Исследовательская работа "Приемы умножения"

I зональная математическая конференция щкольников

Секция: математика ««От гипотезы к открытию»

Приёмы умножения

Майоров Никита Николаевич

ученик 8 класса МБОУ

«Рунгинская сош Буинского

муниципального района РТ»

Руководитель: Лукьянова Т.Н.,

учитель математики МБОУ

«Рунгинская сош Буинского

муниципального района РТ»

Буинск 2019

Оглавление

Введение……………………………………………………………….…….3

1.Способы умножения…………………………………………………….4-11

1.1. Способы запоминания таблицы умножения.……………………… 4-5

1.2. Старинные способы умножения……………………….......................6-9

1.3. Приёмы быстрого умножения …………………………………… 10-11

Заключение……………………………………………….............................12

Литература…………………………………………………………..……….13

Введение.

Каждый из нас умеет умножать многозначные числа. Самый распространенный способ решения этой задачи – умножение столбиком. Однако есть и другие способы умножения, известные с древности, не столь популярные, однако достаточно интересные как с точки зрения технологии, так и с точки зрения математики. Вообще может возникнуть вопрос: « Зачем считать: умножать, делить… если это может произвести любой калькулятор?» Отвечаю: «Во-первых калькулятор использовать на уроках математики нельзя. И во -вторых математика - обязательный предмет для прохождения аттестации в выпускных классах, где использование калькулятора запрещено.». Да и калькулятор не может быть всегда под рукой все время, да и уметь считать на нем требует тоже определенных знаний, т. е. хорошо, когда своя голова всегда находится при себе. В своей работе я рассматриваю приемы, способы быстрого запоминания таблицы умножения, старинные приемы умножения, приемы быстрого умножения.

Мы живем в таком мире, где все меняется так быстро. Чтобы идти в ногу со временем, нужно обладать определенным набором знаний, умений, навыков, которые развиваются в школе. К ним я отношу вычислительные навыки. Поэтому тему своей работы я обозначил как «Приёмы умножения». Ведь человек, который правильно и быстро находит решения, обладает гибким, логическим мышлением, которое является одним из характерных черт современного человека.

Цель: Знакомство с приёмами умножения чисел, которые не используются на уроках математики, и их применением при вычислениях.

Задачи:

1.Найти и разбирать различные приёмы умножения чисел, научиться использовать их при вычислениях;

2. Ознакомить учащихся класса с данными приёмами умножения;

3. Научиться работать с информацией: искать, отбирать, оформлять найденный материал.

Гипотеза: Надо ли знать различные приёмы умножения?

Актуальность: В настоящее время большая часть школьников научилась «быстро» выполнять домашние задания, применяя ГДЗ по предмету, и в частности по математике. И интерес к математике постепенно уменьшается. В любом классе есть такие ученики, для которых математика считается скучным предметом. Они не знают даже таблицы умножения! Испытывают затруднения при вычислениях. Чтобы как-то заинтересовать учащихся математикой, помочь им в овладении вычислительными навыками, и чтобы показать какой удивительной, интересной, замечательной наукой является предмет математики, я выбрал такую тему «Приёмы умножения».

2.Способы запоминания таблицы умножения.

Сегодня в интернете представлено множество различных способов, помогающих детям запоминать так называемую таблицу Пифагора: игры, карточки, стихи песни, видео, аудио-программы. Из всех рассмотренных способов мне понравился способ умножения на пальцах. Если до 5 таблицу умножения можно еще быстро заучивать , то умножение на 6, 7, 8, 9 считается трудным для многих. Рассмотрим таблицу умножения на 6,7,8,и 9 на пальчиках .

Умножение на 9. Для этого кладем руки ладонями вниз друг рядом с другом, пальцы нужно выпрямить. Теперь, чтобы умножить любое число на 9 просто загибаем палец под номером этого числа (считая слева). Число пальцев до загнутого будет являться десятками ответа, а после – единицами.

Можно вместо 10 пальцев использовать 10 клеток в тетради : 9x6=54 найти 6 клетку, посмотреть слева до 6- 5 клеток, справа- 4 т.е. 54

Умножение на 6,7, и 8

Опять пронумеруем пальцы наших рук, только немного в другом порядке.

При умножении соединяем пальцы, соответствующих номеров.

8*7=56 (соединяем 8-й палец левой руки и 7-й палец правой руки, хотя можно и наоборот)

В результате снизу мы получаем десятки (соединенные пальцы тоже считаются), а сверху – количество пальцев левой руки нужно умножить на количество пальцев правой руки и прибавить получившуюся число к десяткам)

В нашем случае внизу – 5 пальцев, вверху 2*3=6. Следовательно 50+6=56

Вывод. Просты и удобны для тех учащихся, кто не может запоминать таблицу умножения.

3.Старинные способы умножения

«Способ решетки». В Средние века этот способ умножения был широко распространен на Востоке, а также в Италии, где назывался «джелозия» - жалюзи, решетчатые ставни. В некоторых источниках он упоминается как «Елизаветинский метод», или «кости Непера», встречаются и другие названия.

Поясним, в чем состоит «способ решетки», на конкретном примере. Скажем, нам необходимо найти произведение 526x98. Для этого, во-первых, построим таблицу подобную той, что изображена на рис. 1.

5 2 6

Рис.1

В ней каждая ячейка разделена диагональю, количество ячеек по горизонтали совпадает с количеством цифр первого множителя, а количество ячеек по вертикали – с количеством цифр второго множителя. Заметим, что если у множителей разное число цифр, то тот из них, что имеет в записи больше знаков, удобнее располагать по горизонтали (хотя это не является необходимым условием).

