Геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной.

Д
ля наглядности рассмотрим график произвольной функции . Наугад возьмём любую точку на этом графике, например . Продвинемся вдоль графика на некоторое расстояние и зафиксируем вторую точку . Определимся с её координатами. Как образовалась координата (абсцисса)? Абсциссу увеличили на какое-то число. Это число называют приращением аргумента и обозначают . Тогда абсцисса точки равна . Ордината этой точки находится уже проще, она равна (тогда приращение функции равно ). Итак, точка имеет координаты .

Теперь проведём через эти две точки прямую. Она пересекает график в двух точках, значит, является секущей. Эта прямая пересекает ось Ох в некоторой точке и образует с этой осью угол . Любая прямая на координатной плоскости является графиком линейной функции , где – угловой коэффициент, который определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох (если угол острый, если угол тупой). Проведём через точку прямую . Получили прямоугольный треугольник . Углы и являются соответственными при параллельных прямых, значит, . Из .

Рассмотрим теперь, что происходит, когда уменьшается, т.е. . Тогда точка начнёт своё движение вдоль графика данной функции к точке , и в конце концов практически совпадёт с точкой , причём секущая будет поворачиваться вокруг точки . Предельным станет такое положение секущей, когда она будет иметь только одну общую точку с графиком функции (точку ), т.е. станет касательной к этому графику. Эта касательная образует с положительным направлением оси Ох угол . Так как предельное расположение прямой, то угол является предельным углом наклона прямой к положительному направлению оси Ох. Значит,

По определению производной функции в точке ,

Итак, . Это равенство как раз и отображает геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной. Численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику данной функции к положительному направлению оси Ох в этой точке.

Говоря простыми словами, если угол наклона касательной большой, то и значение производной большое и функция в этой точке резко возрастает; если угол наклона маленький, то и производная маленькая, а функция в этой точке изменяется медленно. Если же касательная образует с положительным направлением оси Ох тупой угол, то производная отрицательная, значит, функция убывает. Если же касательная параллельна оси Ох, т.е. , то и производная в этой точке равна нулю, а функция в этой точке достигает либо максимума, либо минимума.

Приведём пример задания из каталога ЕГЭ (базовый).

Н
а рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точках с абсциссой . Установить соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке .

Значения производной

Решение.

На графиках А и Г касательные составляют с положительным направлением оси Ох острые углы, значит, . Поскольку, чем больше угол, тем больше производная, то рисунку А соответствует ответ 1, а рисунку Г – ответ 2. На графиках Б и В касательные составляют с положительным направлением оси Ох тупые углы, значит, . Здесь сохраняется та же зависимость: чем больше угол, тем больше производная: , значит, графику В соответствует ответ 4, а графику Б – ответ 3.

Выведем уравнение касательной. Итак, общий вид уравнения прямой . Мы уже выяснили, что . Подставим это значение в уравнение: . Теперь нам нужно найти число . Мы знаем, что касательная проходит через точку . Значит, её координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. в наше уравнение вместо ставим , а вместо ставим . Получаем:

Подставим теперь это значение в уравнение прямой:

Итак, уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

Приведём пример.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке

Находим

Найдём производную и её значение в заданной точке.

Все найденные компоненты подставляем в общий вид уравнения касательной:

.

Искомое уравнение касательной имеет вид:

I уровень.

1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью угол

2. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой

3. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке графика с абсциссой

4. Найдите угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью .

5. Записать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

6. Записать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

7. Найти точки графика функции , в которых касательная к нему имеет заданный угловой коэффициент

II уровень.

1. О
   пределите знак углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции , изображённому на рисунках, в точках с абсциссами :

1. У
   кажите точки, в которых производная равна нулю, и точки, в которых производная не существует, если график функции изображён на заданных рисунках:

1. Тупой или острый угол образует с положительным направлением оси касательная к графику функции , проведённая в точке с абсциссой , если:

1. Чему равен угловой коэффициент касательной к параболе в точке:

2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой , если:

3. Определите, какой угол образует с осью касательная, проведённая к графику функции в точке с абсциссой , если:

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:

5. Напишите уравнения касательных к графику функции в точках его пересечения с осью абсцисс.

6. Напишите уравнения касательных к параболе в точках с ординатой 4.

7. На графике функции найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол . Составьте уравнение каждой из этих касательных.

1. В какой точке касательная к графику функции параллельна заданной прямой:

2. В каких точках касательная к графику заданной функции параллельна заданной прямой :

3. Напишите уравнения тех касательных к графику функции , которые параллельны заданной прямой:

4. С помощью формулы вычислите приближённо:

5. Через точку проведите касательную к графику функции , если:

6. Составьте уравнение касательной к графику функции , отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна .

7. Составьте уравнения тех касательных к графику функции , которые пересекаются под углом в точке, лежащей на оси .

8. Составьте уравнения касательных к кривой в точках её пересечения с осью .

9. Составьте уравнения касательных к кривой в точках её пересечения с осью .

10. Найдите точку пересечения касательных, проведённых к графику функции в точках с абсциссами

11. Найдите точку пересечения касательных, проведённых к графику функции в точках с абсциссами

12. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к кривой составляет с положительным направлением оси угол в .

13. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к кривой составляет с положительным направлением оси угол в .

14. В каких точках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси угол в ?

15. В каких точках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси угол в ?

16. На графике функции найдите точку, касательная в которой перпендикулярна прямой

17. На графике функции найдите точку, касательная в которой перпендикулярна прямой

18. Напишите уравнение касательной к кривой в точке

19. Напишите уравнение касательной к кривой в точке

20. Напишите уравнения касательных к кривой , проходящих через точку

21. Напишите уравнения касательных к кривой , проходящих через точку

22. Найдите угол между графиками функций и в точках их пересечения.

23. Найдите угол между графиками функций и в точках их пересечения.

24. Напишите уравнение касательной к кривой , которая параллельна прямой .

25. Напишите уравнение касательной к кривой , которая параллельна прямой .

26. Найдите уравнение общей касательной к параболам

27. Найдите уравнение общей касательной к параболам

28. При каких прямая касается графика функции ?

29. При каких прямая касается графика функции ?

30. При каких касательные, проведённые к графику функции , в точках пересечения этого графика с осью пересекаются под углом ?

31. При каких касательные, проведённые к графику функции , в точках пересечения этого графика с осью пересекаются под углом ?

32. Какой угол с положительным направлением оси составляет касательная к графику функции в точке .

33. Какой угол с положительным направлением оси составляет касательная к графику функции в точке .

34. Какой угол с положительным направлением оси составляет касательная к графику функции в точке .

35. Какой угол с положительным направлением оси составляет касательная к графику функции в точке .

36. Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции параллельна оси .

37. Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции параллельна оси .

38. Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции параллельна оси .

39. Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции параллельна оси .

40. Напишите уравнение касательной к графику функции в точках её пересечения с осью .

41. Напишите уравнение касательной к графику функции в точках её пересечения с осью .

42. Напишите уравнение касательной к графику функции в точках её пересечения с осью .

43. Напишите уравнение касательной к графику функции в точках её пересечения с осью .

44. На каких промежутках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси тупой угол?

45. На каких промежутках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси острый угол?

46. На каких промежутках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси тупой угол?

47. На каких промежутках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси острый угол?

4