Исследовательская работа по теме: "Элементарные функции в школьном курсе математики"

«Элементарные функции в школьном курсе математики»

Шрамкова Ольга

учащаяся 10 класса.

Руководитель: Кулькова Т. А., учитель математики.

Оглавление:

• Оглавление
• 1. Введение.
• 2.Из истории развития функции
• 3. Способы задания функции
• 4. Класс элементарных функций.
• 4.1.Основные элементарные функции.
• 4.2. Построение графиков
• 5. Преобразование исходного графика функции y = f ( x ).
• 6. Заключение
• 7.Список литературы

Введение.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области.

• Как образно заметил великий Галилео Галилей (1564 – 1642 гг.), книга природы написана на математическом языке, и ее буквы – математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте.
• И именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.
• Изучая квадратичную функцию в 9 классе, мы выполняли преобразования графика этой функции. В результате этих преобразований построение графика выполнялось легко и просто. И я задумалась: «А нельзя ли выполнять аналогичные преобразования с графиками других функций, например линейной функции, обратной пропорциональности, степенной функции?».
• Поэтому я выбрала тему своей работы

«Элементарные функции в школьном курсе математики» ,

поставив перед собой цель :

понять и изучить способы образования элементарных функций и преобразования их графиков.

Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом труде французского математика и философа Р. Декарта «Геометрия», и её появление послужило, по словам Ф. Энгельса, поворотным пунктом в математике, благодаря чему в неё вошли движение, диалектика. Без переменных величин И.Ньютон не смог бы выразить законы динамики, описывающие процессы механического движение тел – небесных и вполне земных, а современные ученые не могли бы рассчитывать траектории движения космических кораблей и решать бесконечное множество технических проблем нашей эпохи.

Из истории развития функции.

• С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось. Сейчас оно стало настолько общим, что совпадает с понятием соответствия.
• Таким образом, функцией в общем понимании называется любой закон (правило), по которому каждому объекту из некоторого класса, области определения функции, поставлен в соответствие некоторый объект из другого (или того же) класса – области возможных значений функции.
• Но мы не рассматриваем понятие функции в столь общем понимании, а считаем, что как независимая, так и зависимая переменные – это величины. Таким образом функцией называется зависимость, связывающая с каждым значением одной переменной величины (аргумента) из некоторой области ее изменения определенное значение другой величины (функции). Если аргумент обозначить через х, значение функции - через у, а саму зависимость – функцию – символом f , то связь между значениями функции и аргументом так: y = f ( x ) .

Способы задания функций.

• Существуют три основных способа выражения зависимостей между величинами: табличный, графический и аналитический.
• Табличный способ важен потому, что является основным при обнаружении реальных зависимостей и может оказаться к томуже единственным средством их задания (формулу не всегда удается подобрать, а порой в ней и нет необходимости).К табличному заданию функции часто переходят при выполнении практических расчетов, с ней связанных: например, применение таблиц квадратных корней удобно при проведении расчетов, в которых участвуют такие корни.
• С математической точке зрения, табличное задание непрерывных зависимостей всегда неполно и дает лишь информацию о значениях функции в отдельных точках.

• Графический способ представления зависимостей также является одним из средств их фиксации при изучении реальных явлений. Это позволяет делать различные «самопишущие» приборы, такие, как сейсмограф, электрокардиограф, осциллограф и т.п., изображающие информацию об изменении измеряемых величин в виде графиков. Но если есть график, то значит, определена и соответствующая ему функция. В таких случаях говорят о графическом задании функции.
• Однако графический способ задания функции неудобен для расчетов; к тому же, подобно табличному, он является приближенным и неполным.
• Аналитическое задание функции отличается своей компактностью, легко запоминается и содержит в себе полную информацию о зависимости. Функцию можно задать с помощью формулы, например: y =2 x +5, S = at 2/2, S = vt . Эти формулы можно вывести с помощью геометрических или физических рассуждений. Порой формулы получаются в результате обработки эксперимента, такие формулы называются эмпирическими.

Класс элементарных функции

• К элементарным функциям относятся практически все функции, встречающиеся в школьном учебнике.
• Прежде всего, имеется достаточно представительный набор широко известных и хорошо изученных функций, которые называются основными элементарными функциями.
• Это функции: y = C , называемая константой,
• y = x а - степенная ( при а = 1 получается функция y = x , называемая тождественной ). Графики этих функций прилагаются. (приложение 1-7)
• Имея в распоряжении основные элементарные функции, можно ввести ряд операций, позволяющих комбинировать их между собой как детали для получения более сложных и разнообразных конструкций.
• Допустимые арифметические действия над функциями.
• [+] – сложение,
• [ - ] – вычитание,
• [ * ] – умножение,
• [ : ] – деление.
• Все те функции, которые можно получить из основных элементов с помощью арифметических операций называются элементарными функциями составляют класс элементарных функций.

