Язык математики и математические модели

ЯЗЫК МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ПОНЯТЬ

Среди всех языков, которые важны для построения информационных моделей, язык математики занимает особое место.

В отличие от естественного языка язык математики существенно более формализован как в плане обозначений и их взаимосвязи (синтаксис), так и в плане соотнесенного с ними смысла (семантика).

Математический язык предназначен для построения информационных моделей объектов особого рода - математических объектов.

Как они возникают?

Человеческая интуиция позволяет различать многие глубинные свойства, в разной степени присущие объектам внешнего мира: количество, порядок, непрерывность, детерминированность, случайность, эффективность и т.п.

Особенность математики заключается в том, что она стремиться говорить об этих свойствах как можно точнее, используя для этого специальный язык. Многие окружающие нас объекты занимают определенное положение в пространстве, для характеристики которого в математике вводятся такие объекты, как система отсчета, координаты точки, длина, ширина, высота. Нередко изменение поведения одного объекта вызывает изменение другого объекта. Для описания такой зависимости в математике вводятся такие объекты, как функция, независимая и зависимая переменные, производная как скорость изменения функции и пр. Подобным путем и возникают математические объекты.

ПРИМЕЧАНИЕ. Возможна и другая точка зрения, утверждающая, что математические объекты не искусственные конструкции, а действительно существуют в некотором идеальном мире, скажем платоновских "эйдосов", а математический язык есть только средство их описания. Обе эти точки зрения имеют свои положительные и отрицательные стороны и в современной математики "имеют хождение" на равных правах.

ПРИМЕР 1

Одним из важнейших понятий математики, отражающим идею количества и порядка, является понятие натурального числа. Значимость его такова, что выдающийся математик Л.Кронекер сказал как-то, что натуральные числа сотворил сам Господь Бог, все остальное дело рук человеческих. В общем случае все остальные числа - рациональные, действительные и комплексные - так или иначе можно получить в результате обобщения натуральных чисел.

Следовательно, очень важны информационные модели для описания таких математических объектов как натуральные числа. В математике такие модели строятся в рамках выбранной системы счисления, определяющей способы записи чисел и выполнения операций над ними.

Привычным для нас способом записи чисел является десятичная позиционная система. С точки зрения языка это означает, что всякое число есть слово в десятибуквенном алфавите 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, построенное по определенным правилам. Такая система счисления имеет, с точки зрения человека, ряд преимуществ перед другими системами (например, непозиционной римской системой счисления или используемой при измерении времени шестидесятиричной системой), однако для компьютера более подходящей оказывается двоичная система.

Во многих математических моделях используются такой математический объект, как бесконечность, и такое свойство, как непрерывность.

ПРИМЕР 2

Изучение феномена непрерывности является одной из основных задач математики. В значительной степени, именно благодаря свойству непрерывности на основе математических моделей можно делать далеко идущие предположения. Само же понятие непрерывности с трудом поддается точному определению. Иными словами, совсем непросто построить модель непрерывности.

Во времена древнегреческого философа Парменида непрерывное рассматривалось как нечто единое и неделимое, а его ученик Зенон показал, к чему может привести мысль о делимости непрерывного на отдельные части (парадоксы Зенона). Тем не менее современная математика рассматривает непрерывное (континуум) как множество точек, удовлетворяющее некоторым условиям, что, строго говоря, не избавляет ее ни от парадоксов Зенона, ни от других проблем, порожденных этим подходом (например, континуум-проблема).

ПРИМЕЧАНИЕ. Приведем один из знаменитых парадоксов Зенона Элейского (5 в. до н.э.) “Ахиллес и черепаха”. Парадокс описывает противоречивость некоторых моделей непрерывного движения и сам является моделью вроде бы вполне логичного и все же ошибочного рассуждения. Сформулировать его можно следующим образом.

