Решение иррациональных неравенств

Примеры:

1) a) √ x 3; б) √ x

x 9. x ≥ 0;

x

Ответ: ( 9; ∞ ). Ответ: [0; 25)

в) √ x - 0,1; г) √ x - 3;

x ≥ 0. x ≥ 0 , - 3

Ответ: [ 0; ∞ ). Ответ: решений нет.

2) a) √ 2x – 1 0; б) √ x – 1

2x – 1 0; √ A ≥ 0.

2x 1; Ответ: решений нет.

x 0,5.

Ответ ( 0,5 ; ∞). г) √ x + 3

в) √ x + 2 7; x + 3 ≥ 0,

x + 2 49; x + 3

x 47. x ≥ - 3,

x

Ответ: ( 47; ∞). Ответ: [ -3; 13 ).

Примечание: данные неравенства можно решать графически , но этот способ нерационален , поэтому его опускаем.

Тренировoчные упражнения.

1) a) √ x 1,5 ; 2) a) √ x – 7 3;

б) √ х –3 б) √ x + 8

в) √ x + 6 0; в) √ 3x + 2 0;

г) √ x + 0,3 0; г) √ 2x + 5 – 3 0;

д) 2√ x – 4 0;

е) - ⅛ √ x ≥ -0,5. e) – 2 √ 0,9 – 8x – 8 ≥ 0.

Ответы. 1) a)( 2,25; ∞), б)[0; 9), в)[0; ∞), г)(-0,3;∞), д)[0;4), e)[0;16].

2) a)(16; ∞), б)[-8; -4], в)(- 2/3; ∞), г)(2; ∞), д)[6/5;3), е)Ǿ.

Решение иррациональных неравенств вида f(x) g(x) и др. 9класс

1) √ f(x) g(x); 2) √ f(x)

g(x) при g(x) решений нет.

f(x) ≥ 0.

g(x) = 0, g(x) 0,

f(x) 0. f(x) ≥ 0,

g(x) 0, f(x)

f(x) g²(x).

Примеры: 1) a) √ x – 1 x – 3 .

I способ решения: x – 3

x – 1 ≥ 0. x ≥ 1. xє[1;3).

x – 3 = 0, x = 3,

x – 1 0. x 1. x=3.

x – 3 0, x 3,

x – 1 (x – 3)². x – 7x + 10

Ответ: [1; 5).

II способ решения (метод интервалов): √ x – 1 – ( x – 3) 0;

f (x) = √ x – 1 – ( x – 3);

D (f): x – 1 ≥ 0, x ≥ 1;

f (x) = 0, √ x – 1 = x – 3 ;

x – 3 ≥ 0, x ≥ 3,

x – 1 = ( x – 3)²; x = 2,

x = 5. x = 5.

+ -

1 5 x

f(1) 0 ! f(3) 0, f(10) 0 при x Є [1; 5).

Ответ: [1; 5).

Замечание. Надо выполнять проверку для невыколотых точек.

III способ решения ( графический ).

y = √ x – 1 y = √ x ; y

y = x – 3 ( прямая )

График функции y = √ x – 1 выше („“)

прямой y = x – 3 на промежутке [1; 5).

Ответ: [1; 5). 0 1 3 5 x

Примечание. В дальнейшем выбираем тот способ решения , который считаем наиболее рациональным.

б) √ x² – 4

при х + 3 ≤ 0 решений нет.

x + 3 0; x - 3; x - 3;

x² – 4 ≥ 0; x² – 4 ≥ 0; x - 2,

x² – 4 0. x 2;

x -2¹/₆.

Ответ: (-2¹/₆ ; - 2] U [2; +∞).

в) x – 3√ x 0; x 3√ x ; √ x

при x ≤ 0 решений нет.

x 0; x

x

-x² + 9x - +

x ( x – 9) 0; („+“) 0 9 x

Ответ: ( 9; +∞ ).

2) √ x – 3 ⁴√ x + 2 ≥ 0.

Решим неравенство с помощью введения новой переменной,

⁴√ x = t , t ≥ 0.

Имеем: t² – 3t + 2 ≥ 0;

+ - +

0 1 2 t

0 ≤ t ≤ 1 или t ≥ 2;

0 ≤ ⁴√ x ≤ 1 ⁴√ x ≥ 2;

0 ≤ x ≤ 1 x ≥ 16.

Ответ: [0; 1] U [16; +∞).

Тренировочные упражнения.

1) a) √ x + 14 x + 2; д) x + 3√ x

б) √ x² – 9 e) x – 5√ x ≤ 0;

в) √ x² + x – 12 ж) x + 4√ x ≥ 0;

г) x – 2√ x ≥ 0; з) ^{√ x + 1}/ _{√ x – 1} ≤ 2.

