Формулы сложения

1. Число:

2. Тема урока: Формулы сложения

3. Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

4. Цель урока: сформировать умение применять тригонометрические формулы сложения

5. Учебно-воспитательные задачи урока:

Образовательные:

• вывод формул сложения для тригонометрических функций

• отработать навыки использования тригонометрических формул сложения при решении уравнений, в вычислениях и тождественных преобразованиях тригонометрических выражений

Развивающие

• Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале

• Развивать познавательный интерес, логическое мышление

Воспитательные

• воспитание интереса к предмету

• воспитание ответственного отношения к своему образованию.

1. Средства обучения: индивидуальные конспекты, записи на доске, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. М.: Просвещение, 2014.

2. План урока

8. Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие учителя. Проверка готовности класса к уроку.

II. Сообщение темы и целей урока.

III. Объяснение нового материала.

Определение: Формулы сложения позволяют выразить функции разности или суммы двух углов с помощью тригонометрических функций этих углов.

Формулы сложения - это формулы синуса суммы и разности аргументов; косинуса суммы и разности аргументов; тангенса суммы и разности аргументов.

Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу. (рис. 1)

Рисунок 1. Единичная окружность

Точка   получена поворотом точки Мₒ(1;0) на угол   , а точка   на угол   и точка   на угол  .

Углы   и   равны, отрезки  . Значит, треугольник   равен треугольнику   , следовательно у них одинаковые стороны   и  .

Так как синус это ордината точки на единичной окружности, а косинус её абсцисса, то точки имеют координаты

;

;

).

Подставим координаты точек   и   в формулу для нахождения расстояния между ними. Получим:

.

Преобразуем левую часть, используя формулы квадрата суммы и разности двух выражений и тригонометрические тождества:

Преобразуем правую часть:

Соединим левую и правую части:

Разделим на  каждое слагаемое :

Получили формулу косинуса суммы.

Заменим   и учтём, что  , получим формулу косинуса разности

Докажем, что 

Так как  ,  , то по формуле косинуса разности получаем:

 Заменим   получим

Так, например, , потому что  .

Докажем, что 

Подставим в формулу   значение  , получим:

Для тангенса и котангенса тоже справедливы формулы

Выведем формулу синуса суммы и разности:

В этой формуле заменим   и получим формулу синуса разности:

Для тангенса тоже есть формула суммы и разности. По определению  .

Тогда tg  , разделим числитель и знаменатель на

Получаем формулу тангенса суммы  .

Заменим в ней   и учтём, что tg⁡〖(-α)=〖-tg〗⁡α 〗, получим формулу тангенса разности

.

Пример. Вычислим   .

Для котангенса суммы и разности применяют формулы:

Физкультминутка.

IV. Закрепление материала

Пример 1. Найти 

Решение: Представим  , так как нам известны значения косинуса углов   и   Подставим в формулу косинуса суммы. Получаем:

.

Ответ:  .

Пример 2. Найти  .

Решение: Представим  , так как нам известны значения синуса углов   и   Подставим в формулу синуса суммы. Получаем:

.

Ответ:  .

Пример 3. Вычислите  .

Решение: Применяем формулу синуса разности:  .

Ответ:  .

Выполнение заданий из учебника: №№ 481,482 (1,3), 483 (1), 484 (1,3), 485 (1,3)

V. Итоги урока. Рефлексия

Домашнее задание. П.28 . №№ 482 (2,4), 483 (2), 484 (2,4), 485 (2,4).