А С₁ С₂ С₃ В

Пусть в пункте А находится бегун (Ахиллес), а в пункте В на расстоянии 100 м от А - черепаха. В один и тот же момент Ахиллес отправляется бегом из А в направлении к В, стремясь догнать черепаху, а черепаха устремляется из В прочь от А со скоростью, скажем, в сто раз меньше скорости бегуна. Опыт свидетельствует, что в подобной ситуации Ахиллес довольно быстро догонит черепаху. С другой стороны, следующие рассуждения показывают, как будто, что этого никогда не произойдет. В самом деле, к моменту, когда Ахиллес достигнет середины С₁ маршрута АВ, черепаха пусть на небольшое расстояние, но все же удалится от В. Далее, Ахиллес добежит до середины С₂ отрезка С₁В, затем до середины С₃ отрезка С₂В и т.д Все это время черепаха будет удаляться от В. Чтобы ее догнать, Ахиллесу необходимо побывать в каждом из бесконечной последовательности пунктов С₁, С₂, С₃, ..., С_n, ... Однако представляется верным, что невозможно за конечное время побывать в бесконечном количестве разных пунктов. Следовательно, Ахиллес никогда достигнет пункта В и не догонит черепаху.

Кроме идеи непрерывности, современная картина мира во многом опирается на принцип детерминированности, то есть на существование причинно-следственных связей между различными явлениями. Математическим объектом, отражающим эту связь, является понятие функции (здесь требуется оговорка, поскольку сам термин "функция" может пониматься в различных смыслах, но его первоначальная трактовка во многом связана с желанием найти математическое описание причинно-следственных связей).

ПРИМЕР 3

В простейшем случае математический объект “функция” определяется следующим образом. Пусть каждому числу х из заданного множества Е поставлено в соответствие число y, обозначаемое y=f(x). Тогда говорят, что на множестве Е задана функция y=f(x), х  Е. При этом употребляют следующие термины: х - независимая переменная, у - зависимая переменная или функция, f - способ, по которому каждому х ставится в соответствии у, Е - область определения функции.

Понятие функции оказались столь удачным, что его впоследствие стали обощать, уточнять, применять в ситуациях, в которых причинно-следственная связь просматривается не столь явно, либо объектами-переменными выступают нечисловые объекты. При моделировании таких ситуаций стали применять специальные термины: отображение, преобразование, оператор, функционал.

Среди многообразия видов человеческой деятельности встречается такой, который требует выполнения строго определенных правил, например, сложение многозначных чисел “в столбик” или изготовление какого-либо изделия по заданной технологии.

Ясно, что при этом соблюдается принцип детерминированности: конечный результат однозначно определяется начальными данными. Это значит, что результат можно считать функцией начальных данных.

Эта функция обладает важной особенностью: ее значение может быть получено только исходя из начальных данных путем применения формально соблюдаемых предписаний. Эти предписания называются в математике алгоритмом, а функция, значение которой можно вычислить с помощью алгоритма, называется вычислимой функцией.

ПРИМЕР 4

Предположим, мы бросаем симметричную монету. Обозначим выпадение “орла” через 1, а “решки” - через 0. Предположим, что вероятность выпадения “орла” - р₀, а “решки” - р₁. Понятно, что р₀+р₁=1. Разумеется, здесь нет никакой детерминированности, но функцию, моделирующую этот процесс, тем не менее, определить можно.

Для этого надо сопоставить каждому броску (событию) одно из возможных значений 0 или 1, т.е. задать функцию  из пространства событий в множество значений {0,1}. Эту функцию будем называть случайной величиной (в случае бесконечного  на  должно быть наложено дополнительное условие измеримости). Изучением свойств случайных величин и возможности их применения при моделировании различных систем занимаются такие разделы современной математики, как теория вероятности и математическая статистика.

