Исследование функциональных уравнений и неравенств

f ( h ( x )) " width="640"

Уравнения вида

f ( g ( x ))= f ( h ( x ))

f ( f …( f (х))…)= х

f ( x )= f ˉ¹(х)

Неравенства вида

f ( g ( x )) f ( h ( x ))

Проанализировать решения конкретных

функциональных уравнений, сравнить с

обычным способом их решения. Показать

применение выбранного способа к решению

олимпиадных задач.

1 ) Собрать и изучить литературу по данной теме.

2) Обобщить и систематизировать собранный материал.

3) Углубить знания по теме и расширить свой кругозор.

1) Метод систематизации и обобщения

2) Сравнительный анализ.

1) «Уравнения вида f ( g ( x ))= f ( h ( x )) и нестандартные методы решения» И. И. Чугаев, С. И. Мещеряков, М. Ш. №3 – 95.

2) «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» С. Н. Олехник, М. К. Потапов;

3) «Факультативный курс по математике. Решение задач 11 класс» И. Ф. Шарыгин,

В. И. Голубев;

4) «Всероссийские олимпиады по математике»

и другие источники.

0 -х +3 0 " width="640"

Например:

log 2 (х² - 2х +1)= log 2 (-х +3)

Сводится к решению уравнения:

х² - 2х + 1=-х +3

В О.Д.З. данного уравнения.

О.Д.З.

х² - 2х + 1 0

-х +3 0

1) Решение уравнения g ( x )= h ( x ), содержащееся в области допустимых значений уравнения f ( g ( x ))= f ( h ( x )), является решением уравнения f ( g ( x ))= f ( h ( x )).

2) Если f ( x ) – строго монотонная функция, то уравнения f ( g ( x ))= f ( h ( x )) и g ( x )= h ( x ) равносильны на области допустимых значений уравнения f ( g ( x ))= f ( h ( x )).

3) Если f ( x ), g ( x ) и h ( x ) – многочлены, то полином f ( g ( x ))- f ( h ( x )) делится на многочлен g ( x )- h ( x ).

0 g ( x )=(х²+х-2) h ( x )= х Если f ( x ) строго возрастающая функция, то f ( g ( x ))= f ( h ( x )) равносильно g ( x )= h ( x ), т. е. х²+х-2=х х²-2=0 х²=2 х=±√2 Ответ: ±√2 " width="640"

(х²+х-2)³+х²-2=х³

Это уравнение имеет вид f ( g ( x ))= f ( h ( x )).

Перепишем его в виде:

(х²+х-2)³+(х²+х-2)= х³+х

f ( x )= х³+х f ´( x )=3х²+10

g ( x )=(х²+х-2)

h ( x )= х

Если f ( x ) строго возрастающая функция, то f ( g ( x ))= f ( h ( x )) равносильно

g ( x )= h ( x ), т. е.

х²+х-2=х

х²-2=0

х²=2

х=±√2

Ответ: ±√2

Другое решение:

(х²+х-2)³+х²-2=х³

(х²+х-2)³-х³=2-х²

(х²+х-2-х)·((х²+х-2)²+х(х²+х-2)+ х²)=2-х²

(х²-2)·(х +х²+4+2х³-4х²-4х+х³+х²-2х+х²)+(х²-2)=0

(х²-2)·(х +3х³-х²-6х+5)=0

х²-2=0 х +3х³-х²-6х+5=0

х²=2 решений нет.

х=±√2

Ответ: ±√2

ПРИМЕР:

sin х -3sin² х =cos³2x-3cos2x

f ( x )=х³-3х Е( g ( x ))=[0;1]

g(x)=sin² х E(h(x))=[-1;1]

h(x)= cos2x

т.к. f ´( x )=3х ² -3=3(х ² -1)

(х-1)·(х+1)

+ - +

- 1º//////////º1

На [-1;1] f ( x ) строго убывает.

Значит на множестве значений функций g ( x ) и h ( x ) функция f ( x ) убывает, отсюда следует, что уравнение f ( g ( x ))= f ( h ( x )) равносильно уравнению

g(x)=h(x), т . е . sin² х = cos2x

(1-cos2 х )/2=cos2 х

1-cos2x=2cos2x

3 cos2x=1

cos2x=⅓

2х=± arccos ⅓+2¶ n , n є Z

х=±½ arccos ⅓+¶ n , n є Z

Ответ: х=±½ arccos ⅓+¶ n , n є Z

Другое решение:

sin х -3sin² х =cos³2x-3cos2x

((1-cos2 х )/2)³-3((1-cos2 х )/2)=cos2x(cos²2x-3)

⅛ (1-3cos2x+3cos²2x-cos³2x)-3/2(1-cos2 х )-cos³2x+3cos2x=0

1-3cos2x+3cos²2x-cos³2x-12+12cos2x-8cos³2x+24cos2x=0

-9cos³2x+3cos²2x+33cos2x-11=0

9cos³2x-3cos²2x-33cos2x+11=0

3cos²2x(3cos2x-1)-11(3cos2x-1)=0

(3cos2x-1)·(3cos²2x-11)=0

cos2x=⅓ 3cos²2x=11

2х=± arccos ⅓+2¶ n , n є Z нет решений.

х=±½ arccos ⅓+¶ n , n є Z

Ответ: х=±½ arccos ⅓+¶ n , n є Z

1) Корни уравнения f (х)= х являются

решением уравнения f ( f ( x ))= x .

2) Если функция f (х)- строго возрастающая, то уравнения f ( f ( x ))= x и f (х)= х эквивалентны.

3) Пусть функция f (х) непрерывна на области определения, которая является промежутком. Если уравнение f (х)= х не имеет корней, то уравнение f ( f ( x ))= x не имеет решений.

