СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Учителю математики. Все о геометрической прогрессии.

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Презентация предназначена для учителей математики  и учащихся 9-11 классов для самостоятельного изучения. Содержит теоретический материал, решение типовых задач по теме "Геометрическая прогрессия", решение интересных исторических задач и задач повышенной сложности. 

Просмотр содержимого документа
«Учителю математики. Все о геометрической прогрессии.»

Геометрическая прогрессия Автор: Софронова Наталия Андреевна, учитель математики МОУ «Упшинская ООШ» Оршанского района Республики Марий Эл ( К учебнику Ю.А.Макарычева Алгебра 9

Геометрическая прогрессия

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики МОУ «Упшинская ООШ»

Оршанского района Республики Марий Эл

( К учебнику Ю.А.Макарычева Алгебра 9

Легенда о шахматной доске Согласно легенде индусский царь Шерам решил наградить изобретателя шахмат и предложил ему самому выбрать награду. Изобретатель, его звали Сета, попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна, за четвертую – 8 зерен и т.д. до 64-й клетки. Получили последовательность ( b n ): 1; 2; 4; 8; …. Назовите b 5; b 6. По какому правилу можно найти каждый член последовательности? Ответ: b n+1 = b n ∙ 2

Легенда о шахматной доске

Согласно легенде индусский царь Шерам решил наградить изобретателя шахмат и предложил ему самому выбрать награду. Изобретатель, его звали Сета, попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна, за четвертую – 8 зерен и т.д. до 64-й клетки.

Получили последовательность

( b n ): 1; 2; 4; 8; ….

Назовите b 5; b 6.

По какому правилу можно найти каждый член последовательности?

Ответ: b n+1 = b n ∙ 2

Определение геометрической прогрессии По какому правилу можно найти каждый член последовательности? Последовательность, отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией Найти знаменатель геометрической прогрессии: (b n ): 12; 36; … (b n ): b 1 ; b 2 1000; 100; … Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

Определение геометрической прогрессии

По какому правилу можно найти каждый член последовательности?

Последовательность, отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией

Найти знаменатель геометрической прогрессии:

(b n ): 12; 36; …

(b n ): b 1 ; b 2 1000; 100; …

Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

Формула n-го члена геометрической прогрессии В чем проблема? Вывод формулы n-го члена геометрической про грессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

В чем проблема?

Вывод формулы n-го члена геометрической про грессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Настал для нас важнейший час узнать, где можно применить прогрессии сейчас? Формула n-го члена геометрической прогрессии Пример 4. Вкладчик положил в банк 5000 рублей на счет, по которому сумма вкладчика ежегодно возрастает на 10%. Какая сумма будет на счету клиента банка через 6 лет?

Настал для нас важнейший час

узнать, где можно применить

прогрессии сейчас?

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Пример 4. Вкладчик положил в банк 5000 рублей на счет, по которому сумма вкладчика ежегодно возрастает на 10%. Какая сумма будет на счету клиента банка через 6 лет?

Настал для нас важнейший час узнать, где можно применить прогрессии сейчас? Формула n-го члена геометрической прогрессии Пример 5. На сколько процентов увеличится население острова за 10 лет, если ежегодно оно увеличивается на 2%? Население за 10 лет увеличится примерно в 1,22 раза или на 22%

Настал для нас важнейший час

узнать, где можно применить

прогрессии сейчас?

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Пример 5. На сколько процентов увеличится население острова за 10 лет, если ежегодно оно увеличивается на 2%?

Население за 10 лет увеличится примерно в 1,22 раза или на 22%

Характеристическое свойство геометрической прогрессии Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов

Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии Пример 6. Найти седьмой член геометрической прогрессии, если ее шестой и восьмой члены соответственно равны 162 и 18 и все члены этой последовательности – положительные числа.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Пример 6. Найти седьмой член геометрической прогрессии, если ее шестой и восьмой члены соответственно равны 162 и 18 и все члены этой последовательности – положительные числа.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии Пример 7. В геометрической прогрессии (b n ) b 11 = 4 и b 15 = 16. Найдите тринадцатый член этой последовательности.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Пример 7. В геометрической прогрессии (b n ) b 11 = 4 и b 15 = 16. Найдите тринадцатый член этой последовательности.

