Исследовательская работа "Флексагоны"

13

Районная научно-практическая конференция молодых исследователей «Эврика»

Исследовательская работа

«Мир флексагонов»

Автор: Кудрина Дарья Денисовна,

ученица 7 класса

Филиал МАОУ Петелинская СОШ «Криволукская ООШ».

Руководитель: Мачитова Эльвира Мухаметовна,

Учитель математики. 1 категория.

Филиал МАОУ Петелинская СОШ «Криволукская ООШ».

Криволукская,2017

Оглавление.

Цели и задачи исследования……………………………………………3

Введение………………………………………………………………....4

Открытие флексагонов…………………………………………...……..5

Флексагоны. Виды флексагонов……………………………………….6

Складывание тригексафлексагона, гексагексафлексагона. Опыты.....7

Применение флексагонов……………………………………………….8

Заключение………………………………………………………………9

Литература………………………………………………………………10

Приложение

«Мышление начинается с удивления» Аристотель

Актуальность исследования: Слышали ли вы когда-нибудь о флексагонах? Как их можно изготовить, как они связаны с математикой и где применяются в жизни? Флексагоны обладают удивительными свойствами. Я изучила литературу, затем изготовила флексагоны, а потом проводила над ними исследования.

Цели исследования: Изучить литературу о флексагонах, научиться складывать тригексафлексагоны и гексагексафлексагоны, тетрафлексагоны.

Задачи исследования:

1. выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их;

2. познакомиться с историей возникновения флексагонов;

3. изучить схемы для складывания флексагонов

4. научиться и научить других, изготавливать флексагоны;

5. изучить разнообразные свойства флексагонов;

6. выяснить, где применяются флексагоны;

7. провести эксперименты с флексагонами

Исходя из выше сказанного, я определила:

Объект моего исследования – флексагоны

Метод исследования:

1. анализ математической литературы,

2. изучение, исследование и сбор информации,

3. практический эксперимент.

Гипотеза: Флексагоны таят в себе много загадок.

Структура работы: Работа состоит из введения, четырёх глав, списка использованной литературы и приложений

Введение

Я люблю математику. Математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить. Элемент игры, который делает математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.

Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истиной красоты – того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Неудивительно, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Я хочу продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

Я приглашаю вас на короткую экскурсию в загадочный мир флексагонов.

Открытие флексагонов.

В конце 1939 года Артур Стоун, 23 летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенной интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были бы разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексатона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон - 82 способами…(приложение 3)

Тетрафлексагоны были открыты на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок. Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» – устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и в детских игрушках. Также флексагоны натолкнули на идею создания фильма и т.д.

Флексагоны. Виды флексагонов

Флексагоны это многоугольники, сложенные из полос бумаги прямоугольной или же более сложной, изогнутой формы, которые обладают необычным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу.

Флексагон (от англ. to flex, что означает, «складываться, гнуться»), т.е. флексагон гнущийся многоугольник. Он обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

Флексагоны бывают следующих видов:

• Унагексафлексагон.

• Дуогексафлексагон.

• Тригексафлексагон.

• Тетрагексафлексагон.

• Пентагексафлексагон.

• Гексагексафлексагон.

• Гептагексафлексагон.

Гексафлексагон: "гекса" - из-за их шестиугольной формы (От греческого "гекс", что означает шесть.)

Тригексафлексагон: «три» - число поверхностей, «гекса» - число углов.

Гексагексафлексагон: «гекса» - число поверхностей и углов (шесть поверхностей и шесть углов)

Складывание тригексафлексагона, гексагексафлексагона.

1. Складывание тригексафлексагона.

Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников (а). Полоску перегибают по линии ab и переворачивают (б). Перегнув полоску еще раз по линии cd, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (в). Последний треугольник нужно подогнуть вниз и прикрепить к оборотной стороне первого треугольника (г). Как сгибать трифлексагон, показано на рисунке. Развертку трифлексагона нужно перечертить и вырезать из полоски достаточно плотной бумаги шириной около 3-4 см.

(Приложение 1)

1. Складывание гексагексафлексагона.

