Геометрический смысл производной

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Урок повторения№1 по теме: Производная и её геометрический смысл. Производная в ЕГЭ!

МБОУ Глуховская СОШ

Дикалов Дмитрий Геннадьевич

Типы задач из ЕГЭ по математике:

• Нахождение значения производной в точке(геометрический смысл производной)
• Нахождение промежутков возрастания и убывания
• Нахождение точек, в которых производная равна 0
• Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Геометрический смысл производной

Производная в точке

равна

угловому коэффициенту

касательной к

графику функции

y = f(x) в этой точке.

Т.е.

.

Причем, если :

.

Причем, если :

На рисунке изображён график функции                 

и касательная к нему в точке с абсциссой     .

Найдите значение производной функции           в точке      .

А

В

2

вертикаль

=

= - 0,25

горизонталь

8

Если А выше В ставим знак «-»

На рисунке изображён график функции                  и касательная к

нему в точке с абсциссой     .

Найдите значение производной функции           в точке     .

Если А ниже В

знак «+»

В

А

2

= 0,5

4

На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х 0 .

у

Решение:

у = f(x)

4

tga =

1

х

 

1

tga = 4

O

х 0

-3

1=-tg α =-4

 

-7

Ответ: -4

На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х 0 .

у

Решение:

3

tga =

3

12

12

х

 

 

1

х 0

O

у = f(x)

Ответ: 0,25

На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х 0 .

у

Решение:

2

tga =

8

tga =0,25

1

1

х 0

 

 

O

8

х

 

1=-tg α =-0,25

2

у = f(x)

Ответ: -0,25

На рисунке изображен график функии. Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная функции в точке равна 0 тогда и только тогда, когда касательная к графику функции, проведенная в этой точке, горизонтальна.

0 , значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика. Решение: 2. Найдем все целые точки на этих отрезках. y y = f (x) 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 Ответ: 8 " width="640"

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции  положительна.

1. f / (x) 0 , значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика.

Решение:

2. Найдем все целые точки на этих отрезках.

y

y = f (x)

5

4

3

2

1

x

-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

-1

-2

-3

-4

Ответ: 8

№ 9.Найдите промежутки возрастания функции .В ответе укажите длину большего из них .

На рисунке изображен график производной функции. Найдите количество таких чисел , что касательная у графику в точке параллельна прямой y=3x-11 или совпадает с ней.

Две прямые параллельны или совпадают, тогда и только тогда, когда угловые коэффициенты равны.

На рисунке изображен график y=f’(x)   — производной функции f(x) , определенной на интервале (-3;11) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y= -x+19 или совпадает с ней.

f‘ (x) = -1

Ответ: 3

Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямой y= 2 x +7 или совпадает с ней.

Две прямые параллельны или совпадают, тогда и только тогда, когда угловые коэффициенты равны.

На рисунке изображен график производной функции. Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки .

Производная непрерывно дифференцируемой функции на промежутке убывания (возрастания) отрицательна (положительна)

-1+0+1+2+3+4+7=16

На рисунке изображен график производной функции. Исследуйте функцию у = f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума.

y

y = f / (x)

4

3

2

1

4 точки экстремума

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x

1 2 3 4 5 6 7

-1

-2

-3

-4

-5

+

f / (x)

–

–

8

- 8

+

+

x

7

3

0

-5

f(x)

Ответ:2

Найдите точку экстремума функции у = f (x) на отрезке [ – 6; –1 ]

y

y = f / (x)

4

3

2

1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x

1 2 3 4 5 6 7

-1

-2

-3

-4

-5

+

f / (x)

8

+

- 8

+

–

–

x

7

3

0

-5

f(x)

Ответ:– 5

Найдите количество точек экстремума функции у = f (x)

на отрезке [ – 3; 7 ]

y

y = f / (x)

4

3

2

1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x

1 2 3 4 5 6 7

-1

-2

-3

-4

-5

+

f / (x)

- 8

+

–

–

+

8

x

7

3

0

-5

f(x)

Ответ: 3

На рисунке изображен график производной функции. Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите длину большего из них .

-10-(-11)=1

-1-(-7)=6

3-2=1

На рисунке изображен график y=f'(x)   — производной функции f(x) , определенной на интервале (-8:5) . В какой точке отрезка [-3;2] принимает наибольшее значение?

у

х

Ответ:-3

На рисунке изображен график y=f‘(x) — производной функции f(x) , определенной на интервале (-3;8) . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

-2

-1

0

1

2

6

7

-2+(-1)+0+1+2+6+7= 13

Ответ: 13

На рисунке изображен график y=f'(x)   — производной функции f(x) , определенной на интервале (-6;8) . Найдите промежутки возрастания функции f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ: 6

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x) , определенной на интервале (-8;6) . Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ: 3

На рисунке изображен график y=f '(x)   — производной функции f(x) , определенной на интервале (-7;4) . Найдите точку экстремума функции f(x) , принадлежащую отрезку .

Ответ: - 3

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0 .

Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Две прямые параллельны или совпадают, тогда и только тогда, когда угловые коэффициенты равны.

Материал с открытого банка заданий mathege.ru