Еще одно свойство геометрической прогрессии Пример 8. В геометрической прогрессии (b n ) b 11 ∙ b 15 = 16. Найдите b 7 ∙ b 19

Еще одно свойство геометрической прогрессии

Пример 8. В геометрической прогрессии (b n ) b 11 ∙ b 15 = 16. Найдите b 7 ∙ b 19

Легенда о шахматной доске Согласно легенде индусский царь Шерам решил наградить изобретателя шахмат и предложил ему самому выбрать награду. Изобретатель, его звали Сета, попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клеточку положить одно зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна, за четвертую – 8 зерен и т.д. до 64-й клетки. Оскорбленный столь скромной просьбой, царь приказал выдать изобретателю мешок зерна за все 64 клетки шахматной доски, за каждую вдвое больше предыдущей Насколько скромной была просьба изобретателя? Каким образом?

Легенда о шахматной доске

Согласно легенде индусский царь Шерам решил наградить изобретателя шахмат и предложил ему самому выбрать награду. Изобретатель, его звали Сета, попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клеточку положить одно зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна, за четвертую – 8 зерен и т.д. до 64-й клетки.

Оскорбленный столь скромной просьбой, царь приказал выдать изобретателю мешок зерна за все 64 клетки шахматной доски, за каждую вдвое больше предыдущей

Насколько скромной была просьба изобретателя?

Каким образом?

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии (b n ) - геометрическая прогрессия: b 1 , b 2 , b 3 , … b n-2 , b n-1 , b n , Найти сумму первых n членов этой прогрессии S n S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n-2 + b n-1 + b n S n q = b 1 q + b 2 q + b 3 q + … + b n-2 q + b n-1 q + b n q S n q = b 2 + b 3 + b 4 + … + b n-1 + b n + b n q S n q-S n = (b 2 +b 3 + ...+ b n-1 +b n +b n q) – (b 1 + b 2 +b 3 +…+b n-2 + b n-1 +b n ) S n q - S n = b n q – b 1 S n q - S n = b 1 q n-1 q – b 1 = b 1 q n - b 1

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

(b n ) - геометрическая прогрессия: b 1 , b 2 , b 3 , … b n-2 , b n-1 , b n ,

Найти сумму первых n членов этой прогрессии S n

S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n-2 + b n-1 + b n

S n q = b 1 q + b 2 q + b 3 q + … + b n-2 q + b n-1 q + b n q

S n q = b 2 + b 3 + b 4 + … + b n-1 + b n + b n q

S n q-S n = (b 2 +b 3 + ...+ b n-1 +b n +b n q) – (b 1 + b 2 +b 3 +…+b n-2 + b n-1 +b n )

S n q - S n = b n q – b 1

S n q - S n = b 1 q n-1 q – b 1 = b 1 q n - b 1

Легенда о шахматной доске Согласно легенде индусский царь Шерам решил наградить изобретателя шахмат и предложил ему самому выбрать награду. Изобретатель, его звали Сета, попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клеточку положить одно зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна, за четвертую – 8 зерен и т.д. до 64-й клетки. Оскорбленный столь скромной просьбой, царь приказал выдать изобретателю мешок зерна за все 64 клетки шахматной доски, за каждую вдвое больше предыдущей Насколько скромной была просьба изобретателя? 1 зернышко весит примерно 0,06 г 18 446 744 073 709 551 615 ∙ 0,06 = ≈ 1 106 804 644 422 573 097 г ≈ 1 106 804 644 422 573 кг ≈ 1 106 804 644 423 т ≈ 1 106 804,6 млн. тонн Справка: В России в 2013 году произведено 95,3 млн. тонн зерна Мировой рынок зерновых в 2013 году составил 2305 млн.тонн

Легенда о шахматной доске

Согласно легенде индусский царь Шерам решил наградить изобретателя шахмат и предложил ему самому выбрать награду. Изобретатель, его звали Сета, попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клеточку положить одно зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна, за четвертую – 8 зерен и т.д. до 64-й клетки.

