Иррациональные уравнения».

Дата проведения:08.12.2021

Группа: 2-2

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Тема урока: «Иррациональные уравнения».

Цель урока: дать понятие «иррациональные уравнения», обучить решению иррациональных уравнений возведением обеих его частей в одну и ту же натуральную степень.

Задачи:

Образовательная:

- дать понятие иррационального уравнения;

- научить решать иррациональные уравнения;

Развивающая: 

- развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления; развивать навыки самостоятельного применения знаний в знакомой и измененной ситуации;

- учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы.

Воспитательная: 

- формирование нравственных качеств, аккуратности, дисциплинированности, чувства собственного достоинства, ответственного отношения к достижению цели;

- формирование навыков коллективного труда.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Ход урока

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (определение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x² - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x² = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня  -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x₁ = -2   - истинно:
При x₂ = -2 - истинно.
Отсюда  следует, что исходное иррациональное уравнение   имеет два  корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x - 9 0;

x 9;

б) 1 - x 0;

-x -1 ;

x 1.

ОДЗ данного уранения: x .

Ответ: корней нет.

5.закрепление

Решите уравнения (14 —25): 1. √ x=7 − x. О т в е т: 15 − √29 /2 .

2. √ x −1=3 − x. О т в е т: 2.

3. √ x2− x=2 x −3. О т в е т: 11+ √13 6 .

4. 2 √ (x −2)(4 − x)= x −2. О т в е т: 2;

5 . 18. √ 3x+1+ √ x=11. О т в е т: 16.

6. √ 2x2−2x=3 − √ x2− x −1. У к аз ан и е: сделайте замену x2− x =t. О т в е т: −1; 2.

7. √ 9− x − √ 4 − x=2. О т в е т: 6316 .

8. x − √ x+2=4. О т в е т: 7.

9. √ 3x −5− √ 4 − x=1. О т в е т: 3.

10. √ x2+20+ x2=22. О т в е т: −4; 4. 24

11. √ 2x2+8 x+7 − x=2. О т в е т: −1.

12. √ 2x − 4 − √ x+5=1. О т в е т: 20.

Подведение итогов.

uma.kasymova@mail.ru

Указать дату, Ф.И.О и группу

Дата проведения:9.12.2021

Группа: 2-2

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Тема: Логарифмические уравнения

Цели урока:

- обеспечить закрепление новых понятий логарифмическое уравнение, методы решения логарифмических уравнений;

- развивать умение анализировать, сопоставлять, делать выводы, синтезировать полученные знания и умения;

- воспитывать умение работать в парах; навык самооценки и взаимооценки.

\Ход урока:

а) log28

б) log ₃27

в) log ₂32.

Что использовали для выполнения данного задания? 

2. Найдите х:

а) log₃  x = 4  (х=81)

б) ) log₃ (7х-9)=log₃x (х= 1,5)

Как иначе сформулировать 3 задание? (решите уравнение)

А как вы думаете, какие это уравнения? (логарифмические)

Запишем тему урока: «Логарифмические уравнения»

3.Объяснение нового материала

Записать на доске, поясняя

log аf(x) = log ag(x), где а-положит. число, отличное от 1, и уравнения,  сводящиеся к этому виду.

Пример: log₃ (7x – 9) = log₃x

7х – 9 = х

6х = 9

х = 1,5

Применение формул потенцирования расширяет область определения уравнения. Поэтому необходима проверка корней. Проверим найденные корни по условиям 7х-90

   Методы решения логарифмических уравнений

1. По определению логарифма.

Так решаются простейшие уравнения вида  .

Рассмотрим № 514(а): Решить уравнение 

Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма)

Решение.  , Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

Ответ: 4.

В этом задании 2х – 4 0, так как  0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать. Условие 2х – 4 0 в этом задании выписывать не надо.

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Рассмотрим  №519(г): log₅(x²+8)-log₅(x+1)=3log₅ 2

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.