Начнем заполнять таблицу. Будем последовательно умножать каждую цифру первого числа на каждую цифру второго и результаты записывать в соответствующие ячейки. В нижний треугольник ячейки будем записывать число единиц получившегося произведения, а в верхний – число десятков. На рис. 2 отражен начальный этап умножения.

5 2 6

Рис.2

Полностью заполненная таблица будет выглядеть так (рис.3)

5 2 6

Чтобы узнать произведение, необходимо сложить числа по диагоналям, как показано на рис. 4. Если сумма получится двузначной, запишем единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей диагонали.

5 2 6

5 1 5 4 8

«Метод русского крестьянина»

Другой не менее интересный способ умножения известен как «метод русского крестьянина».

Найдем произведение чисел 98 и 526. Запишем множители в строчку, а дальше поступим так: второй множитель будем последовательно удваивать, а первый – последовательно уменьшать в два раза, причем если в результате получится не четное число, то при следующем делении на 2 возьмем целую часть частного, отбросив дробную.

Эти действия будем выполнять параллельно, записывая результаты, как показано на рис. 5, до тех пор, пока в первом столбце не получится 1. Затем вычеркнем все строки, где первое число будет четным, и сложим не вычеркнутые числа второго столбца. Полученная сумма и будет искомым произведением.

98 х 526

Результат оказался верным!

«Древнеегипетский способ умножения»

Следующий способ, который часто встречается в литературе под названием «Египетский метод», немного похож на рассмотренный способ. При использовании данного способа составим два столбца чисел. Первый всегда будет начинаться с 1, а второй – с большего из сомножителей (в данном случае 526). Будем последовательно удваивать числа каждого столбца до тех пор, пока в первом из них не появится самое большое из чисел 2, 4, 8 …, которое не превосходит меньший из сомножителей. В нашем примере картина будет выглядеть следующим образом

Число 64 – наибольшая из степеней двойки, не превосходящая 98. Достигну этого числа, закончим умножение на 2 и выполним следующее. Найдем комбинацию из чисел первого столбца такую, чтобы их сумма равнялась меньшему из данных множителей – 98. Нетрудно понять, что это за комбинация: 2 + 32 + 64. Остальные числа первого столбца и соответствующие им числа второго столбца вычеркнем. Сложив не вычеркнутые числа второго столбца, получим искомое произведение. Заметим, что если первый множитель – число нечетное, то искомую комбинацию слагаемых всегда будет входить единица.

Вывод. Мы рассмотрели несколько старинных способов умножения. Почему я отметил эти способы ? Скорей, всего потому, что зная только таблицу умножения и деления на 2, можно спокойно решать примеры с многозначными числами.

Конечно, использовать их на практике не всегда удобно и рационально, однако они носят занимательный характер.

4.Приёмы быстрого умножения.

Я считаю, что умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления. Приёмов быстрого умножения много. Многие из них очень просты в применении.

1.Как возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся цифрой 5. Таких чисел всего девять – от 15 до 95. Квадрат каждого оканчивается на 25. А какие цифры стоят впереди? Ответ простой. Цифру десятков исходного числа увеличиваем на 1, и эти два числа перемножаем. Получившееся двузначное число записываем перед 25.

Например:

15² =1 х 2; 225

25²=2 х 3; 625

35²=3 x 4; 1225

45²=4 x 5; 2025

65²=6 x 7; 4225

95²=9 x 10; 9025

Это правило справедливо и для многозначных чисел. В этом случае единицу прибавляем к числу, получаемому после зачеркивания последней цифры.

Пример: Вычислите 125²

12 х (12 + 1) = 12 х 13 = 156

Ответ: 15625.

2.Как возвести в квадрат двузначное число, первая цифра которого 5. Для этого цифру десятков, то есть 5, возводим в квадрат и прибавляем цифру единиц. К полученному двузначному результату приписываем квадрат единиц так, чтобы получилось четырехзначное число.

Пример. Найдите 59².

Р е ш е н и е. 25 + 9 = 34, 9² = 81

Ответ. 59² = 3481

Пример. Найдите 53².

Р е ш е н и е. 25 + 3 = 28, 3² = 9

Ответ. 53² = 2809

3.Умножение на 11

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

• 72 * 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

• 35 * 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример:

• 94 * 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

4.Умножение на 22, 33, ..., 99

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 х11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример 1. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528

Пример 2. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

Вывод. Рассмотренные приёмы легко запоминаются и удобны в применении.

Заключение.

Работая над этой темой, я узнал, что существует много различных, забавных и интересных способов умножения. Я и мои одноклассники научились возвести в квадрат многозначные числа, оканчивающиеся на цифру 5, также возвести в квадрат двузначное число, первая цифра которого равна 5.,быстро умножать двузначные числа на 11, 22,33… Я думаю, что данная работа может быть использована для занятий на математических кружках, дополнительных занятиях с детьми во внеурочное время, а также как дополнительный материал на уроке по теме «Умножение натуральных чисел». Думаю, что моя работа привлечёт внимание и интерес учащихся к предмету математика. И «скучная математика» по -настоящему превратится в «царицу наук», а уроки математики станут для нас самыми желанными!

Литература

1. 1. И.Я.Депман. История арифметики, -М.: КомКнига, 2006.- 416с

2. Математика для школьников-научно-практический журнал №2-3 2010, №2 2011, №2 2013

3.Я.И.Перельман Быстрый счет. 30 приемов быстрого счета

4. Ресурсы Интернета