Понятия числа и функции во многом являются теми “кирпичиками”, на основе которых строятся многие математические модели. Продемонстрируем лишь некоторые подходы к их построению

ПРИМЕР 5

Согласно геологическим данным, поверхность Земли хранит следы многих оледенений. В течение этих периодов огромные пространства Северного полушария круглый год были покрыты льдами. За последний миллион лет оледенения наступали примерно каждые 100 тысяч лет, причем их продолжительность значительно превышала длительность (10 - 12.5 тысяч лет) межледникового периода. Межледниковый период, в который мы живем, наступил около 10 тыс. лет назад. Есть основания предполагать, что в ближайшие 100 - 250 лет может произойти смена межледникового периода ледниковым. Не очень утешительная модель исторического развития.

При построении модели этого объекта (явления) мы, естественно, исходим из принципов детерминированности и непрерывности. Это значит, что оледенение обусловлено некоторыми причинами (принцип детерминированности) и есть основание предполагать, что будущее оледенение будет происходить так же, как и предыдущие (принцип непрерывности). Это значит, что соответствующую математическую модель целесообразно искать в виде функции. Чтобы ее найти, необходимо определиться с ее аргументами - параметрами, характеризующими моделируемый объект.

Существовало много теорий, объясняющих ритм ледниковых периодов Земли: изменение интенсивности солнечного излучения, влияние космической пыли, деятельность вулканов и пр. Высказывались также предположения о возможности влияния изменения геометрии земной орбиты на климат Земли. Однако и в этом случае выделить необходимые параметры оказалось совсем не просто.

Это удалось сделать в 30-х годах ХХ века югославскому ученому М.Миланковичу, который выделил три основных параметра земной орбиты, которые влияют на ее климат, и построил строгую модель, объясняющую колебания климата Земли. Согласно его теории на климат влияют:

а) эксцентриситет орбиты Земли, то есть параметр, характеризующий форму эллиптической орбиты;

б) наклон плоскости орбиты Земли - эклиптики;

в) процессия - колебания земной оси вокруг полюса эклиптики.

Все эти параметры в целом влияют на изменение количества солнечного света в верхних слоях атмосферы, а следовательно, и на изменение климата.

Огромное число явлений реального мира не удовлетворяет принципу детерминированности, тем не менее для их описания могут быть построены свои модели – вероятностные.

ПРИМЕР 7

Предположим, у Вас есть некоторая сумма денег и Вы хотите ее увеличить. Желание не чрезмерное и существует много способов его реализации. Вы же решили, что лучший из них - это биржевая или банковская игра “на равных”. Посмотрим, какие у Вас есть шансы на успех.

Будем представлять процесс Вашей игры как случайное движение точки по прямой. Движение вправо - есть Ваш выигрыш, скажем, на один рубль, движение влево - проигрыш на один рубль.

._____.______._____._____.______.__

0 1 2 3  ... 10

Предположим, Вы начинаете с минимальной суммы в один рубль (х=1) и на каждом ходе либо выигрываете, либо проигрываете один рубль. Вероятность выигрыша равна p, вероятность проигрыша, соответственно, 1-p.

Пусть P₁ - вероятность конечного проигрыша, то есть попадания в точку х=0 из точки х=1 каким-то путем;

Р₂ - вероятность попадания в точку х=0 из точки х=2 каким-либо путем.

Очевидно, что в точку х=0 можно попасть либо непосредственно из точки х=1 (с вероятностью 1-р), либо из точки х=1 в точку х=2 (вероятность р) и затем из х=2 в точку х=0 (вероятность Р₂). Тогда P₁ = 1-p+p*P₂.

С другой стороны, чтобы попасть из точки х=2 в точку х=0, надо сначала каким-то образом попасть в току х=1, а из нее - в точку х=0. Это значит, что P₂ = (P₁)².

Таким образом, мы приходим к квадратному уравнению: P₁ = 1 - p + p * (P₁)².

Это уравнение имеет решения P₁ = 1 и P₁ = (1-p)/p.