Оскорбленный столь скромной просьбой, царь приказал выдать изобретателю мешок зерна за все 64 клетки шахматной доски, за каждую вдвое больше предыдущей

Насколько скромной была просьба изобретателя?

1 зернышко весит примерно 0,06 г

18 446 744 073 709 551 615 ∙ 0,06 =

≈ 1 106 804 644 422 573 097 г

≈ 1 106 804 644 422 573 кг

≈ 1 106 804 644 423 т

≈ 1 106 804,6 млн. тонн

Справка:

В России в 2013 году произведено 95,3 млн. тонн зерна

Мировой рынок зерновых в 2013 году составил 2305 млн.тонн

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии Пример 9. В геометрической прогрессии (b n ) b 1 = 3 b 2 = 1,5. Найти сумму первых 10 членов этой прогрессии

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Пример 9. В геометрической прогрессии (b n ) b 1 = 3 b 2 = 1,5. Найти сумму первых 10 членов этой прогрессии

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии Пример 10. Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b n ), если известно, что b 3 = 12 и b 5 = 48.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Пример 10. Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b n ), если известно, что b 3 = 12 и b 5 = 48.

. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия -1 1 0 Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию | q |

.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

-1

1

0

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется

геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию | q |

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Можно ли найти сумму всех членов этой последовательности? 1 S = 1

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Можно ли найти сумму всех членов этой последовательности?

1

S = 1

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии Задача: В равнобедренный треугольник вписан круг. В пространство над ним второй круг, касающийся первого и боковых сторон треугольника. В пространство над вторым – третий. Так весь угол при вершине треугольника заполняется последовательностью окружностей всё меньшего радиуса. Их число не ограничено. Можно ли найти сумму диаметров всех этих окружностей? Бесконечная сумма оказалась равной вполне конечной величине – высоте равнобедренного треугольника .

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии

Задача: В равнобедренный треугольник вписан круг. В пространство над ним второй круг, касающийся первого и боковых сторон треугольника. В пространство над вторым – третий. Так весь угол при вершине треугольника заполняется последовательностью окружностей всё меньшего радиуса. Их число не ограничено. Можно ли найти сумму диаметров всех этих окружностей?

Бесконечная сумма оказалась равной вполне конечной величине – высоте равнобедренного треугольника .

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при │q│ Число S называют суммой бесконечной геометрической прогрессии при │q│

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при │q│

Число S называют суммой бесконечной геометрической прогрессии при │q│

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 1 S = 1

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

1

S = 1

Задачи Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 36; 12; 4; … Ответ: 54 2. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, у которой S = 8, q = 0,5 Ответ: 4 Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, у которой S = 10, b 1 = 6 Ответ: 0,4 4. Представьте в виде обыкновенной дроби число: 0,(3); 0,(75); 0,(153)

Задачи

  • Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии

36; 12; 4; …

Ответ: 54

2. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии,

у которой S = 8, q = 0,5

Ответ: 4

  • Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, у которой S = 10, b 1 = 6

Ответ: 0,4

4. Представьте в виде обыкновенной дроби число:

0,(3); 0,(75); 0,(153)

Рациональные числа

Рациональные числа

Формула суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой | q | Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: а) 0, (3); б) 0,(75).

Формула суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой | q |

Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: а) 0, (3); б) 0,(75).

Формула суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой | q | Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 0,(153).

Формула суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой | q |

Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 0,(153).

Правило Для обращения простой периодической дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе—число, состоящее, из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби Представьте в виде обыкновенной дроби: 0,(5); 0,(54); 0,(108)

Правило

Для обращения простой периодической дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе—число, состоящее, из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби

Представьте в виде обыкновенной

дроби: 0,(5); 0,(54); 0,(108)

Формула суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой | q | Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: а) 0,0(6); б) 0,00(75).

