Формулы сокращенного умножения. Презентация

Формулы

сокращенного

умножения

Какие формулы сокращенного умножения Вы знаете?

Формулы сокращённого умножения

1) Квадрат суммы двух выражений

2) Квадрат разности двух выражений

3) Разность квадратов двух выражений

Сумма кубов двух выражений

Разность кубов двух выражений

Формулы сокращённого умножения

Закончите формулировку

КВАДРАТ СУММЫ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВЕН…

… квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Закончите формулировку

КВАДРАТ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВЕН…

… квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Закончите формулировку

ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ НА ИХ СУММУ РАВНО…

… разности квадратов

этих выражений.

( a - b )( a + b )= a 2 -b 2

Закончите формулировку

РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВНА…

… произведению разности

этих выражений на их сумму.

Закончите формулировку

СУММА КУБОВ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВНА…

… произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Закончите формулировку

РАЗНОСТЬ КУБОВ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВНА…

… произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

НАЙДИТЕ ОШИБКИ:

2

(В - У) 2 = В - 2ВУ + У 2

(7 + С) 2 = 49 - 14С + С 2

(Р - 10) 2 = Р 2 - 20Р + 10

(2А + 1) 2 = 4А 2 + 2А + 1

+

0

4

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

Запишите:

• квадрат числа а ;
• удвоенное число b ;
• Сумму х и у :
• сумму квадрата х и куба у ;
• удвоенное произведение а и b ;
• утроенное произведение с и d ;
• квадрат суммы а и b ;
• квадрат разности х и у ;
• произведение b и квадрата а ;
• произведение куба а и удвоенного числа b ;

.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

a 2

2b

x + y

x 2 + y 3

2ab

3cd

(a + b) 2

(x-y) 2

b . a 2

a 3. 2b

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

СМОТРИ, НЕ ОШИБИСЬ!

(Х ... У) 2 = Х 2 - 2Х + ...

(... - ...) 2 = 9Х 2 ... ... + 25У 2

(... ... ...) 2 = ... - 28ХУ ... 49Х 2

(Х - ... ) 2 = ... ... 20Х ... ...

25 A 2 + … + B 2 = (… … …) 2

- у y 2

3x 5y - 30xy

2y - 7x 4y 2 +

10y x 2 - у + 100y 2

10ab 5a + b

ТВОРЧЕСКОЕ

ЗАДАНИЕ

Творческое задание

Ответ:

513423

РАСШИРЕНИЕ ЗНАНИЙ ПО ФОРМУЛАМ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

ПРОЕКТ № 1

Цель проекта: научиться возводить в квадрат сумму трёх, четырёх, и т.д. слагаемых.

( а + в + с +d) 2 ( а + в + с +d + e) 2

( а + в + с ) 2 ( а + в + с +d+ e+k) 2

ВОЗВОДИТЬ В КВАДРАТ СУММУ ТРЁХ, ЧЕТЫРЁХ, И БОЛЕЕ СЛАГАЕМЫХ

( а +b+ с +d) 2 =

=( ( a+ b ) + ( c+ d ) ) 2 =

= (a+ b) 2 + 2(a+ b)(c+ d )+( c+ d) 2 =

= a 2 + 2ab+ b 2 + 2ac+ 2ad+ 2bc+ 2bd + c 2 + 2cd+ d 2 =

= a 2 +b 2 +c 2 +d 2 + 2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

(А + B + С + D ) 2 = A 2 +B 2 +C 2 +D 2 +2AB+2AC+2AD+2BC+2BD+2CD

ВЫВОД: квадрат суммы трёх, четырёх и более чисел равен сумме квадратов каждого из этих чисел плюс удвоенные произведения каждого из этих чисел на числа, следующие за ним .

ВЫЧИСЛИТЕ:

(3х+4у+5z) 2 =

=9 x 2 +16 y 2 +25 z 2 +24 xy +30 xz + 40 yz

ПРОЕКТ № 2

Цель проекта: научиться возводить двучлен в любую натуральную степень.

