Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Тема урока: Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: - вывести формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии;

- выработать навыки, умения применения формул при решении задач;

- показать необходимость знания математики при решении практических задач из жизни.

Задачи урока: сформировать навыки нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии с помощью формул.

Образовательные задачи урока (формирование познавательных УУД):

• познакомить обучающихся с формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии;

• тренировать способность к использованию формул суммы первых n членов арифметической прогрессии;

• организовать деятельность обучающихся по приобретению необходимых умений и навыков;

• повторить и закрепить изученное на уроке.

Воспитательные задачи урока (формирование коммуникативных и личностных УУД):

• содействовать развитию познавательного интереса обучающихся к предмету;

• прививать обучающимся навыки организации самостоятельной работы;

• умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Развивающие задачи урока: (формирование регулятивных УУД)

• развивать умения обучающихся анализировать, делать выводы, определять взаимосвязь и логическую последовательность мыслей;

• развивать умения слушать и исправлять речь своих товарищей;

тренировать способность к рефлексии собственной деятельности и деятельности своих товарищей.

Формы работы учащихся: фронтальная, в парах, индивидуальная.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал, карта самоконтроля.

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП.

Здравствуйте ребята.

На столах у каждого лежит «Карта самооценки». Подпишите её.

ФИ_______________________________________класс_____

Критерии самооценки:

«+» - материал знаю хорошо, умею применять при решении задач;

«+ – » - материал знаю, но иногда делаю ошибки;

«– +» - не знаю, но представляю решение;

« – » - не знаю и не умею решать.

В течение урока вы постараетесь оценить себя и своего соседа по критериям, которые указаны в листе

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение. Термин «progression» был введен римским философом и математиком Боэцием (VI в.). Как вы думаете, что означает это слово?

 - «движение вперед», «успех» (на экране-«движение вперед», «успех»)

 Не будем останавливаться и мы, а пойдем вперед в направлении изучения прогрессий.

2. Проверка д/з

16.13, 16.17, 16.18(все а,б) 3 учащихся заранее на доске

3 ЭТАП АКТУАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ.

Чтобы идти вперед, чаще оглядывайтесь назад, ибо вы забудете, откуда вы вышли и куда вам нужно идти. Давайте оглянемся, что на данный момент мы знаем о прогрессиях.

Являются ли арифметическими прогрессиями последовательности чисел:

    3, 7, 12, … (нет)                28, 31,34…  (да)                    

Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите это определение с помощью формулы   на доске и в тетради.

(a_n+1 = a_n + d.Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом)

Как называется каждый компонент этой формулы? 

Как найти разность арифметической прогрессии? 

( d = a_n+1 - a_n)

Какие из формул задают арифметическую прогрессию:

a_n = 5n + 7, a_n = 3n²+1, a_n = 4 – n³ , a_n = 3 – 4n ?

Найти 5-ый член числовой последовательности заданной формулой a_n = 5n + 7 (32)

Найти 4-ый член числовой последовательности заданной формулой a_n = 3 – 4n (-13)

Чему равна разность арифметической прогрессии:

1; 4; 7; … (3)

Чему равна разность арифметической прогрессии:

3; 0; -3; -6; … (-3)

Продолжите  арифметическую прогрессию:

28, 31,34… Ответ:  37,40,43…

Найдите пятый член арифметической прогрессии: 3; 7; 11; … (19)

Найдите шестой член арифметической прогрессии, если a₁ = 5, d = 3. (20)

Какой формулой воспользовались?

Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

(a_n =a₁ + (n – 1)∙d)

Что означает буква n?

4. ЭТАП ИЗУЧЕНИЯ НОВОГО МАТЕРИАЛА И ЗАКРЕПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ В СТАНДАРТНОЙ СИТУАЦИИ.

Скажите, сколько времени вам понадобится для того, чтобы сложить, к примеру, все натуральные числа от 1 до 100?

Совершенно не сомневаюсь в ваших способностях.

Истории математики известны случаи очень раннего проявления математических способностей.С формулой суммы nпервых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855).

Когда Карлу было 9 лет, учитель задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно». Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил... – и сдал работу, в которой была записана формула и верный ответ. К концу урока сумму вычислили и остальные.

Юный Гаусс сам того, не подозревая, вывел формулу суммы первых 100 членов арифметической прогрессии.

На этом уроке, подобно Гауссу, мы выведем в общем виде формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии и рассмотрим некоторое их применение к практическим задачам.

