Формула Пика 9 класс

Геометрия

Задача: Формула Пика. На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах клеток. Как найти его площадь, подсчитывая лишь количества узлов?

План по решения задачи:

Экспериментально ищем формулу для треугольника
1) без узлов внутри и на сторонах,
2) с узлами на сторонах,
3) с узлами внутри,
4) с узлами внутри и на сторонах.

Придумываем общую формулу.
Повторяем исследование для четырехугольников и для пятиугольников.
Объединяя результаты, придумываем формулу для n-угольника.
Доказываем ее аддитивность (сумма «площадей» двух многоугольников равна «площади» их объединения).
Затем доказываем ее справедливость последовательно для прямоугольника, прямоугольного треугольника, произвольного треугольника, произвольного многоугольника.

Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины,    — его площадь.

Тогда справедлива формула Пика:  .

Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика.

S = В + Г/ 2 – 1

В = 14, Г = 8, S = 14 + 8/2 -1= 17 ( кв.ед.)