Формула суммы первых n членов АП

Математика есть единая симфония бесконечного.

Д. Гильберт

Устный счёт

• Найти 5-ый член числовой последовательности заданной формуло й

Ответ:

2) Найти 4-ый член числовой последовательности заданной формулой

Ответ:

3) Чему равна разность арифметической прогрессии: 1; 4; 7; …

Ответ: 3

4) Чему равна разность арифметической прогрессии: 3; 0; -3; -6; …

Ответ: -3

5) Найдите пятый член арифметической прогрессии:

3; 7; 11; …

Ответ: 19

6) Найдите шестой член арифметической прогрессии; если

Ответ: 20

7) Найти 10-ый член арифметической прогрессии если

Ответ: 46

8) Найти 5-ый член арифметической прогрессии если

Ответ: 21

7) Найти 10-ый член арифметической прогрессии если

Ответ: 46

8) Найти 5-ый член арифметической прогрессии если

Ответ: 21

Задача 42 из задачника Алкуина

• Лестница имеет 100 ступеней. На первой сидит один голубь, на второй – два, на третьей – три, и так на всех ступеней до сотой. Сколько всего голубей?

Алкуин (ок735-19мая 804)- английский (ирландский) монах- ученый.

Он был организатором и руководителем монастырской школы в Туре (Франция), ставшей одним из центров средневековой науки. Алкуин был учителем в школе при дворе Карла Великого( «Палатинская школа»), где преподавал «семь свободных искусств», и для которой составил несколько учебников. Материал в этих учебниках излагался в форме вопросов и ответов(катехизический метод ).

Задача. Найти сумму ста членов арифметической прогрессии.

• Впервые формула суммы первых членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом( III век н.э.). А правило отыскания суммы n первых членов арифметической прогрессии встречается в «книге Абаки» Л. Фибоначчи в 1202году

В области прогрессий много работал знаменитый немецкий ученый К. Гаусс (1777-1855).

С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии связан эпизод из его жизни. Когда Карлу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно».

Решение Алкуина

Алкуин так находит сумму этой прогрессии. На 1-й и на 99-й ступенях сидят всего 100 голубей, на 2-й и 98-й тоже 100 и т.д.Только 50-я и 100-я остаются без пары. Таким образом, на лестнице 49х100+50+100=5050 голубей.

Задача эта не проста,

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа.

Пять первых связок рассмотри,

Найдёшь к решению ключи.

Давным-давно сказал один

мудрец

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

5050

Пусть сумма первых n членов арифметической прогрессии равна тогда:

или

Складывая эти равенства почленно, получим:

Отсюда имеем формулу

Теорема

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов , умноженной на число членов.

Если учесть, что , то получим:

Пример 1

Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии: 1; 3,5; … .

Дано:

Решение:

- арифметическая прогрессия

Ответ: 495

Пример 2

Найдите сумму первых 35 членов арифметической прогрессии, если её шестой член равен 31, десятый 55.

Дано:

Решение:

- арифметическая прогрессия

3605

Ответ: 3605

Пример 3

Если в арифметической прогрессии и ,

то найдём

Решение:

Дано:

- арифметическая прогрессия

Ответ:

Это интересно

Несмотря на тысячелетнюю древность различных задач на прогрессию, в нашем школьном обиходе прогрессии появились сравнительно недавно. В первом российском учебнике « Арифметика» (1703) Леонтия Филипповича Магницкого, изданного более трехсот лет назад, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины, в нём не дано. Поэтому составитель учебника не без труда справлялся с такими задачами.