Иррациональные неравенства

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА

При решении иррациональных неравенств необходимо помнить

о следующих правилах:

1.Выражение, стоящее под знаком корня четной степени неотрицательно;

2.Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают

неотрицательные значения, то возводя обе части неравенства в натуральную

четную степень и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство,

равносильное данному на Х ;

3.Если обе части неравенства возвести в натуральную нечетную степень,

то всегда получим неравенство, равносильное исходному.

Рассмотрим некоторые типы неравенств.

1.Неравенство вида

равносильно совокупности (объединению решений) двух систем:

(S 1 )

(S 2 )

Пример 1. Решить неравенство

Решение . Так как правая часть неравенства отрицательна, то система (S 1 )

не имеет решения, а система (S 2 ) равносильна неравенству:

х 2 –7 х +6  0 или ( х – 1)( х – 6)  0.

+ — + х

• 6
• 6
• 6

Ответ :

Пример 2 . Решить неравенство :

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем:



х

х

0

Ответ.

Пример 3 . Решить неравенство

Решение. Учитывая, что правая часть неравенства положительна, данное неравенство равносильно неравенству

+ – + x

-1 4

Ответ .

-

Пример 3 . Решить неравенство

Решение. Это неравенство равносильно совокупности двух систем:





(решения первой системы)

х

-3

(решения второй системы)

х

-3

2

1

Объединяя решения первой и второй систем, приходим к ответу.

Ответ.

равносильно системе

II. Неравенство вида

Пример 5 . Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

х

-3 4

0

-12

х

х

Ответ.

Пример 6 . Решить неравенство

Решение . Это неравенство равносильно системе:

Ответ.

III. Неравенство вида

равносильно системе

Пример 7. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

Ответ.

Аналогично решаются неравенства вида:

и некоторые другие .

Замечание. При решении более сложных иррациональных неравенств также следует

придерживаться равносильности перехода от исходного неравенства к системе

или совокупности систем, а иногда ввести новые обозначения.

Пример 8. Решить неравенство

, что видно из цепочки (читаемой снизу вверх)

Решение.

Тогда данное неравенство равносильно системе:

х

2

8

х

0

Ответ.

Пример 9 . Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

Ответ.

Пример 10 . Решить неравенство

.

Решение. Если приведем левую часть неравенства к общему знаменателю,

то получим неравенство равносильное данному:

Последнее неравенство системы выполняется для любого

Ответ.

3 или, учитывая введенное обозначение, 0 Ответ : Замечание. Необходимое ограничение здесь выполняется для всех х , кроме того, оно же есть следствие неравенства 12 " width="640"

Пример 11 . Решить неравенство

Решение. Обозначим

через

. Тогда

и исходное неравенство примет вид:

y

3

-4

y

откуда у 3 или, учитывая введенное обозначение,

0

Ответ :

Замечание. Необходимое ограничение

здесь выполняется

для всех х , кроме того, оно же есть следствие неравенства

12

Задания для самостоятельного решения.

Решить неравенства:

Спасибо за внимание