Интегрирование методом замены переменной

Лекционный материал по теме «Интегрирование методом замены переменной»

Одним из наиболее эффективных приемов является метод замены переменной ( метод подстановки) интегрирования. Суть этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. В основном, для каждого конкретного интеграла замена переменной подбирается индивидуально.

Пусть f(t)- непрерывная функция и требуется найти, причем непосредственно трудно подобрать такую функцию F(t), чтобы =f(t) или . Пусть, дифференцируя обе части равенства имеем: . Подставим найденные значения в данный интеграл и получим :

_{Вычислить интеграл}

_{- этот интеграл обозначим ( *).}

_{Используя вычисленный интеграл (*), решим пример1:}

_{, то есть можно записать}

_{- эту формулу обозначим ( 𝘷). Следующий пример решаем}

_{самостоятельно:}

_;

_{3) .}

_{4) .}

_{Используя 4) пример можно записать , что}

_{- эту формулу обозначим ( 𝘷𝘷). Следующий пример решаем самостоятельно:}

_{6) . Используя 6) пример можно записать , что}

_{- эту формулу обозначим ( 𝘷𝘷𝘷). Вычислить интегралы:}

_{; . Аналогично можно вывести остальные формулы, когда . Общие правила замены переменной дать невозможно, но в большинстве случаев путем замены , если замена выполнена правильно, получается табличный интеграл. Его вычисляют и делают обратную замену. А теперь посмотрим следующие примеры:}