Геометрические конструкции

Геометрические конструкции

2018 г Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D.

а)  Докажите, что AE  =  AK.

б)  Найдите AD, если CE  =  10 , DK  =  9,cos BAD=0,2

• Решение.
• a)  Заметим, что АВED и ABKD вписанные трапеции боковые стороны и диагонали их равны, потому АE=ВD и АК=ВD, значит АE=АК.

б)     AB  =  DC как стороны параллелограмма. DE  =АВ как стороны равнобедренной трапеции АВED.

∆ CDE равнобедренный, ∆CDМ прямоугольный. Пусть DM  — медиана, тогда

МС=5, МС/CD=cos C =0,2 (  C=  A) CD=MC/cos C =25, CK=CD-DK=25-9=16

равнобедренного треугольника. Тогда По свойству секущей СD*CK=CE*CB

25*16=10*СВ, СВ=40, АD=CD=40

  Ответ: б) 40.

Если биссектриса ВО пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке р, то отрезки АР РО и РС равны

Пусть биссектриса угла В треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке F, а I является центром вписанной окружности. Тогда FI =FA= FC.

Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.а)  Докажите, что АР=ОР

б)  Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если угол АВС равен 120 градусов, а радиус описанной окружности равен 18.

• 2019

  Согласно лемме о трилистнике АР=ОР.

  б): треугольник APC равнобедренный, и поскольку угол Р в нем равен 60°, то и равносторонний. Расстояние до АС это высота этого треугольника. По теореме синусов

АС/sin P=2R, AC=2R*sin P=2*18*=18

Расстояние равно АС*sin60=18=27

• Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
• а)  Докажите, что  РAО=  АOР.
• б)  Найдите площадь треугольника АРО если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6,  ВАС=75 0 ,а  АВС=60 0 .

• а)Согласно лемме о трилистнике АР=РО, поэтому ∆ АОР равнобедренный,  РAО=  АOР как углы при основании равнобедренного треугольника.

б) Пусть R – радиус описанной около ∆ABC окружности. Тогда по теореме синусов для ∆ABP.

АР/sin В=2R, AP=2Rsin30=6. Следовательно ОР=АР=6.

 АРО = 180° – 2(75°/2+ 30°) = 45

Следовательно, искомая площадь равна:

SАРО = (АР*ОРsin45)/2= 9√2.

• 2022 г. На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки B на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD соответственно.
• а)  Докажите, что AC 2 + CD 2 =AD 2 +DB 2
• б)  Прямые AC и BD пересекаются в точке T найдите отношение AT:TC если cos ABC=3/8

Решение

a)1. Рассмотрим ∆АВС.  С=90 о , по теореме Пифагора АВ 2 =АС 2 + ВС 2

2 Рассмотрим ∆АВС.  D=90 о АВ 2 =ВD 2 + AD 2 .

3 Точки АВСD лежат на одной окружности.  ВАС=  CAD, Поэтому равны дуги ВС и DC, значит хорды BC=CD, значит верно равенствоAC 2 + CD 2 =AD 2 +DB 2 .

б)  ВАС=  CВD, опираются на дугу DC. Sin BAC =cos ABC=3/8, cos BAC==

В ∆АВС =tg BAC=.

В ∆ТВС =tgDBC=tg BAC= ====

• В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АА1 и СС1. Доказать, что треугольник А1ВС1 подобен данному с коэффициентом подобия, равным cos В.

• Доказательство
• На стороне АС треугольника ABC как на диаметре опишем полуокружность, которая, очевидно, пройдет через основания высот А1 и С1 Угол ВАС измеряется полусуммой дуг СА1 и С1A1. Поэтому
•  ВАС =  C 1 CA 1 +  CC 1 A 1 =  BА 1 C 1 . (Аналогично  BCA =  BC 1 A 1 .) Следовательно, ∆A 1 CA~∆AВС.

Так как стороны А 1 В и АВ являются соответствующими сто­ронами в подобных треугольниках, то их отношение АВ:АВ равно коэффициенту подобия. Но в прямоугольном треугольнике АВА 1

А 1 В : АВ = cos В.

Мы провели доказательство, предположив, что угол В острый. Высказанное в условии задачи утверждение верно (и аналогично доказывается) и тогда, когда угол В тупой. В этом случае коэффициент подобия равен |cosB|.

В остроугольном треугольнике ABC из вершин А и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и СQ.

• Доказать, что треугольники BPQ и ABC подобны

б) Найти длину стороны АС, если известно, что периметр треугольника АВС равен 15, периметр треугольника BPQ равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника BPQ, равен 9/5.

• а) Нами доказано.
• б) Из подобия треугольников BPQ и ABC имеем
• =
• Так как коэффициент подобия рассматриваемых треугольников k=4/5, то cos B=3/5, sin B=4/5 то по теореме синусов
• АС= 2·3·4/5 = 4,8.