Пример:

√ 2+ √2+ √2+х = х

Имеем уравнение вида f ( f ( f ( x )))= х

f ( x )= √2+х , f ( x ) – возрастает на промежутке [0; ∞) и

непрерывна. Значит, данное уравнение равносильно

уравнению:

√ 2+х =х

2+х = х²

х²-х-2=0

D = 1+8=9

х=2

х=-1 (посторонний корень)

Ответ: х=2

Другое решение:

√ 2+ √2+ √2+х = х

2+ √2+ √2+х =х ²

√ 2+ √ 2+х = х ²-2

2+√2+х = х -4х ²+4

√ 2+х= х -4х ²+2

2+х = ( х -4х ²+2)²

2+х = х +16х +4-8х +4х -16х²

2+х = х -8х +20х -16х²+4

х -8х +20х -16х²-х+2=0

р(-1)=1-8+20-16+1+2=24-24=0

х -х -7х +7х +13х ³ -13х ² -3х+2=0

р(2)= 128-64-224+112+104-52-6+2=282-282=0

х +х -5х -3х ³ +7х ² +х-1=0

р(1)=1+1-5-3+7+1-1=1

р(-1)=1-1-5+3+7-1-1=3

нет рациональных корней.

1

-1

1

0

-8

-1

-7

0

20

7

0

13

-16

-13

-1

-3

2

2

0

2

1

1

-1

1

-7

7

-5

-3

13

-13

7

-3

1

2

-1

0

6+(6+...+(6+х³)³...)³= ³√ у-6

Возведение в куб в левой части повторяется n раз. Значит, это уравнение имеет вид f ( f …( f (х))…)=х. Причём f (х)=6+х³

если у=6+х³, то х³=у-6

х= ³ √ у-6

f (х) – возрастающая, то уравнение равносильно уравнению f ( f …( f (х))…)=х следовательно,

эквивалентно уравнению f ( x )= x , т.е.

6+х³=х

х³-х+6=0

Ищем корни среди делителей 6.

Д(6): ±1; ±2; ±3; ±6.

Х=2 8-2+6≠0

Х=-2 -8+2+6=0

Значит:

_ х³-х+6 х+2

х³+2х² х²-2х+3

_ -2х²-х

-2х²-4х

_3х+6

3х+6

0

(х+2)( х²-2х+3)=0

х+2=0 х²-2х+3=0

х=-2 D =4-12=-8

нет решений

Ответ: х=-2

Пример:

х³+1=2· √ 2х-1 О.Д.З. – R

Перепишем уравнение так:

= √ 2х-1

Пусть у= f(x) =

Отсюда: 2у=х³+1

х³=2у-1

х = √ 2у-1 у= √ 2х-1

В правой части уравнения стоит функция, обратная к

функции f ( x ), значит данное уравнение имеет вид

f ( x )= f ˉ¹(х). Т. к. функция f ( x ) возрастает данное

уравнение равносильно уравнению f ( f ( x ))= x , значит,

уравнению f ( x )=х.

х³+1=2х

х³+1-2х=0

х³+1-2х= (х-1)·(х²+х-1)

(х-1)·(х²+х-1)=0

х-1=0 или х²+х-1=0

х=1 D =1+4=5

х 1 = (-1+ √ 5 )/2

х 2 = (-1- √5)/2

Ответ: х=1

х 1 = (-1+ √ 5 )/2

х 2 = (-1- √5)/2

Другое решение:

х³+1=2· √ 2х-1

х +3х +3х ³ +1=8 · (2х-1)

х +3х +3х ³ -16х+9=0

р(1)=1+3+3-16+9=16-16=0

х +х +х +4х +4х +4х ³ +7х ² +7х-9=0

р(1)=1+1+1+4+4+4+7+7-9 ≠0

р(-1)=1-1+1-4+4-4+7-7-9 ≠0

р(-3)=6561-2187+729-972+324-108+63-21-9 ≠0

р(-9)≠0

1

1

1

0

0

1

3

1

0

4

4

0

3

4

0

7

-16

7

9

-9

0

f ( h ( x )) и g ( x ) h ( x ). б) если функция f ( u ) убывает на R , то равносильны неравенства f ( g ( x )) f ( h ( x )) и g ( x ) h ( x ). " width="640"

а) если функция f ( u ) возрастает на R , то равносильны неравенства f ( g ( x )) f ( h ( x )) и g ( x ) h ( x ).

б) если функция f ( u ) убывает на R , то равносильны неравенства f ( g ( x )) f ( h ( x )) и g ( x ) h ( x ).

0 ((х-√ 2 )(х+√ 2 ))/(х-1) 0 -√ 2 1 √ 2 - º'''''‘'''''''''º - º'''‘'''''''''''''' (-√2;1) и (√2;∞) " width="640"

Пример:

√ √ х + 2 +

Пусть u=

Область существования функции у=√ u +е есть R .

х/(х-1)

х/(х-1)-х-2

(х-(х+2)(х-1))/(х-1)

(х-х²+х-2х+2)/(х-1)

(-х²+2)/(х-1)

(х²-2)/(х-1) 0

((х-√ 2 )(х+√ 2 ))/(х-1) 0

-√ 2 1 √ 2

- º'''''‘'''''''''º - º'''‘''''''''''''''

(-√2;1) и (√2;∞)

Собранный и систематизированный материал

актуален, так как функциональные уравнения и

неравенства встречаются на олимпиадах и на

экзаменах. Материал работы может послужить

основой для элективного курса в старших

классах, а также пригодится для занятий на

факультативных курсах и при подготовке к

экзаменам.