Геометрические парадоксы

Индивидуальный проект на тему: «Ге ом ет ри че ск ие п а р а д о к с ы»

Проект выполнил:

обучающийся 1ТО группы

Фуфаев Александр

Руководитель:

преподаватель математики

Абросимова Е.А

Ге ом ет ри че ск ие п а р а д о к с ы

• Цель моей работы – это рассмотреть понятие «парадоксов», их виды, а также проблемы парадоксов в математике и их значение для развития наук.
• А задачей моей работы является узнать как можно больше информации, задач и их решений, а также примеры парадоксов.

Ге ом ет ри че ск ие п а р а д о к с ы

• Парадокс в широком смысле - это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется «безусловно, правильным». А в более узком и современном значении – это просто два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.
• Особое место занимают парадоксы в математике и логике, так как «чистая математика» - абстрактная наука, построенная на теориях, которые не кажутся очевидными с первого взгляда.

Ге ом ет ри че ск ие п а р а д о к с ы

• Парадокс-явление, кажущееся невероятным и неожиданным.
• Геометрические парадоксы основаны на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные.

Многообразие или примеры парадоксов

• Таракан Стасик , находясь в точке А на стене комнаты, хочет добраться до капли варенья B, которая прилипла к противоположной стене комнаты. Ползать Стасик может по любым поверхностям: и по стенам, и по потолку, и, разумеется, по полу. Найдите кратчайший путь Стасика из А в B и длину этого пути:

Многообразие или примеры парадоксов

• Для решения нужно развернуть комнату, как картонную коробку, и соединить две точки кратчайшим путём - отрезком прямой. Развернуть комнату можно несколькими способами, но кратчайший путь при этом будет в одном случае.
• На этом рисунке представлена развёртка комнаты и

точки A и B в масштабе:

Многообразие или примеры парадоксов

• А на чертеже комнаты этот маршрут будет выглядеть примерно так. Подсчитать длину маршрута несложно: это гипотенуза треугольника с катетами 32 и 24 метра, следовательно, длина пути равна 40 метрам.
• Хотя он и кажется запутанным, тем не менее, это кратчайший путь Стасика от А к B!

О с н о в н ы е т и п ы г е о м ет ри че ск их п а р а д о к с ов

• «Невозможный треугольник»
• «Бесконечная лестница»
• «Космическая вилка»
• «Сумасшедший ящик»

«Невозможный треугольник»

• Первую невозможную фигуру изобразил шведский художник Оскар Реутерсвард в 1934 году.
• Шведское правительство решило увековечить три картины художника на почтовых марках, одной из них стал и невозможный треугольник.

Трибар

• Трибар – разновидность невозможного треугольника. Его авторы - отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик.
• Трибар появился в 1958 году в журнале British Journal of Psychology, в статье под заголовком "Удивительные фигуры, особый вид оптических иллюзий".

Водопад

• Литография М.Эшера "Водопад" основана на фигуре невозможного треугольника. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии.

«Бесконечная лестница»

• Эту фигуру называют еще «Вечной лестницей», «Непрерывно восходящей и нисходящей тропой» или «Лестницей Пенроуза» – по имени ее создателей. Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году Лайонелом и Роджером Пенроузами в British Journal of Psychology.
• Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

«Бесконечная лестница»

• "Бесконечной лестницей" с успехом воспользовался художник М. Эшер в своей литографии "Восхождение и нисхождение«(1960 году)
• Вполне узнаваемая "Бесконечная лестница" аккуратно вписана в крышу монастыря. Монахи непрерывно движутся по лестнице в направлении по часовой стрелке и против нее. Они идут навстречу друг другу по невозможному пути. Им так и не удается ни подняться наверх, ни спуститься вниз.

«Космическая вилка»

• Этот невозможный объект с тремя (или двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Впервые он появился в печати как часть рекламы California Technical Industries 23 марта 1964 года в номере журнала Aviation Week and Space Technology.

«Сумасшедший ящик»

• "Сумасшедший ящик" – это вывернутый наизнанку каркас куба. Фигуру можно воспринять двояко.
• Как и многие другие невозможные объекты, "Сумасшедший ящик" основан на неправильных соединениях, допущенных при рисовании.

«Сумасшедший ящик»

• Непосредственным предшественником "Сумасшедшего ящика" была "невозможная коробка", которую держит сидящий мальчик в знаменитой гравюре М. Эшера "Бельведер" (1958). Предшественником невозможной коробки Эшера был, в свою очередь, куб Неккера.

Куб Неккера

• Куб Неккера был впервые описан в 1832 году швейцарским кристаллографом Льюисом А. Неккером, который заметил, что кристаллы иногда зрительно меняют форму, когда на них смотришь.
• Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в, которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно. Когда мы вглядываемся в куб, то замечаем, что голубая грань куба находится то на переднем, то на заднем плане.

Имп-Арт – искусство парадоксальных картин

• Многие известные художники рисовали работы, в основе которых лежали геометрические парадоксы. Эти работы выделяют в отдельное направление изобразительного искусства - "имп-арт", от английских слов impossible ("невозможный") и art ("искусство").
• Художнику требуется определённое мастерство, чтобы убедить зрителя в наличии объёма, перспективы, создать иллюзию пространства в своём произведении. "Рисовать – значит обманывать" – эти слова М.К. Эшера исполнены глубокого смысла. Невозможные фигуры дают почувствовать масштабы этого обмана.

Геометрические парадоксы и психология

• Очень интересно наблюдать за человеком, рассматривающим невозможный объект, и так же интересно наблюдать за тем, как он пытается понять его. Невозможные объекты важны для психологов, выясняющих, что же привлекает внимание людей.

Информационные ресурсы

•  Алфутова Н.Б., Устинов А.В. «Алгебра и теория чисел»
•  Алфутова Н.Б., Устинов А.В. «Шутки и ошибки»
•  www.gadaika.ru

Спасибо за внимание!