Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

г. Менделеевск Республики Татарстан

Открытый урок

«Обобщающий урок по темам:

Арифметическая и геометрическая прогрессии»

9 класс

Учитель: Самуткин Э.В.

г. Менделеевск, 2017 г.

Цели урока

а)образовательные

1. обобщить знания по теме “Прогрессии”, повторить все формулы по теме;

2. показать актуальность темы, ее применение в жизнедеятельности человека;

3. развивать творческие способности учащихся;

4. продолжить подготовку к итоговой аттестации

б) развивающие

1.развитие логического мышления, вычислительных навыков, памяти;

2.развитие познавательного интереса у учащихся;

3.развитие грамотной математической речи.

в) воспитательные

1.Формирование интереса к изучению математики;

2.Воспитание культуры общения.

ОБОРУДОВАНИЕ: Калькулятор, карточки, заготовленные таблицы №1, №2 для учащихся

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний

? Какие закономерности вы видите в этой таблице?

В первой строчке - геометрическая прогрессия

Во всех столбцах – арифметическая прогрессия

?Является ли последовательность 6;12;24;30;60. арифметической прогрес-сией?

? Является ли последовательность 6;12;24;48;96. геометрической прогрес-сией?

?Дана арифметическая прогрессия 3;6;9;…

Найдите разность и 10-й член прогрессии. При решении записывайте формулы которыми пользовались.

? Дана геометрическая прогрессия 4;8;16;…

Найдите знаменатель прогрессии и 12-й член.

?Найдите сумму 8 первых членов последовательности 2;5;8;11;…

?Найдите сумму 6 первых членов последовательности 4;12;36;..

Сценка «Мужик и купец»

Действующие лица:

ведущий-учитель

купец, жена, мужик – роли исполняют ученики

На сцене стол, на столе самовар, лавка, у окна сидят купчиха и её дочь, входит купец

Купец. Послушай, жена, на базаре я встретил глупого мужика и заключил с ним выгодную сделку.

Жена. Какую?

Купец. Он каждый день будет приносить мне по 100000 рублей, а я ему в 1-ый день отдам копейку. Ты слышишь, копейку за 100000 рублей! Во 2-ой день – 2 копейки, в третий день – 4 копейки и так целый месяц. А он мне целый месяц будет носить каждый день по 100000 рублей.

Жена. Откуда у этого глупца столько денег?

Купец. Это не наше дело. Об одном жалею, что заключил договор только на один месяц. Боюсь, что этот чудак поймёт, что его обманывают, и не принесёт свои деньги.

раздаётся стук в дверь. Жена выглядывает в окно.

Жена. Там кто-то пришёл.

Купец. (Выглядывает в окно) Это он!

Входит мужик.

Мужик. Получай, купец, свои деньги и отдай мою копейку!

Взяв свою копейку уходит.

Купец. Как я боялся, что он не придёт. А вдруг завтра он не придёт? Или придёт и заберёт свои деньги?

Жена. Успокойся! Если он сегодня не понял, что его обманывают, не думаю, что поймёт завтра. Говорят же: «Если дурак, то надолго»

Купец. Так-то оно так, да всё равно боязно.

Ведущий. Каждый день мужик приносил по 100000 рублей и забирал свои копейки. Вначале купец радовался  и не задумывался над тем, сколько он отдаёт мужику.

Купец. О горе мне, горе! Мужик оказался не так глуп. Ведь он отдал мне всего 3 миллиона, а получил от меня 10 миллионов рублей! Какой я глупец! разве можно было заключать сделки на базаре!

Как неожиданными бывают результаты, когда не знаешь математику.

Посмотрим решение этой задачи

Человек заплатит: 100000·30=3000000 рублей

Богач заплатит:

1;2;4;… геометрическая прогрессия.

=1, =2

Находим знаменатель геометрической прогрессии q= = =2.

По формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии

= , при этом q не равно 1 получим

= = = – 1= – 1= –1=1073741824 -1 =

=1073741823 копеек = 10737418 рублей 23 копейки.

Поместим основные формулы в таблицу

Основные формулы

III. Основная часть

На сегодняшнем уроке мы должны с вами вместе повторить основные формулы по данным темам и научиться применять их при решении задач.

Рассмотрим решение основных задач из сборника типовых экзаменационных вариантов ОГЭ за 2017 год.

Вариант №3 задача №6

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии:

-8;-1;6;….

Найдите 7-й член этой прогрессии.

