! Критические точки, наибольшее (наименьшее значение) функции иногда можно найти без производной!

Задание 15 №  506090 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Сумма кредита - а, а=9930000

Ежегодный платеж - х,

1,1(1,1(1,1а-х)-х)-х=0,

%- р, р=10%

1,331а=3,31х,

Ответ: 3993000 рублей.

n=3, m=1+0,01·10=1,1

Долг

1 год

Платеж

2 год

1,1а

Остаток

З год

х

1,1(1,1а-х)

х

1,1а-х

1,1(1,1а-х)-х

х

1,1(1,1а-х)-х

1,1(1,1(1,1а-х)-х)-х

Задание 15 №  506953 В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила  х % годовых, тогда как в январе 2001 года она была  у % годовых, причем известно, что  x  +  y  = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение  х  при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

f(х;у)= ((1+0,01х)а-0,2а)(1+0,01у),

х+у=30,

f(x)= ((1+0,01х)а-0,2а)(1+0,01(30-x)=

=1,04а+0,005ах-0,0001а x 2 ,

f’(x)= 0,005a-0,0002ax,

f’(x)=0,

x=25.

Ответ: 25.

год

%

2000

2001

х

сумма, у.е.

у

(1+0,01х)а

2002

(1+0,01х)а-0,2а

((1+0,01х)а-0,2а)(1+0,01у)

Задание 15 №  511227 В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает  t  человек, то их суточная зарплата составляет 4 t 2  у.е. Если на втором объекте работает  t  человек, то их суточная зарплата составляет  t 2  у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Кол-во человек

I объект

ЗП

х

II объект

24-х

4х 2

(24-х) 2

f(x) =4x 2 +(24-х) 2 =4x 2 +576-48x+x 2 = 5x 2 -48x+576

x 0 =4,8

f(4)=5·4 2 -48·4+576=464,

f(5)=5·5 2 -48·5+576=461.

Следовательно, 5 рабочих на первый объект, 19 рабочих -на второй объект. 461 у.е. придется заплатить рабочим.

Ответ: 5 рабочих, 19 рабочих, 461 у.е.

Задание 15 №  513208 Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же сумму положил на два года в другой банк под 15% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на 2 года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже  p % годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки.

Сумма вклада- А

Саша

1 год

Начало года

2 год

А

Паша

Конец года

1,1А

Начало года

1,1А

3 год

4 год

А

Конец года

1,1 2 А

1,1 2 А

1,15А

1,15А

1,1 3 А

1,1 3 А

1,15 2 А

1,15 2 А

1,1 4 А

(1+р/100) ·1,15 2 А

(1+р/100) ·1,15 2 А

(1+р/100) 2 ·1,15 2 А

(1+р/100) 2 ·1,15 2 А -1,1 4 А

p

Следовательно, 8%- наибольшее возможное целое значение процентной ставки.

Ответ: 8%.