Пусть Вы играете с банком "на равных", то есть p=1/2. Тогда вероятность конечного проигрыша P₁, очевидно, равна 1. Иными словами, даже играя с банком или на бирже “на равных”, Вам практически всегда гарантирован проигрыш. (Согласитесь, что в данном случае планирование своего поведения на базе математической модели все же безопаснее, чем опытная проверка ее адекватности реальной биржевой деятельности.)

Итак, мы видим, что построение математических моделей опирается на ряд мировоззренческих принципов – детерминированности, непрерывности и др. В этих условиях большое число моделей могут быть описаны на языке чисел и функций. Выход за рамки этих принципов (например, отказ от принципа детерминированности) ведет к необходимости введения новых понятий и усложнению математического языка.

ЗНАТЬ

Язык математики предназначен для построения информационных моделей объектов особого рода - математических объектов.

Математические объекты отражают свойства, в той или иной степени присущие объектам реального мира. К таким свойствам относятся: количество, порядок, непрерывность, детерминированность, случайность и др.

В отличие от естественного языка язык математики существенно более формализован как в плане обозначений и их взаимосвязи (синтаксис), так и в плане соотнесенного с ними смысла (семантика).

Математическое описание мира во многом основано на выявлении причинно-следственных связей между “количествами”, поэтому такие математические объекты, как “число” и “функция”, являются основой для построения многих математических моделей.

С точки зрения математики, такое важное для информатики понятие, как алгоритм, также выводится из определения функциональной зависимости результата некоторого вычислительного процесса от исходных данных и формального выполнения заданных предписаний по их преобразованию.

При построении моделей в современных научных теориях (особенно в квантовой физике) используется практически весь “арсенал” понятий современной математики (математических объектов).

УМЕТЬ

ЗАДАНИЕ 1

В чем, с точки зрения формального исполнителя компьютера, заключается преимущество использования двоичной системы счисления для записи чисел и выполнения операций над ними перед более привычной для человека десятичной системой счисления?

ЗАДАНИЕ 2

Есть ли отличия при построении информационных моделей числа в одном и другом случае? Если да, то сформулируйте их и продемонстрируйте на примерах.

ОТВЕТ. Если исходить из общих принципов, то никаких отличий нет. Исторически могло сложится так, что человечество предпочло бы использовать двоичную систему счисления, а если бы более простыми и дешевыми были устройства, различающие десять разных состояний (а не два, как сейчас), то компьютеры работали бы в десятичной системе счисления.

ЗАДАНИЕ 3

Это задание демонстрирует связь естественного языка и языка математики.

Даны сложные числительные, встречающиеся в рукописях и былинах ХII - XVII веков:

полтретьяста - 250;

полшестадесят - 55;

полпята - 4,5.

а). Какие количества передавались числительными “полшестаста” и “полтретьядесять”.

б). Есть ли ситуации, когда мы используем данную логику обозначения количества, говоря на современном русском языке.

в) Есть ли в современном русском языке слова, восходящие к сложным числительным этого типа.

ЗАДАНИЕ 4

Вспомним как был открыт закон всемирного тяготения. Легенда гласит, что Исаак Ньютон сидел под яблоней, когда на него упало яблоко, подсказавшее ему правильное решение.

Как известно, закон всемирного тяготения говорит о том, что сила притяжения двух тел прямо пропорциональна их массам и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:

F = *M*m/r².

а) является ли данная формула математической моделью такого физического явления, как тяготение;

б) что нужно сделать, чтобы она стала адекватной моделью притяжения Земли и висящего на дереве яблока;

ЗАДАНИЕ 5

Русский критик прошлого века Д.И.Писарев сделал предположение, что движение идей, начавшееся в XVIII веке (имеется в виду эпоха Просвещения), совпали с распространением в Европе кофе и чая.

Есть ли между этими событиями, как утверждал Писарев, причинно-следственная связь? Ответ обоснуйте.

ЗАДАНИЕ 6

В ряде научных исследований последних десятилетий возникла потребность наряду со случайными величинами рассматривать и случайные процессы, то есть процессы, для которых определена вероятность того или иного их течения. Примерами случайных процессов являются, например, изменение координат частицы, совершающей броуновское движение, и колебание рыночных цен на товары.