Формула суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой | q |

Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: а) 0,0(6); б) 0,00(75).

Правило Представьте в виде обыкновенной дроби: 0,(24) 0,00(5) 0,0(54) 0,00(108)

Правило

Представьте в виде обыкновенной дроби:

0,(24)

0,00(5)

0,0(54)

0,00(108)

Формула суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой | q | Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 1,3(2)

Формула суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой | q |

Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 1,3(2)

Интересные задачи на геометрическую прогрессию 4.7. (В.И.Глизбург «ГИА. Математика. Комплексная подготовка») Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогресс ии , у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех ее последующих членов.

Интересные задачи на геометрическую прогрессию

4.7. (В.И.Глизбург «ГИА. Математика. Комплексная подготовка»)

Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогресс ии , у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех ее последующих членов.

Интересные задачи на геометрическую прогрессию Рурукин А.Н., Полякова С.А. Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. – М.: ВАКО, 2010. – 336 с. – (В помощь учителю). Стр. 239, Пример 8. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти эту прогрессию.

Интересные задачи на геометрическую прогрессию

Рурукин А.Н., Полякова С.А. Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. – М.: ВАКО, 2010. – 336 с. – (В помощь учителю). Стр. 239, Пример 8.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти эту прогрессию.

Интересные задачи на геометрическую прогрессию Рурукин А.Н., Полякова С.А. Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. – М.: ВАКО, 2010. – 336 с. – (В помощь учителю). Стр. 240, Пример 10. Сторона квадрата равна а . Середины сторон этого квадрата соединим отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступим так же, как и сданным, и т.д. Найти суммы сторон, периметров и площадей всех этих квадратов а 3 а 2 а 1

Интересные задачи на геометрическую прогрессию

Рурукин А.Н., Полякова С.А. Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. – М.: ВАКО, 2010. – 336 с. – (В помощь учителю). Стр. 240, Пример 10.

Сторона квадрата равна а . Середины сторон этого квадрата соединим отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступим так же, как и сданным, и т.д. Найти суммы сторон, периметров и площадей всех этих квадратов

а 3

а 2

а 1

а 3 а 2 а 1

а 3

а 2

а 1

Урок полезен, все понятно. Лишь кое-что чуть-чуть неясно. Еще придется потрудиться. Да, трудно все-таки учиться! Я понял (поняла), что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – это … Особенность бесконечной геометрической прогрессии в том, что … Формула для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет вид - … Я научился (научилась) обращать бесконечную десятичную периодическую дробь в обыкновенную, например 0,(2) = …, 0,(45) = … Домашнее задание: Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. Стр.24 С-22 1 (б,в); 2 (б,в); 3; 5

Урок полезен, все понятно.

Лишь кое-что чуть-чуть неясно.

Еще придется потрудиться.

Да, трудно все-таки учиться!

Я понял (поняла), что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – это …

Особенность бесконечной геометрической прогрессии в том, что …

Формула для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет вид - …

Я научился (научилась) обращать бесконечную десятичную периодическую дробь в обыкновенную, например 0,(2) = …, 0,(45) = …

Домашнее задание:

Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса.

Стр.24 С-22 1 (б,в); 2 (б,в); 3; 5

Покупка лошади Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если, по-твоему, цена лошади высока то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй – ½ коп., за третий – 1 коп., и т.д.» Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. Выгодную ли сделку заключил покупатель ?

Покупка лошади

Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит».

Тогда продавец предложил другие условия: «Если, по-твоему, цена лошади высока то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй – ½ коп., за третий – 1 коп., и т.д.»

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. Выгодную ли сделку заключил покупатель ?