2) а) ⁴√ x - 5⁸√ x + 6 ≥ 0; в) √ x (√ x – 3)(√ x – 4) 0;

б) √ x (√ x – 2)(√ x – 3) г) ( x – 3) √ x² + 4 ≤ ( x + 3)( x – 3).

Ответы: 1) a) [-14; 2), б) ( -∞;-3], в) [3; 12), г) 0 и [4; + ∞); д) решений нет; e) [0; 25]; ж) 0; з) (-∞ ; -1] U [1²/₃; +∞). 2) a) [0;256] U [6561; + ∞); б) (4; 9); в) (0; 9) U (16; + ∞); г) (-∞; -5/6] U [3; + ∞ ).

Указания. 1) з)Перейти к системе ^{x + 1}/ _{x – 1} ≥ 0;

^{x + 1}/ _{x – 1} ≤ 4.

2) a) Ввести новую переменную, t = ⁸√ x; б),в)Использовать метод интервалов.

Решение: 2) г) ( x – 3) √ x² + 4 ≤ ( x + 3)( x – 3);

( x – 3)( √ x² + 4 – ( x + 3) ) ≤ 0;

если х – 3 = 0, x = 3 ,то неравенство верно;

если х – 3 ≠ 0, х ≠ 3 ,то получим

x – 3 0, √ x² + 4 ≥ x +3 или √ x²+ 4 ≤ x + 3;

x 3,

√ x² + 4 ≥ x + 3; √ x² + 4 ≤ x + 3;

f(x) = √ x² + 4 – (x + 3);

D(f) = R;

f(x) = 0 , x² + 4 = (x + 3)²,

x ≥ - 3; x = - 5/6.

+ - - f(-1) 0;

- 5/6 3 x f (0)

Ответ: ( - ∞; - 5/6] U [ 3; + ∞ ).

Практикум по теме: «Решение иррациональных неравенств» 10 – 11кл.

1) ^{√ x + 1}/ _{√ x – 1} ≤ 2; 9) √ x + 3 - 1 + √ x - 2; 2) √ x² + x - 12 10) x² + 25 ≥ 8 √ 5 - x + 10x;

3) √ x² - 4x + 3 ≥ x - 2; 11) 27√4 - x – 16 ≤ x² -8x;

4) √ 7- 6x - x² 12) ^{x² + x + 2} / _{√ x² + x + 1} ≥ 2;

5) √ x² - 2x + 1 (x² - 6x – 7) 13) ^{√ x³ + 1 + x – 2} / _{x – 1} ≥ x + 1;

6) √ x² - 4x + 8 (x² - 4x +4) ≤ 0; 14)(x - 3)√ x² + 4 ≤ (x + 3)(x - 3);

7) √ x² -6x + 8 ≥ √ x² - 5x + 6; 15) √ 4x – 7

8) √ x + 5 - √ x + 3; √ x + 5 + √ 5 – x 4;

16*) √| x - | x – 1|| - 1 17) √ x² - 3x + 2 ≤ - 2 - x².

Ответы: 1) (-∞;-1] U [1⅔; ∞), 2) [3;12), 3) (-∞;1], 4) [-7;1], 5) (-1; 1) U (1; 7), 6) 2; 7)(- ∞; 2], 8)[-3; ¹/₁₆), 9)(√ ²⁸/₃; ∞), 10) (-∞;1] U 5 , 11) (-∞; -5] и 4; 12)(- ∞; ∞), 13) [-1; 0] U (1; 2], 14) (- ∞;-⁵/₆] U [3; +∞), 15) [1,75; 4), 16*) ( -∞ ; 0] , 17) Ǿ.

Решения некоторых неравенств

2) √ x² + x – 12

I способ II способ (метод интервалов)

При х . √ x² + x – 12 – x

x 0; f(x) = √ x² + x – 12 – x;

x² + x – 12 ≥ 0; D(f): x² + x – 12 ≥ 0;

x² + x – 12

x 0; -4 - 3 x

x² + x – 12 ≥ 0; D(f) = (-∞;-4] U [3; ∞).

x

x² + x – 12 = x²; x = 12.

- 4 0 3 12 x

Ответ: [3; 12). + - +

- 4 3 12 x

f(-4) 0, f(3) Ответ: [3; 12).

3)√ x² - 4x + 3 ≥ x – 2;

x – 2

x² - 4x + 3 ≥ 0; 1 2 3 x x ≤ 1.

x – 2 ≥ 0,

x² - 4x + 3 ≥ 0, x ≥ 3;

x² - 4x + 3 ≥ (x – 2)²; 3 ≥ 4( неверно).

Ответ: (-∞;1].

Дополнительное задание. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству.

5)√ x²- 2x + 1 ( x² - 6x –7) ab если a 0, b