Испытания Бернулли

СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9 класс

Испытания Бернулли

Учитель математики АНО СОШ «Феникс»

Лбова Екатерина Викторовна

1

К концу урока надо:

• знать, что такое отдельное испытание Бернулли, что такое успех и неудача и как связаны их вероятности;
• понимать, что такое серия независимых одинаковых испытаний Бернулли. Здесь независимость понимается в обычном смысле —как отсутствие влияний одного испытания на другое;
• уметь вычислять вероятность элементарного события вида НУНУ в серии из n испытаний Бернулли;
• уметь вычислять число элементарных событий, благоприятствующих ровно к успехам в серии испытаний Бернулли;
• знать формулу вероятности ровно к успехов и уметь ею пользоваться.

СОБЫТИЯ

• Случайное событие - событие называется случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах произойдет.
• Элементарное событие –
• Вероятность –
• Частота случайного события –
• Маловероятное случайное событие –
• Равновероятные события –
• Достоверное событие –
• Невозможное событие –
• Наибольшее и наименьшее значение вероятности –
• Несовместные события –
• Независимые события -

Испытание Бернулли

• Определение. Испытанием Бернулли называют случайный опыт, который может закончиться одним из двух элементарных событий.

УСПЕХ И НЕУДАЧА

• Одно из двух элементарных событий в таких опытах условно называют успехом , а другой — неудачей .
• Вероятность того, что опыт закончится успехом, обычно обозначают буквой р . Вероятность неудачи обозначают q . Числа р и q положительные, при этом p + q = 1.

Серия или последовательность испытаний Бернулли

• Если проводится несколько одинаковых и независимых испытаний Бернулли подряд, то говорят, что проведена серия или последовательность испытаний Бернулли. Серия испытаний Бернулли также является случайным экспериментом.

Число успехов

• Подбрасывание монеты

Количество

бросков

Возможные

результаты

1

2

О или Р

Испытание Бернулли

Количество

элементарных

событий

ОО или РР

ОР или РО

3

У или Н

2

УУ или НН

УН или НУ

ООО или РРР

ООР или РРО

ОРО или РОР

РОО или ОРР

4

УУУ или ННН

УУН или ННУ

УНУ или НУН

НУУ или УНН

2 1

2 2

8

2 3

Вывод: если n – количество испытаний, то 2 n - количество элементарных событий.

Вероятность успеха

• При одном подбрасывании монеты вероятность выпадения орла ( О или Р - У или Н)
• При двух подбрасываниях монеты вероятность события -выпадение орла при каждом броске (ОО, то есть УУ)

Вероятности событий

• При проведении серии из n независимых испытаний Бернулли одно элементарное событие с k успехами имеет вероятность
• Число таких элементарных событий с k успехами равно
• событие «наступило ровно к успехов» имеет вероятность

Пример 1.

• При стрельбе в мишень с вероятностью попадания производится 7 выстрелов. Какова вероятность попасть в мишень ровно 3 раза?
• Решение.

n=7, k=3, p= , q=1- =

Выполним расчеты по формуле вероятностей

, где

Решение.

Пример 2.

• Иван Иванович купил билет «Спортлото 5 из 36». Он должен зачеркнуть ровно 5 номеров из 36. Сколько существует способов это сделать?
• Найдите вероятность угадать 5 номеров из 36.

Число успехов

• 376992 способа зачеркнуть ровно 5 номеров из 36
• Значит, вероятность угадать ровно 5 номеров из 36 равна

Пример 3.

• Проводится серия из 3 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 1 успех, а затем — 2 неудачи.

Решение.

• Проводится серия из 3 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 1 успех, а затем — 2 неудачи.
• Решение.

n= 3 , k= 1 , p= , q=1- =

Выполним расчеты по формуле вероятностей

, где

Самостоятельная работа №2

• Вариант 1
• 1. Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р = .Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 2 успеха, а затем — 4 неудачи.
• 2. Сколько элементарных событий с 4 успехами возможно в серии из 10 испытаний Бернулли?
• 3. Найдите вероятность выбросить ровно 6 орлов, 10 раз бросив монету.

• Вариант 2
• 1. Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р = . Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 4 успеха, а затем — 2 неудачи.
• 2. Сколько элементарных событий с 6 успехами возможно в серии из 10 испытаний Бернулли?
• 3. Найдите вероятность выбросить ровно 4 орла, 10 раз бросив монету.

Вероятность событий

где

n - количество испытаний

k - количество успехов

p - вероятность успеха

q - вероятность неудачи

Фотоматериал использован из свободного доступа сети Интернет для наглядного представления теоретических фактов.