Вознаграждение воина Задача из старинного русского учебника математики Ефима Войтяховского (1795 г.): «Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану - 1 копейка, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и так далее. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран»

Вознаграждение воина

Задача из старинного русского учебника математики Ефима Войтяховского (1795 г.): «Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану - 1 копейка, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и так далее. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран»

Продажа яблок Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и еще пол-яблока; третьему – половину оставшихся яблок и еще пол-яблока и так далее. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Продажа яблок

Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и еще пол-яблока; третьему – половину оставшихся яблок и еще пол-яблока и так далее. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Продажа яблок

Продажа яблок

Кто выиграл? Однажды незнакомец постучал к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течении 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей. А ты в первый день за 100 000 рублей дашь 1 копейку, во второй день за 100 000 рублей дашь 2 копейки и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня и начнём». Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней он получит от незнакомца 3000000 рублей. В следующий день они пошли к нотариусу и заключили сделку. Кто выиграл в этой сделке?

Кто выиграл?

Однажды незнакомец постучал к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течении 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей. А ты в первый день за 100 000 рублей дашь 1 копейку, во второй день за 100 000 рублей дашь 2 копейки и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня и начнём».

Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней он получит от незнакомца 3000000 рублей. В следующий день они пошли к нотариусу и заключили сделку.

Кто выиграл в этой сделке?

Интересные задачи на геометрическую прогрессию 7.42. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе»)

Интересные задачи на геометрическую прогрессию

7.42. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе»)

Интересные задачи на геометрическую прогрессию 7.43. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе») Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 112, а сумма следующих трех ее членов равна 14. Найдите седьмой член прогрессии.

Интересные задачи на геометрическую прогрессию

7.43. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе»)

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 112, а сумма следующих трех ее членов равна 14. Найдите седьмой член прогрессии.

Интересные задачи на геометрическую прогрессию 7.44. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе») Сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3069?

Интересные задачи на геометрическую прогрессию

7.44. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе»)

Сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3069?

b c ) a-10, b-8, c – геометрическая прогрессия " width="640"

Интересные задачи на геометрическую прогрессию

7.45. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе»)

Сумма трех чисел, составляющих убывающую арифметическую прогрессию, равна 60. Если от первого числа отнять 10, от второго отнять 8, а третье оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

a, b, c – арифметическая прогрессия (убывающая, то есть a b c )

a-10, b-8, c – геометрическая прогрессия

Интересные задачи на геометрическую прогрессию 7.46. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе») Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если среднее из них удвоить, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель q этой прогрессии, если известно, что ǀ q ǀ a, b, c – геометрическая прогрессия, ǀ q ǀ a, 2b, c – арифметическая прогрессия

Интересные задачи на геометрическую прогрессию

7.46. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе»)

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если среднее из них удвоить, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель q этой прогрессии, если известно, что ǀ q ǀ

a, b, c – геометрическая прогрессия, ǀ q ǀ

a, 2b, c – арифметическая прогрессия

Интересные задачи на геометрическую прогрессию 7.47. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе») Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. В арифметической прогрессии а 1 = 3, d = 6; в геометрической прогрессии b 1 = 3, q = √2. Выясните, что больше: сумма первых шести членов арифметической прогрессии или сумма первых восьми членов геометрической прогрессии .

Интересные задачи на геометрическую прогрессию

7.47. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе»)

Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. В арифметической прогрессии а 1 = 3, d = 6; в геометрической прогрессии b 1 = 3, q = √2. Выясните, что больше: сумма первых шести членов арифметической прогрессии или сумма первых восьми членов геометрической прогрессии .

Интересные задачи на геометрическую прогрессию 7.48. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе») Три различных числа а , b и с образуют геометрическую прогрессию, а числа a +b, b + c, а + c образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии .

Интересные задачи на геометрическую прогрессию

7.48. (1) (Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе»)

Три различных числа а , b и с образуют геометрическую прогрессию, а числа a +b, b + c, а + c образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии .

Интересные задачи на геометрическую прогрессию 4.33. (В.И.Глизбург «ГИА. Математика. Комплексная подготовка») Три числа, сумма которых равна 78, составляют геометрическую прогрессию. Их можно рассматривать так же, как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найдите эти числа.