- Попробуйте сформулировать тему нашего урока?

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

- Откройте тетради и запишите тему урока .

- Чем мы будем заниматься на уроке? Значит, какую цель вы

определите для себя на данном уроке?

S = 1 + 2 + 3+ …+98 + 99 + 100,

Заметим: 1+100 =101

2 + 99 =101

3 + 98 = 101

4 + 97 = 101

5 + 96 = 101

,,,,

S = =5050

Сумму п первых членов арифметической прогрессии принято обозначать как Sn.. Вывод формулы проведем в ходе решения задачи «Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии, если известны ее первый и n-ый члены.» 

(а_n) – арифметическая прогрессия.
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-2 + a_n-1 + a_n,
S_n = a_n + a_n-1 +a_n-2 + …+ a₃+ a₂ + a_1.
a₂ + a_n-1 = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n,
a₃ + a_n-2 = (a₁ + 2d) + (a_n– 2d) = a₁ + a_n,
a₄ + a_n-3 = (a₁ + 3d) + (a_n– 3d) = a₁ + a_nит.д.
2S_n = (a₁ + a_n)∙n. 

.№16.33(а,б)

Решите №16.35. Удобно ли применить формулу, применительно к данной задаче? Что из условия известно? Ваши предложения по решению?

Выведем в общем виде вторую формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии, если известны a₁  и d.  (ученик выводит формулу на доске)

Если учесть, что, то получим:

Решите 16.35(а,б)

5 МИНУТКА ОТДЫХА.

Если я называю возрастающие последовательности, хлопаем над головой Убывающие - хлопаем внизу Никакие - поворачиваемся вокруг себя

1 2 3 4 5 6 -5 -6 -7 -8 -9 5 -5 5 -5 5 -5

- 1 - 1 - 1 - 1 1 4 9 16 25 1 1/2 1/3 1/4 1/5

6 ЭТАП ЗАКРЕПЛЕНИЯ ЗНАНИЙ В НЕСТАНДАРТНОЙ СИТУАЦИИ.

Витрина магазина: яблоки (15), конфеты (78) и груши (28). Задачу решают по рядам.

7 ЭТАП. ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ ЗНАНИЙ

2 - за доской, остальные в тетрадях потом - взаимопроверка

Как видим, арифметическая прогрессия вокруг нас. Есть она и в заданиях государственной итоговой аттестации. А значит, эти формулы нужно знать и уметь применять. Чтобы определить, как вы разобрались в применении формул, предлагаю вам решить следующие задания из открытого банка заданий.

№1. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: − 3; 1; 5; … Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

а₁ = -3, d = 4, S_n= ( -6 + 59 ∙ 4) ∙ 30 =6900

№2. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 0,6, a₁=6,2. Найдите сумму первых 13 её членов.

S_n = (12,4 + 12 ∙0,6) ∙13: 2= 127,4

7. ИТОГ УРОКА,

выставление, комментирование оценок за работу на уроке

8. ЭТАП ОБЪЯСНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

п16, учить формулы, №16.36, 16.37

Творческое задание:

1. Корни уравнения х² – х – 6 = 0 являются первым и вторым членами убывающей арифметической прогрессии (а_п). Найдите третий и четвертый ее члены

Ответ: -7 -12

ФИ_______________________________________класс_____

Критерии самооценки:

«+» - материал знаю хорошо, умею применять при решении задач;

«+ – » - материал знаю, но иногда делаю ошибки;

«– +» - не знаю, но представляю решение;

« – » - не знаю и не умею решать.

ФИ_______________________________________класс_____

Критерии самооценки:

«+» - материал знаю хорошо, умею применять при решении задач;

«+ – » - материал знаю, но иногда делаю ошибки;

«– +» - не знаю, но представляю решение;

« – » - не знаю и не умею решать.

ФИ_______________________________________класс_____

Критерии самооценки:

«+» - материал знаю хорошо, умею применять при решении задач;

«+ – » - материал знаю, но иногда делаю ошибки;

«– +» - не знаю, но представляю решение;

« – » - не знаю и не умею решать.

ФИ_______________________________________класс_____

Критерии самооценки:

«+» - материал знаю хорошо, умею применять при решении задач;

«+ – » - материал знаю, но иногда делаю ошибки;

«– +» - не знаю, но представляю решение;

« – » - не знаю и не умею решать.