Формулы сложения

Дата: Класс: 9

Тема: Формулы сложения

Цель урока: познакомиться с формулами суммы и разности двух углов, научитесь применять эти формулы в тождественных преобразованиях тригонометрических выражений

развить познавательный интерес, продолжить формирование математической культуры.

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

наглядности

3 мин.

I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится...».

Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель.

мяч

10 мин.

II. Проверка пройденного материала.

По приему «Проверь себя!»

осуществляет проверку домашней работы.

1. Повторение теоретического материала( в карте «Успеха»)

1) Углом какой четверти является угол:

а) 36°; б) 340°; в) -270°

2) Какой знак имеет:

а) cos 280 ° ; б) sin 179° ; в) tq 500° ; г) ctq 359°

3) а) sin ( -α ) б)cos ( - α ); в) tq ( - α ) г) ctq ( - α )

Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе.

Семантическая карта

20 мин.

III. Актуализация знаний

Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «Аквариум» осуществляет усвоение нового материала. Контролирует выполнение записей учащимися. Предлагает ученикам составить «Синквейн».

Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.

Определение: Формулами сложения называются формулы, поз­воляющие выразить тригонометрические функции суммы и раз­ности двух углов через тригонометрические функции этих же углов.

Вначале дадим вывод формулы коси­нуса разности двух углов через триго­нометрические функции тех же углов. Для этой цели, как обычно, рассмат­риваем окружность с центром, рас­положенным в начале прямоугольной системы координат и радиусом R = OA

Начальный радиус OA повернем вокруг точки О на углы α и β. В ре­зультате получим соответствующие радиусы ОВ и ОС. Из курса геометрии вам известно, что если точка В имеет координаты x_t и у., а точка С — коор­динаты х₂ и у₂, то векторы и также имеют соответственно те же координаты, т.е. (x_t;у,) и (х₂; у.,).

Теперь найдем скалярное произведение векторов ОВ и ОС. Из курса геометрии известно, что скалярное произведение этих двух векторов определяется равенством

(1)

По определению косинуса и синуса углов α и β мы имеем:

ИЛИ

Подставив эти значения в равенство (1), имеем:

Итак,

Левую часть равенства (2) запишем в следующем виде, используя теорему о скалярном произведении двух векторов:

Угол между векторами и есть угол ВОС или угол, равный α - β (рис.2). Но в общем виде угол ВОС между век­торами и может быть равным 2π - (α - β) или от них может отличаться на кратное число полного угла

Поэтому во всех случаях мы имеем, что cos∟BOC = cos (α - β).

Используя последнее равенство и учитывая, что

ОВ = ОС = R, из равен­ства (3) можно записать:

или

(4)

В равенствах (2) и (4) равны их левые части, а значит, должны быть равными и их правые части:

Отсюда имеем:

Формулу (5) называют формулой косинуса разности двух углов.

Определение: Косинус разности двух углов равен сумме произведения косинусов этих углов и произведения синусов этих углов.

Определение: Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.

Определение: Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.

Определение: Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.

10 мин.

IV.Итог урока. По методу «Мозговая атака» закрепляет новую тему. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям. Проводит рефлексию.

- Понравился ли вам урок?

- Что было трудным для вас?

- Что вам больше понравилось?

Тест по теме «Формулы сложения»

1.      сos (х + у) =

1) cos х cos у + sin х sin у;    2) cos х cos у - sin х sin у;   

            3) cos х sin у - sin х cos у;    4) cos х sin у + sin х cos у;

      2.     tg (x - y) =

      3. sin 5х cos 3х + sin 3х cos 5х;   

        1) sin 2x               2) cos 2x             3) sin 8x                 4) cos 8x

      4.  cos 18⁰ cos 12⁰ - sin 18⁰ sin 12⁰

              1)              2)            3) 0,5                  4) 0

       5.  cos 107⁰ cos 17⁰ + sin 107⁰ sin 17⁰

              1) 0             2)  1         3) - 1                  4)

       6. sin 17⁰ cos 13⁰ + sin 13⁰ cos 17⁰

         1)              2) 0           3) - 0,5                  4) 0,5

       7.

               1)   1         2)            3)                    4)

       8. cos(α + β), если α = 42⁰, β = 18⁰

               1) - 0,5             2)            3) 0,5                  4)

       9. sin 4х cos х - sin 2х cos 4х;   

               1) sin 2x               2) cos 2x                 3) sin 6x                 4) cos 6x

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

стикеры

2 мин.

Объясняет особенности выполнения домашней работы.

Записывают домашнюю работу в дневниках.