Функция. Область определения и область значений функции.

§ 1. Функции и их свойства.

п. 1. Функция. Область определения и область значений функции.

Функцией называется такая зависимость переменной у от переменной х, что каждому значению переменной х соответствует только одно значение переменной у. Переменная х называется независимой (или аргументом), а переменная у – зависимой (или значением функции).

Например, .

Каждая функция имеет область определения и область значений. Разберёмся, что это такое.

Областью определения функции называется множество всех значений, которые может принимать независимая переменная х (аргумент). Обозначается она так: .

Например, рассмотрим функцию . Нам нужно определить, какие значения может принимать х. Так как на 2 мы можем умножить любое число и от любого результата можем отнять 1, то х может принимать абсолютно любые значения. Значит, областью определения функции является любое число, т.е. .

Рассмотрим теперь функцию . Здесь мы замечаем, что х находится в знаменателе, а всем известно, что на 0 делить нельзя. Поэтому, мы находим число, при котором знаменатель станет равным 0. Это число . Значит, х может принимать любые значения, кроме . Поэтому, областью определения данной функции является любое число, кроме , т.е.

Областью значений функции называется множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная у (значение функции). Обозначается она так: .

Нахождение области значений функции задача не из простых. Её можно находить алгебраическим способом, а можно графическим. Пока мы будем использовать графический способ. Для этого необходимо построить график заданной функции и по графику определить, какие значения может принимать зависимая переменная.

Графиком функции называется множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. (Напомним, что абсцисса – это координата х, ордината – координата у).

Поскольку, по определению функции, каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции, то для графика соблюдается такое же правило: каждой абсциссе графика соответствует только одно значение ординаты.

Н апример,

На графике показано, что абсциссе соответствует только одно значение ; абсциссе – только одно значение . И так далее.

По графику выясняем, что его областью определения является множество всех действительных чисел, которые больше, либо равны, чем , но меньше, либо равны, чем т.е. . А областью значений является множество всех чисел, которые больше, либо равны , но меньше, либо равны , т.е. .

Вспомним функции, которые мы изучали в 7 и 8 классе.

1. - линейная функция, графиком её является прямая, проходящая через точки . Частными случаями линейной функции являются постоянная функция - и прямая пропорциональность - .

1. – обратная пропорциональность, графиком её является гипербола, расположенная в I и III четверти, если , и во II и IV четверти, если .

1. – квадратная функция, графиком её является парабола с вершиной в точке , ветви её направлены вверх и проходящая через точки .

1. – кубическая функция, графиком её является кубическая парабола с вершиной в точке , расположенная в I и III четверти.

1. – функция квадратного корня, графиком её является ветвь параболы с вершиной в точке , расположенная в I четверти.

1. Функция задана формулой . Найдите:

2. Функция задана формулой . Сравните числа:

1. Решите уравнение , если:

2. Решите неравенство , если:

3. При каком значении параметра график функции :

1. проходит через точку

2. проходит ниже точки

3. проходи выше точки

4. не проходит через точку ?

1. Автомобиль движется по шоссе со скоростью 50 км/ч от пункта до пункта , расстояние между которыми 200 км. Задайте функцию (км) для (ч):

1. расстояния от автомобиля до пункта

2. расстояния от автомобиля до пункта

3. расстояния от автомобиля до пункта , находящегося на одинаковом расстоянии от пунктов и .

1. Без построения графика функции найдите все точки этого графика:

1. с абсциссой ;

2. с ординатой

3. с равными координатами;

4. сумма координат которых равна нулю.

1. При каких значениях параметра на графике функции :

1. ровно одна точка с ординатой

2. ровно две точки с ординатой

3. нет точек с ординатой ?

1. Дана функция . Во втором столбце таблицы укажите знак значения функции в точке

1. Сопоставьте заданные функции с их областью определения:

1. Какие из данных функций определены на всём множестве действительных чисел:

2. Из данных высказываний выберите верные:

1. функция определена для всех из промежутка ;

2. областью определения функции является множество ;

3. функция определена для всех из промежутка ;

4. областью определения функции является множество .

1. Найдите область определения функций:

1. Для функции найдите область определения и нули функции (те значения переменной, при которых значение функции равно нулю).

2. Постройте графики функций:

1. Сопоставьте заданные функции с их областью значений:

1. Для каждой из данных функций найдите её область значений:

1. Для каждой пары функций, приведённой в таблице, установите, совпадают их области определения или не совпадают.

1. Найдите область значений функции:

1. при

2. при

1. Представьте себе график функции и, используя свой воображаемый график, найдите область значений этой функции, если:

1. Найдите множество значений функции при

2. Укажите, какие из данных высказываний являются верными:

1. все значения независимой переменной образуют область значений функции;

2. корнем квадратным из неотрицательного числа называется любое число , такое, что ;

3. уравнение , если ;

4. квадратное уравнение имеет ровно один корень, если его дискриминант равен нулю;

5. областью определения функции является множество всех чисел;

6. областью значений функции является множество всех чисел;

7. если две стороны треугольника имеют длины 3 и 5, то областью значений длины третьей стороны этого треугольника является множество .

1. Сколько различных целых значений принимает функция:

при

1. Постройте график функции

и определите:

1. область значений функции;

2. все такие значения , для которых значение функции равно ;

3. все такие значения , для которых значение функции равно

4. все такие значения функции, которые она принимает более одного раза.

1. При каких значениях параметра уравнение имеет хотя бы один корень на множестве . Найдите область значений функции при .

5