• В произвольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся точках К, L и М сторон АВ. ВС и СА соответственно. В произвольно выбранной точке N, принадлежащей дуге KL, проведена касательная к данной окружности, пересекающая стороны А В и ВС в точках Q и R соответственно. Доказать, что:
• BL = р -АС, где р — полупериметр треугольника ABC;
• =2BL

• Так как АМ=АК, BK=BL и CL =CM, то = BL+AM+CM
• Откуда BL = р - АС
• Поскольку QK = QN и RN = RL , то =BK +BL=2BL
• Из полученного для выражения следует, что периметр не зависит от положения точки N на дуге KL.

В равнобедренном треугольнике ABC (АВ=ВС) на основании A С взята точка М так. что AM=а. МС= b . В треугольники АВМ и СВМ вписаны окружности. Найти рас­стояние между точками касания этих окружностей со стороной ВМ.

• Решение. Пусть К и L — точки касания стороны ВМ с окружностями, вписанными в треугольники АВМ и СВМ соответственно. Положим АВ ВС=1 и ВМ= т. Тогда из ∆ АВМ
• BK=-a=, BL=-b=,
• Искомое расстояние равно
• KL=BK-BL=
•  

• В треугольнике ABC со сторонами АВ = 3 см, ВС = 4 см, АС = 5 см проведена биссектриса BD. В треугольники ABD и BCD вписаны окружности, которые касаются BD в точках М и N соответственно. Определить длину отрезка MN.

• Рассмотрим треугольник ABD. Стороны AB=3, AD=15/7, BD=12√2/7

Полупериметр треугольника ABD:

p 1 =AB+AD+BD= (3+15/7+12√2/7):2= (18+6√2):7.

Длина отрезка BM

BM = p1−AD = (18+6√2):7−15/7=(3+6√2):7.

Рассмотрим треугольник BCD.

Стороны: BC=4, CD=20/7, BD=12√2/7.

Полупериметр треугольника BCD:

p 2 = (BC+CD+BD):2 = 4+20/7+12√2/7=(28+20+12√2):14=(24+6√2):7.

Длина отрезка BN

BN=p2−CD= (24+6√2):7-20/7= (4+6√2):7.

MN=BN−BM= (4+6√2):7 - (3+6√2):7= 1/7

• 2011. В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведены высота СН, медиана СМ и биссектриса CL.
• а) Докажите, что CL является биссектрисой угла МСН.
• б) Найдите длину биссектрисы CL, если СН = 3, СМ = 5.

• Решение.
• Пусть АС
• а)  LCM = 45° -  MCB = 45° -  MBC = 45° - (90° -  BAC) = 45° - (90° -  HAC) = 45° -  ACH =  HCL. что и требовалось (во втором равенстве использовалось свойство медианы прямоугольного треугольнике).

б) Рассмотрим треугольник СНМ. НМ 2 = 5 2 — З 2 = 16, НМ =4. По свойству биссектрисы треугольника HL: LM = НС : СМ = 3:5, значит HL =3/2, и CL2= 32+ 1,52 =45/4, СL=1,5√5.

Пусть через точку G, являющуюся серединой хорды EF некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды CD и AВ пересекают хорду EF в точках K и L. Тогда G является серединой отрезка KL.

1 . АС  BD

В конструкции "Бабочка" при пересечении перпендикулярных диагоналей вписанного четырехугольника образуются две пары прямоугольных треугольников с вертикальными прямыми углами. В каждой такой паре если в одном из треугольников провести медиану, то в противоположном треугольнике её продолжение станет высотой.

• 2016.Четырехугольник ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD вписан в окружность.
• а)  Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей четырехугольника перпендикулярно стороне BC, делит пополам сторону AD.

б)   Найдите стороны четырехугольника ABCD, если известно, что AC  =  84 и BD  =  77, а диаметр окружности равен 85.

• Решение.
• а)  Пусть прямая, проходящая через точку O, пересекает хорду BC в точке H, а сторону AD в точке M.
• Тогда как∠ВCА = ∠BDA как вписанные. Следовательно ∠ВOH = ∠BCO=∠MOD, поскольку ∠ВOH = 90 0 -∠HOC=∠ВOC. Значит, OM  =  MD, следовательно, отрезок OM  — медиана прямоугольного треугольника AOD.
• б)  Рассмотрим хорду BE, параллельную диагонали AC: откуда ∠DВE = 90 0 .Четырехугольник ABEC  — равнобокая трапеция, поэтому АО==24.
• Путь отрезок AQ  — хорда, параллельная диагонали BD. Тогда AQ==13.
• BO==(77-13):2=32.
• OC=AC-AO=60, OD=BD-OB=45.
• AB==40, BC==68,CD==75, , AD==51
• Ответ: б) 40, 68, 75, 51.