( а + в ) 4 =

( a+ b ) 2 ( a+ b ) 2 =

= ( a 2 + 2ab+ b 2 )( a 2 + 2ab+ b 2 )=

=a 4 +4a 3 b+ 6a 2 b 2 + 4ab 3 +b 4

( а +b) 4 =

=((a+ b) 2 ) 2 =

= ( a 2 + 2ab+ b 2 ) 2 =

= а 4 +4 а 2 b 2 +b 4 + 4a 3 b+2a 2 b 2 +4ab 3 =

= а 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4

СОСТАВИМ ТАБЛИЦУ ИЗ ИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ:

РАССМОТРИМ ДВУЧЛЕНЫ:

(а + b) 0 = 1

(a + b) 1 = 1 a + 1 b

(a + b) 2 = 1 a 2 + 2 ab + 1 b 2

(a + b) 3 = 1 a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + 1 b 3

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (1623 – 1662)

1 - 2 0

1 1 - 2 1

1 2 1 - 2 2

1 3 3 1 - 2 3

ГДЕ ПРИМЕНЯЮТСЯ ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ?

При упрощении выражений.

При разложении выражений на множители.

При решении уравнений.

При доказательстве тождеств .

Применяются в некоторых математических фокусах.

Предлагается кому-нибудь задумать не очень большое число и возвести его в квадрат. К результату попросите прибавить удвоенное задуманное число и ещё единицу. Выяснив окончательный результат, вы сможете назвать задуманное число. Как найти задуманное число?

формула а 2 + 2 а + 1 = (а +1) 2

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

• Повторить формулы сокращенного умножения
• Постройте треугольник Паскаля
• Возведите в степень (а + b ) 5
• Возводить в квадрат сумму пяти слагаемых (а +b+ с +d +e) 2
• Решите по учебнику № 812, 813,814.
• Подготовиться к контрольной работе.

МНОГОЧЛЕН

Это сумма одночленов

Что такое многочлен?

Одночлен

Произведение числовых и буквенных множителей

Что такое одночлен ?

ДИКОВИННЫЕ НАЗВАНИЯ

Двучлен - Бином

Одночлен –

МОНОМ

Как можно назвать одночлен?

Как можно назвать двучлен?

Многочлен - Полином

Как можно по- другому назвать многочлен?

Как по другому можно назвать трехчлен?

Как называется многочлен такого вида?

a 2 + 2ab+ b 2

Трехчлен –

Трином

Многочлен с одной переменной

Однородный многочлен

Как называется данный многочлен, учитывая его степень?

Я узнал новое на уроке

Мне очень понравилось, я всё понял, у меня всё получается

У меня не всё получилось

У меня ничего не получилось

НАЙДИТЕ КВАДРАТ ВЫРАЖЕНИЯ:

а) (а – х + у) 2

б) (а – b – с) 2

ВЫЧИСЛИТЕ:

1) 195 2

2) 488 2

A 2 = А 2 – B 2 + B 2 = (A – B)(A + B) + B 2 , ГДЕ B – ДОПОЛНЕНИЕ ЧИСЛА А ДО КРУГЛОГО ЧИСЛА.

Пример.

Вычислите 986 2

1. Круглое число 1000.

а = 986, b = 14, а + b = 1000, a – b = 972.

2. 986 2 = 972  1000 + 14 2 = 972000 + 196 = 972196.

• Пример. Вычислите 986 2 1. Круглое число 1000. а = 986, b = 14, а + b = 1000, a – b = 972. 2. 986 2 = 972  1000 + 14 2 = 972000 + 196 = 972196.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Формулы сокращенного умножения были известны еще 4000 лет назад. Ученые Древней Греции представляли величины не числами или буквами, а отрезками прямых. Вместо «произведение а в» говорилось «прямоугольник, содержащийся между а и в»,вместо а 2 «квадрат на отрезке а».В книге Евклида «Начала» правило квадрата суммы выражается так: «если прямая линия как-либо рассечена точкой С, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником , заключенным между отрезками.