Приведите примеры известных вам случайных процессов.

Как вы думаете, можно ли построить их математические модели, используя только те математические объекты, которые вы изучили в рамках школьного курса математики?

ВОПРОС-ПРОБЛЕМА

Можно ли построить модель объекта, поведение которого - случайный процесс? Может ли модель поведения такого объекта быть алгоритмом?

ИНТЕРЕСНЫЙ ФАКТ

Имя Исаака Ньютона, “разумом превосходящего род человеческий”, - как гласит латинская надпись на его статуе в Тринити-колледже (Кембридж), где он был студентом и профессором, - известно, прежде всего, как одного из создателей современной физики и математики. Только в 1957 году в журнале “Modern Language Review” была напечатана его работа “Об универсальном языке”, открывающая еще одну грань его гения.

Идея создания всеобщего и универсального языка была характерна для ХVII века, поскольку латынь, как язык научного общения, стала постепенно сходить со сцены.

В построении универсального языка можно было выделить две основные тенденции. Первая шла от Ф.Бекона, утверждавшего, что язык надо строить из природы самих вещей, поскольку она едина для всех народов. Вторая, принадлежавшая Р.Декарту, идет не от фактов естественных языков, а от логики и желания установить “порядок между всеми мыслями,... подобно тому, как имеется порядок в числах”.

Создание универсального языка частично сливалось с задачей создания универсального алфавита, пригодного для отражения самых разных научных понятий. На роль такого алфавита претендовала математическая символика. В этом отношении примечательно высказывание Г.Галилея о философии, заключенной в величайшей книге Вселенной, которую “нельзя понять, не научившись сперва понимать язык и различать знаки, которыми она написана. Написана же она языком математическим и знаки ее суть треугольники, круги и другие математические фигуры”.

Математическая символика вообще считалась эталоном ясности, и в первой истории Королевского общества (английской академии наук) подчеркивалось следующее требование: члены общества должны выражаться “ясно, как в математике”.

Названная выше работа 18-летнего Ньютона во многом перекликается другими английскими работами на эту тему. И хотя в ней нет гениальных прозрений, свойственных многим другим его работам, интерес Ньютона к проблеме построения универсального языка показателен в плане общего устремления европейской мысли XVII века.

РАСШИРЬ СВОЙ КРУГОЗОР

Каждая серьезная научная дисциплина имеет свою свехзадачу. Математика не является исключением. Начиная с нового времени сверхзадачей математики было объединение различных ветвей математики в единое целое и построение единого математического языка.

Первым шагом на этом пути было создание аналитической геометрии, объединившей алгебру и геометрию - две дисциплины, принципиально разделяемые со времен античности.

Несколько позже Г.В.Лейбниц (как и многие другие) предпринял грандиозную попытку создания универсального математического языка (mathesis universalis).

Наиболее полное и последовательное воплощение идеи единства было осуществлено на основе теории множеств, созданной немецким математиком Г.Кантором в конце ХIХ века.

Кантор подошел к своей теории более как философ, чем как математик. Это хорошо видно из его знаменитого определения множества: “Под многообразием или множеством я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона”.

Увидев во множествах объект математического рассмотрения, Кантор развил теорию чрезвычайной силы и общности, что позволило соединить в единое целое понятия числа и геометрического объекта.

Последователи Кантора пошли гораздо дальше и попытались подвести под основание всей математики теоретико-множественный фундамент, рассматривая ее как совокупность теоретико-множественных моделей. Наиболее полно эта точка зрения представлена в многотомном (но так и не оконченном) трактате Н.Бурбаки “Элементы математики”.

Однако на сегодняшний день можно констатировать, что эта попытка оказалась безуспешной. Математика - это живая, развивающаяся дисциплина, которую, в принципе, невозможно ограничить никакими рамками, никакими моделями, в том числе и теоретико-множественными.