У=х 2

3

Степенная функция

У=х -1

0,5

Образование класса элементарных функций

• Имея определенный набор базисных функций f 1 , f 2 , f 3 ,... f k и допустимых операций F 1 , F 2 , ... Fs над ними (их разрешается применять любое число раз), мы можем получать другие функции, подобно тому, как из деталей конструктора с помощью определенных правил их соединения можно получить разные модели. Класс всех получаемых таким образом функций обозначается так:
• .

В частности, если принять за базисные все основные элементарные функции и допустить лишь арифметические операции, то получим класс элементарных функций. Беря в качестве базисных часть основных элементарных функций и допуская, возможно, лишь часть указанных операций, получим некоторые подклассы класса элементарных функций, некоторые семейства функций, порождаемые данным базисом и данными операциями. Вот несколько примеров таких семейств функций, где под (а) понимается операция умножения на любую константу:

• - семейство целых положительных степеней у=х, где n € N ;
• - семейство линейных функций у= ах+в;
• - семейство многочленов у= ах n +...+ an -1 x + an , где n € N .

Построение графиков

Чтобы построить график функции

у= х +1, надо к графику функции у=х прибавить график функции у=1. В результате график функции у = х сдвинется по оси Оу на 1 единицу вверх (приложение 7).

Построение графиков графика.

Для построения графика функции у=х 2 достаточно выполнить действие умножение с графиками двух тождественных функций у=х (приложение 8).

2

• Для построения графика функции
• у= 3х 2 надо график функции у= х 2 умножить на 3. В результате график функции у= х 2 растянется в 3 раза вдоль оси ординат, а если у=0,3 х 2 , то произойдет сжатие графика в 0,3 раза вдоль оси Оу. (приложение 8, 9).

2

У=3Х 2

У=Х 2

У=0,3Х 2

• График функции у=3(х -4) 2 можно получить, выполнив следующие действия:
• - сложить графики тождественной функции у=х и константы у=-4, получим график функции у=х-4;
• - перемножить графики функций у=х-4 и у=х-4, получим график функции у= (х -4) 2 ;
• - умножить у= (х -4) 2 на 3, получим график функции у=3(х -4 )2.
• Или просто график функции у=3х 2 сдвинуть по оси Ох на 4 единичных отрезка (Приложение10).

2

У=3(Х-4) 2

Преобразования исходного графика функции y = f ( x ).

• Из вышесказанного можно сделать следующий вывод, что выполняя различные действия с графиками элементарных функций, мы выполняем преобразования этих графиков, а именно: параллельный перенос, симметрию относительно прямой Ох и прямой Оу.

0, или вниз, если a б) у= f ( x + a ) - сдвиг по оси Ох на а единиц влево, если a 0, или вправо, если a " width="640"

Преобразования исходного графика функции y = f ( x ).

• Параллельный перенос.
• а) y = f ( x )+а – сдвиг по оси Оу на а единиц вверх, если a 0, или вниз, если a
• б) у= f ( x + a ) - сдвиг по оси Ох на а единиц влево, если a 0, или вправо, если a

Преобразования исходного графика функции y = f ( x ).

• Симметрия относительно оси Ох.
• а) у=- f ( x ) – симметричное отражение графика относительно оси Ох;
• б)у =│ f ( x )│- замена частей графика, лежащих ниже Ох, отражением относительно этой оси части, лежащей ниже оси Ох, с сохранением остальных частей графика . (Приложение 13 и 14)

Преобразования исходного графика функции y = f ( x ).

• Симметрия относительно оси Оу.
• а) у = f (- x ) – симметричное отражение графика относительно оси Оу;
• б) ) у= f (│ x │) – замена части графика, лежащей левее Оу, отражением относительно этой оси части, лежащей правее оси Оу с сохранением правой части графика. (Приложение 15 и 16)

Заключение.

• Заканчивая свою работу я увидела, что строить графики элементарных функций интересно и просто. А график является портретом функции, поэтому функцию можно назвать поистине красавицей.
• Математика – это набор инструментов, который необходим в познании окружающего мира. И этим инструментом необходимо владеть в совершенстве, чтобы познавать, развивать и изменять нашу жизнь.

Список литературы.

• Н.П. Токарчук «Красавицы функции и их графики».
• В.К.Егоров, Б.А.Радунский, Д.А.Тальский «Методика построения графиков функций».
• Ю.Н.Макрычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б,Севорова «Учебник алгебры».