Исследовательская деятельность учащихся

Государственное учреждение образования «Лицей г. Борисова»

ОПИСАНИЕ ОПЫТА ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Исследовательская деятельность учащихся при изучении математики

Пучило Наталья Александровна,

учитель математики

8 (029) 2774000

ilatan_1230@mail.ru

Оглавление

1. Введение 2

2. Теоретические основы исследовательской деятельности 2

3. Организация исследовательской деятельности на уроке и во внеурочное время 3

4. Заключение 11

5. Список использованных источников 12

6. Приложение 13

Введение

Математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению

М.В. Ломоносов

Современный мир предъявляет к выпускнику школы высокие требования: обладание высокой степенью компетентности, готовность к самостоятельной жизни и профессиональной деятельности. Поэтому одним из основных результатов образовательного учреждения должна стать, несомненно, система знаний, умений, навыков выпускника, но еще кроме этого, выпускник должен иметь ряд ключевых компетенций, уметь творчески использовать их в различных сферах жизни. Человек все чаще оказывается в новых для себя ситуациях, где готовые рецепты не работают. Исследовательский же навык, приобретенный в школе, поможет ее выпускнику быть успешным в любых ситуациях. "Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то и в жизни он всегда будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые бы, научившись копировать, умели сделать самостоятельное приложение этих сведений" Л. Толстой. [1]

Слова Льва Николаевича Толстого будут актуальны столько, сколько будет существовать школа.

Теоретические основы исследовательской деятельности.

Основными задачами научно-исследовательской работы являются:

• формирование у школьника интереса к научному творчеству, обучение методике и способам самостоятельного решения научно-исследовательских задач;

• развитие творческого мышления и самостоятельности, углубление и закрепление, полученных при обучении теоретических и практических знаний;

• выявление наиболее одаренных и талантливых школьников, использование их творческого и интеллектуального потенциала для решения актуальных задач.

Исследовательская работа учащихся организуется по двум направлениям:

1. Урочная учебно-исследовательская деятельность учащихся: проблемные уроки; семинары; практические и лабораторные занятия; урочные проекты.

2. Внеурочная учебно-исследовательская деятельность учащихся, которая является логическим продолжением урочной деятельности: реферативная работа; учебно-исследовательские работы; научные работы; интеллектуальные марафоны; олимпиады; конференции; турниры.

Примерами учебных заданий, использование которых в процессе обучения математике оказывает наилучшее воздействие на повышение эффективности этого процесса, являются: 1) решение математических задач, если возможно, то разными способами; 2) выявление наиболее рациональных способов решения; 3) составление и решение задачи, аналогичной данной по способу решения;

4) составление и решение задачи обратной данной; 5) составление и решение задачи, используя данные, полученные при решении предыдущих задач.

Организация исследовательской деятельности на уроке и во внеурочное время.

С 2006 года я работаю в лицее, и с этого времени готовлю школьников для участия в олимпиадах, НПК, а три последних года - к турниру юных математиков. Среди моих учеников всегда находились одаренные дети, которые легко усваивали обязательный материал по курсу математики, и которым хотелось большего. Главное - научить детей относиться к своей учебной деятельности серьезно и ответственно. Подготовку к олимпиадам, турнирам, творческим конкурсам, научно-практической конференции необходимо начинать как можно раньше. Но учащиеся, с которыми я работаю в лицее, приходят в учебное учреждение только в десятый класс, поэтому за работу необходимо браться сразу, время на адаптацию и знакомство нет. (Приложение 1).

В каникулярное время организовывается работа профильного оздоровительного лагеря с дневным пребыванием для интересующихся математикой лицеистов. В качестве тренеров выступают учителя, учащиеся – победители и призеры олимпиад, турниров, НПК, неоднократно приглашались мои выпускники. В лагере мы решаем олимпиадные задачи, задачи физ-мат школы при БГУ, задачи ЦТ, проводим математические бои. Математический бой – командное соревнование по решению математических задач. Для проведение математического боя необходимо время для подготовки, поэтому готовиться мы начинаем, как правило, до каникул. В кабинете на стенде вывешиваются задачи (6-15 в зависимости от сложности и времени на подготовку). Темы выбираются различные, например “Решение уравнений”, “Свойства площадей в задачах”, “Задачи с параметром”. (Приложение 2)

Главные действующие лица – докладчик и оппонент. Одна из команд (как правило разыгрывается конкурсом капитанов) бросает вызов второй: предлагает решить одну из задач. Команда, которую вызвали, должна выставить докладчика – он будет рассказывать решение задачи. Команда, которая бросила вызов, - оппонента. Докладчик рассказывает решение, время выступления не более 7 минут. Оппонент и жюри следят за ответом. Пока доклад не окончен, оппонент не может задавать вопросы. После доклада оппонент задаёт вопросы докладчику. Если в течение минуты оппонент не задал ни одного вопроса, то считается, что у него нет вопросов. Если докладчик в течение минуты не начал отвечать на вопрос, то считается, что у него нет ответа.