Гексагексафлексагоны складывают из полоски бумаги, разделенной на 19 равносторонних треугольников (а). Треугольники на одной стороне полоски обозначены цифрами 1,2,3; треугольники на другой стороне - цифрами 4,5,6. Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет) или нарисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру. Как складывать полоску, ясно из рисунка. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов. Проделать все эти операции намного легче, чем описать. (Приложение 2)

опыты

Надо сказать, что тригексафлексагон делается намного проще, чем гексагексафлексагон, в котором имеются не три, а шесть сторон. Перегибая тригексафлексагон можно увидеть как появляются друг за другом три стороны, у гексагексафлексагона можно увидеть, как стороны появляются друг за другом: 1-ая, 2-ая, 3-я, 4-ая, 5-ая, 6-ая. Гексагексафлексагон удивителен еще и тем, что при выворачивании можно заметить странную вещь: стороны показываются не по порядку. Причем стороны с цифрами 1, 2 и 3 показываются намного чаще (практически в 3 раза), чем стороны с цифрами 4, 5 и 6. Можно помногу раз выворачивать флексагон и совсем не увидеть 4, 5, или 6-ю стороны.

Один из друзей изобретателя флексагона Таккерман нашел очень простой способ выявления всех поверхностей любого флексагона. Держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как «путь Таккермана», позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагонов за один цикл из двенадцати перегибаний. Поверхности с цифрами 1, 2 и 3 будут показываться в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4, 5, 6.

:

Применение флексагонов.

Флексагоны не так уж и распространены в современной науке и технике. Но даже такие объекты как флексагоны, причем всех разновидностей нашли свое применение в некоторых художественных областях. Флексагоны выступают в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон.

Одна из разновидностей флексагонов, а именно тетрафлексагон, применяется при сборке игрушек.

Флексагоны настолько замечательны, что их можно использовать в качестве открыток на различные темы: на день рождения, пасхальные открытки.

Флексагоны могут быть основой творчества. Изучив флексагоны , я смогла убедиться, что их можно использовать не только как интересные геометрические головоломки, но и найти им много других применений. Так как я мечтаю стать учителем, в дальнейшем я бы применила флексагоны следующим образом:

Если каждый треугольник гексафлексагона раскрасить в свой цвет, то можно применять его для изучения цветов у детей дошкольного возраста. На каждом треугольнике можно поместить не только цвета, но и геометрические фигуры, рисунки животных, деревьев, цветов и др. На одном тригексафлексагоне разместятся 18 предметов одного вида, а на гексагексафлексагоне – 36. Таким образом, флексагон станет для ребенка не только забавной игрушкой, которую можно выворачивать, но и наглядным обучающим материалом.(приложение 4)

Необычно применение флексагона в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу. Такой полезный флексагон вешается на шею, как кулон, а в нужный момент разворачивается. Есть только опасность, что до нужной подсказки придется очень долго добираться, ведь известно, что 1, 2 и 3 стороны открываются в три раза чаще, чем 4, 5 и 6.

Флексагоны можно подарить друзьям в качестве сувенира или во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки.

Заключение.

Моя работа посвящена изучению свойств гнущихся многогранников, называемых флексагонами, истории их возникновения и применению в обычной жизни. Прочитав специальную литературу, изучив природу флексагонов, изготовив их, можно сделать вывод: в их основе лежит чистая геометрия. Нельзя флексагоны воспринимать как обычное оригами. Это выходит далеко за рамки привычного нам «бумаголомания» и является геометрией. Этим вопросом занимались несколько известных математиков, поэтому флексагоны – это, с одной стороны, занимательная математика, а с другой, доказательство того, что существуют многогранники, обладающие способностью изгибаться и ломаться. Мне было интересно заниматься этой работой, потому что, научившись практически изготавливать флексагоны, через занимательную геометрию я погрузилась в мир геометрии научной. Я познакомилась с трудами известных математиков, изучила свойства треугольника и шестигранника, методику построения равностороннего треугольника, изучили вопрос жесткости многогранников. Своей работой я заинтересовала не только учеников, но и учителей. Людмила Владимировна применяла умение складывать флексагоны на уроках технологии, при изготовлении открыток ко дню 8 марта. Работа предназначена тем, кто любит необычную и занимательную математику.

Литература

1. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: МИРОС. 1995г.

2. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1985г.

3. http//www.jorigami.narod.ru›Contents/n_30/03_Flexagons.htm

4. http//www.models-paper.com›index.php…

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4