Решение:

= - 8, = -1

d = = -1 – (-8) = 7

= + d·(n – 1)

= -8 + 7· (7 -1) = - 8+ 7·6 = - 8 + 42 = 34

Ответ: 34

Вариант №5 задача №6

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии:

6;10;14;….

Найдите сумму первых пяти ее членов.

Решение:

= 6, = 10

d = = 10 – 6 = 4

= + d·(n – 1)

= 6 + 4· (5 - 1) = 6 + 4· 4 = 6 + 16 = 22

= = = = 70

Ответ: 70

Вариант №7 задача №6

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии:

…;8; x;16;20;….

Найдите x.

Решение:

Находим разность арифметической прогрессии:

d = 20 – 16 = 4

x= 8 + 4 =12

Ответ:12

Вариант №1 задача №6

Дана арифметическая прогрессия ( ), в которой = - 22, 2 , = - 41,8.

Найдите разность прогрессии.

Решение:

Разность арифметической прогрессии можно вычислить по формуле

d =

d=

d = = = = -1,4

Ответ: -1,4

Вариант №9 задача №6

Последовательность ( ) задана условиями = - 2, = -2· . Найдите .

Решение:

= -2· =-2· = 1

= -2· = -2· = - 2

= -2· = -2· =1

= -2· = -2· = - 2

Ответ: - 2

Вариант №11 задача №6

Последовательность ( ) задана условиями = 5 , = 3· . Найдите .

Решение:

=3· =3·5=15

=3· =3·15=45

=3· =3·45=135

Ответ:135

Вариант №13 задача №6

Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии:

- 250;150;-90;…Найдите ее пятый член.

Решение:

= -250, = 150

Находим знаменатель геометрической прогрессии

q = = = -

= · = ·

= -250· = -250· = = -32,4

Ответ:-32,4

Вариант №19 задача №6

Дана арифметическая прогрессия ( ), разность которой равна – 5, =9,2.

Найдите .

Решение:

= + d·(n – 1)

= 9,2+ ( -5)·(11 – 1) = 9,2 - 5·10 = 9,2 – 50 = -40,8

Ответ: - 40,8

Вариант №29 задача №6

Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии:

0,5; 2; 8;…Найдите сумму первых шести ее членов.

Решение:

= 0,5, = 2

Находим знаменатель геометрической прогрессии

q = = = 4

= q ≠ 1

= = = = 0,5· 1365 = 682,5

Ответ: 682,5

Вариант №31 задача №6

Дана арифметическая прогрессия ( ), разность которой равна 0,6, =6,2.

Найдите сумму первых 13 ее членов.

Решение:

= + d·(n – 1)

= 6,2 + 0,6·(13 – 1) = 6,2 + 0,6·12 = 6,2 + 7,2 =13,4

= = = 9,8·13 = 127,4

Ответ: 127,4

Вариант №33 задача №6

Последовательность ( ), n≥ 1, задана формулой . Сколько членов

этой последовательности больше 6?

Решение:

6

6

n + 1 = 11

n = 11 – 1

n = 10

Ответ: 10

Задача №22 из второй части

Улит­ка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь спол­за­ет на 3 м. Вы­со­та де­ре­ва 10 м. За сколь­ко дней улит­ка впер­вые до­ползёт до вер­ши­ны де­ре­ва?

Решение:

= 4, d = 1, =10.

Найти n

Решение:

= + d·(n – 1)

10 = 4 + 1·( n – 1)

10 = 4+ n – 1

10 = 3 + n

n = 10 – 3

n = 7

Ответ: за 7 дней

Задача №22 из второй части

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 9 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 18 метрам.

Решение:

Так как улитка каждый день проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день то ясно, что это задача на арифметическую прогрессию.

Первый день обозначим через , а последний день через

За первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 9 метров, поэтому можно составить равенство = 9.

Так как улитка в общей сложности проползла 18 метров, то = 18.

Запишем формула суммы первых n членов  

Подставим известные данные в формулу 18 =

Отсюда 9·n = 18·2

9·n = 36

n = 36:9

n = 4

Ответ: 4 дня.

IV.Подведение итогов

При решении всех примеров и задач как вы заметили были использованы следующие формулы

Без знания этих формул нельзя решить такие задачи.

Слово «прогрессия» (от латинского progression) означает «движение вперед» (как слово «прогресс»). Этот термин впервые был введен римским автором Боэцием, жившем в 6 веке.

V. Домашнее задание

Пов. §10 п.28 №654 б) решить.

Решить остальные варианты.