Решение: ОДЗ:

X²+80 лишнее неравенство

log₅(x²+8) =log₅ 2³+ log₅(x+1)

log₅(x²+8)= log₅ (8 x+8)

Потенцируем исходное уравнение 

x²+8= 8 x+8

получим уравнение x²+8= 8x+8

Решаем его: x²-8x=0

х=0, х=8

Ответ: 0; 8

В общем виде переходом к равносильной системе:

Уравнение 

Закрепление

Каким методом будем находить корень уравнения? (по определению)

А) log_0,1(x²+4x-20)=0                             б) log_1/7(x²+x-5)=- 1                

          x²+4x-20=0,1⁰                                                     x²+x-5=1/7^{- 1}

           x²+4x-20=1                                   x²+x-5=7

x²+4x-21=0                                                 x²+x-12=0

x₁+x₂= -4                                                     x₁+x₂= -1

x₁*x₂=-21                                                    x₁*x₂=-12

x₁=-7, x₂= 3                                                 x₁=-4, x₂= 3

№ 17.6 (а, б)

Каким методом будем решать? (потенцирования)

Решаем в парах

А) 3х-6=2х-3                                    б)14+4х=2х+2

     3х-2х=-3+6                                     4х-2х=2-14

         х=3                                               2х= - 12, х= - 6. корней нет

Самостоятельная работа  

• log ₃ (2х - 1) = log ₃ 27

• log ₃ (4х+5)+log ₃ (х +2) = log ₃ (2х +3)

• log ₂ х = - log ₂ (6х - 1)

• 4 + log ₃(3-х) = log ₃ (135-27х)

Итог урока:

1. Дайте определение логарифмического уравнения.

2. Какими методами можно решать логарифмические уравнения?

Домашнее задание.

• log ₃ x= 4

• log ₂ x= -6

• log_x 64 = 6

• - log _x64 = 3

• 2 log _x8 + 3 = 0

• uma.kasymova@mail.ru

Указать дату, Ф.И.О и группу

Дата проведения:9.12.2021г

Предмет: математика

Группа: 2-2

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Тема урока: рациональные неравенства

Цели урока:

образовательная: обобщить и систематизировать знания по теме «Дробно-рациональные неравенства»;

развивающая: развить внимание, логическое мышление, речь, познавательный интерес к предмету;

воспитательная: формирование коммуникативных умений, культуры общения, сотрудничества.

Ход урок

Рациональное неравенство — неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями, то есть функциями, представимыми в виде отношения многочленов f(x) и g(x).

Стандартный вид рационального неравенства

f(x)g(x)0

Алгоритм решения рациональных неравенств

1. Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю, чтобы получить рациональное неравенство в стандартном виде: f(x)g(x)0;

2. Раскладываем числитель (f(x)) и знаменатель (g(x)) на множители. Для этого решаем уравнения f(x)=0 и g(x)=0;

3. Находим ОДЗ (g(x)≠0);

4. Отмечаем на числовой оси нули числителя и нули знаменателя;

5. Определяем знаки для каждого интервала. Для этого берем произвольный 𝑥 из одного из интервалов и определяем знак в интервале к которому относится корень, чередуем знаки, обращая внимание на корни, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет;

6. Выбираем интервалы, на которых значения функции имеют знак, соответствующий знаку неравенства;

7. Записываем ответ, обращая внимания на знак неравенства и на ОДЗ. Если неравенство строгое — все точки выколотые; если неравенство нестрогое — нули знаменателя — выколотые точки (по ОДЗ), а нули числителя — не выколотые точки.

Рациональные неравенства

Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.

Что такое рациональное выражение? Напомню:

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Например, такое рациональное неравенство: x+1/x−2≤x+2x

Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:

Шаг 1. Перенос. Общий знаменатель. Разложение на множители

Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители.

Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени.

Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.

Пример №1

x/x−2≤1

xx−2≤1 ⇔ xx−2−1≤0 ⇔ x−x+2x−2≤0 ⇔ 2x−2≤0

Почему корень выколотый? Потому что он из знаменателя! x

4.Закрепление

Пример 2

x+1/x−2≤x+2x

Решить совокупность неравенств

Решение: 

Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность, равносильную заданной:

 С помощью числовой прямой находим, что решением заданной совокупности является промежуток   (рис. 1.115) (объединения заштрихованных на рис. 1.115. промежутков).

Дробно-линейные неравенства — это неравенства вида 

Решить неравенство 

Итог урока. uma.kasymova@mail.ru

Указать дату, Ф.И.О и группу