Геометрический смысл производной

Тема: Геометрический смысл производной.

Цель: выяснить, в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной к графику функции.

1. Угловой коэффициент прямой

Графиком линейной функции y=kx+b является прямая. Число к = tg называют угловым коэффициентом прямой, а угол  — углом между этой прямой и осью Ох (рис. 1).

Выведем уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку М₀(х₀;у₀).М (х; у) произвольная точка этой прямой (рис. 2).

И з ∆АММ₀ находим tg= . Обозначив tga = k, получаем y - y₀ = k (x-x₀), откуда

у = у₀ + к(х-х_о) (1)

Рис. 2

1. Геометрический смысл производной

Выясним геометрический смысл производной дифференци­руемой функции y=f(x).

Пусть функция y=f(x)определена в некоторой окрестно­сти точки х₀ и существует ее производная f'(x₀).

А и М - точки графика этой функции (рис. 3).

А (х₀ ; f(x₀)), М(x₀ + h; f(x₀+h)), С(x₀ + h, f(x₀))

Угловой коэффициент k = k(h) прямой, проходящей через точки А и М (эту прямую называют секущей), выражается формулой

Рис. 3

k(h) = tg MAC = (2)

Тогда уравнение секущей AM можно записать в виде

y-y_o = k(h)(x - x_o) (3)

Устремим h 0, тогда М, двигаясь по графику, приближается к точке А (М А), а секущая поворачивается вокруг точки А.

k(h) k

Секущая устремляется к касательной к графи­ку функции y = f(x) в точке с ко­ординатами (х₀; f(x₀)). Таким об­разом, касательная к графику функции y = f(x) в точке (х₀; f(x₀)) есть предельное положение секу­щей МА при h 0

Тогда уравнение касательной к графику: y - y_o = k (x - x_o) (4)

Так как k - угловой коэффициент касательной, то k = = tg, где  — угол, образуемый касательной с положительным направлением оси Ох (рис. 4).

Таким образом, = k = tg (5)

Геометрический смысл производной: значение производной функции f(x) в точке х₀ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке (х₀; f(x₀)).

1. Уравнение касательной к графику функции

Заменяя в формуле (4) k на f'(x₀), получаем уравнение ка­сательной (рис. 5) к графику функции у =f(x) в точке (х₀; f(x₀)):

Рис. 2

Рис. 4

Рис. 5