Интересные задачи на геометрическую прогрессию

4.33. (В.И.Глизбург «ГИА. Математика. Комплексная подготовка»)

Три числа, сумма которых равна 78, составляют геометрическую прогрессию. Их можно рассматривать так же, как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найдите эти числа.

Прогрессии: формулы Арифметическая прогрессия Рекуррентная формула (определение) Геометрическая прогрессия а n+1 = a n + d Формула n-го члена а n = а 1 + d (n – 1) Формула суммы n первых членов Характеристическое свойство Связь между двумя любыми членами прогрессии и d (q) Если в прогрессии m + n = p + k, то Формула суммы всех членов беск. геометрической прог-рессии, у которой | q | нет

Прогрессии: формулы

Арифметическая прогрессия

Рекуррентная формула (определение)

Геометрическая прогрессия

а n+1 = a n + d

Формула n-го члена

а n = а 1 + d (n – 1)

Формула суммы n первых членов

Характеристическое свойство

Связь между двумя любыми членами прогрессии и d (q)

Если в прогрессии

m + n = p + k, то

Формула суммы всех членов беск. геометрической прог-рессии, у которой | q |

нет

Прогрессии: формулы Арифметическая прогрессия Рекуррентная формула (определение) Геометрическая прогрессия а n+1 = a n + d Формула n-го члена а n = а 1 + d (n – 1) Формула суммы n первых членов Характеристическое свойство Связь между двумя любыми членами прогрессии и d (q) Если в прогрессии m + n = p + k, то Формула суммы всех членов беск. геометрической прог-рессии, у которой | q | нет

Прогрессии: формулы

Арифметическая прогрессия

Рекуррентная формула (определение)

Геометрическая прогрессия

а n+1 = a n + d

Формула n-го члена

а n = а 1 + d (n – 1)

Формула суммы n первых членов

Характеристическое свойство

Связь между двумя любыми членами прогрессии и d (q)

Если в прогрессии

m + n = p + k, то

Формула суммы всех членов беск. геометрической прог-рессии, у которой | q |

нет

Эпиграф урока. Закончился XX век. Куда стремится человек? Изучены и космос, и моря, Строенье звёзд и вся Земля. Но математиков зовёт Известный лозунг: “ Прогрессио – движение вперёд”.
  • Эпиграф урока. Закончился XX век. Куда стремится человек? Изучены и космос, и моря, Строенье звёзд и вся Земля. Но математиков зовёт Известный лозунг: “ Прогрессио – движение вперёд”.


Геометрия 7 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 9 класс ФГОС

Алгебра 10 класс ФГОС

Электронная тетрадь по математике 6...

Алгебра 10 класс

Геометрия 8 класс ФГОС

Электронная тетрадь по алгебре 8 класс...
Скачать

© 2016, 7899 92

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Проектная деятельность учащихся
1000 руб.  4000 руб.
Методы решения функциональных уравнений и неравенств
1000 руб.  4000 руб.
Методика преподавания математики в соответствии с ФГОС ООО (СОО)
1000 руб.  4000 руб.
Современные педагогические технологии в образовательном процессе
1000 руб.  4000 руб.
Система работы с высокомотивированными и одаренными учащимися по...
1000 руб.  4000 руб.
Учитель, преподаватель математики
3450 руб.  13800 руб.

Похожие файлы

1 комментарий

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!

Полезное для учителя

Новости проекта
28.12.23

С наступающим Новым годом, уважаемые учителя! Поздравляем вас с праздником!

16.11.23

Лайфхак учителя №3! Что делать, если вы устали из урока в урок повторять одно и то же

09.11.23

Лайфхак учителя №2! Как перестать бегать от ученика к ученику во время практической работы

Курсы для учителей!
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
Профессиональная компетентность педагогов в условиях внедрения ФГОС
1000 руб.
4000 руб.
Методика подготовки к ОГЭ по математике
1000 руб.
4000 руб.
Методика преподавания математики в соответствии с ФГОС ООО (СОО)
1000 руб.
4000 руб.
Смотреть все курсы