По итогам выступления оппонент даёт оценку: признать решение правильным, признать решение в основном правильным, но имеющим недостатки; признать решении неправильным – с указанием ошибок. Если оппонент имеет контрпример, опровергающий решение докладчика в целом, то он имеет право его заявить.

После окончания диалога докладчика и оппонента жюри задаёт вопросы и распределяет баллы каждой из команд. Если вызов на этот раз не был принят, то оппонент сам предлагает решение. Команда, не принявшая вызов, может выставить своего оппонента, который, имеет право только на оппонирование.

Бой заканчивается, когда не останется необсуждённых задач, либо когда одна из команд не примет вызов, а вторая – откажется рассказать решение оставшихся задач.

Для успешной организаии исследовательской деятельности учеников педагогу самому важно владеть рядом соответсвующих качеств, способностей и умений:

• уметь распознавать проблемную ситуацию и фиксировать противоречия в имеющейся и получаемой информации;

• уметь точно формулировать вопросы, адекватные обнаруженной проблемной ситуации;

• избегать обобщений на основе единичных фактов;

• уметь выдвигать объяснительные гипотезы;

• уметь организовывать коммуникацию, вести диалог с учеником, быть готовым к партнерскому типу отношений;

• чувствовать себя исследователем; занимать исследовательскую позицию и демонстрировать исследовательское отношение к себе, к преподаваемому предмету, к другим людям;

• демонстрировать большие ожидания, веру в творческие способности каждого учащегося;

• не раскрывать учащимся истину и не навязывать им готовых решений;

• поощрять учащихся к тому, чтобы они задавали вопросы;

• поощрять критическое отношение к исследовательским методам и результатам. [2]

Приобщение к исследовательской работе начинается на обычном уроке. На уроке видны успехи и неудачи учеников, видно, есть ли у того или иного ученика стремление к самостоятельной работе, или он удовлетворен тем, что дали ему на уроке. Именно на уроке начинается подготовительный этап организации исследовательской деятельности. На уроках я стараюсь обратить внимание на то, как учащиеся умеют выражать свои мысли, делают обобщения или выводы, умеют работать с литературой.

Считаю: исследовательская работа эффективна и возможна только на добровольной основе.

Пять исследовательских работ за это время было выставлено на районную научно-практическую конференцию и все пять имели дипломы. Работа “Исследование свойств прямоугольного тетраэдра”, выполненная ученицей 10Э класса Кисель Анной (ныне студенткой 4-го курса БНТУ) получила похвальный отзыв на областной конференции. (Приложение 3).

Три года занимаюсь подготовкой команды к областному турниру юных математиков. Состав команды постоянно меняется, так как дети у нас учатся два года. Для себя я выработала стратегию подготовки к турниру.

На первом этапе я формирую группу учащихся, желающих заниматься творческой деятельностью. После публикации задач турнира, на завтра, я вывешиваю условия всех задач на стенде в кабинете, а так же - адрес сайта, где они опубликованы. Лицеистам определяется время для выбора “своей” задачи.

На втором этапе я формирую творческие группы по решению той или иной задачи. Учащиеся выбирают задачу по своим способностям и интересам. Есть учащиеся, которые выбирают задачу только по геометрии, игровую (стратегическую) задачу, как правило, выбирают, интересующиеся информатикой, ну а кто-то выбирает задачу по алгебре. С каждой творческой группой составляется план решения задачи. План состоит из следующих пунктов:

• постановка проблемы, выдвижение гипотезы;

• определение источника информации, литературы по данной проблеме;

• определение прогнозируемых результатов исследования;

• планирование предстоящей работы над задачей;

• определение сроков и формы промежуточного и итогового представления результатов исследовательской работы.

Каждый год по-разному выбираются задачи. Есть задачи, которые выбирают много (до пяти) учащихся, есть – один, но есть задачи, которые не выбирает никто. Если задач выбрано не много, значит необходимо привлечь внимание на решение не выбранной задачи.

На третьем этапе ребята, согласно плану, работают самостоятельно, индивидуально. Собирают данные по теме, систематизируют, анализируют и обобщают. Подбирают и изучают литературу. Привлекают данные интернета. Применяют компьютерные технологии. Выдвигают, проверяют , доказывают или опровергают гипотезы. На этом этапе начинается индивидуальная самостоятельная деятельность ученика по его плану. Учитель, при необходимости, координирует и консультирует работу ученика.

На четвертом этапе проводятся заседания каждой творческой группы, с творческим отчетом каждого о проделанной работе, найденных решениях, найденных источниках. Происходит обмен решениями, гипотезами, источниками. Заранее составляется график этих заседаний, происходит консультирование по систематизации исследованного материала и анализу полученных результатов, проверке гипотез. С каждой группой определяются проблемы данной задачи, составляется индивидуальный план работы над совершенствованием, продолжением решения задачи. Выбирается ответственный за работу в группе (как правило, лицеист, который наиболее успешно продвинулся в решении проблемы). Устанавливаются сроки работы, прогнозируются результаты исследовательской деятельности и решается вопрос о форме представления (защиты) своей задачи.

На пятом этапе учащиеся докладывают о результатах работы, готовят ее презентацию и оформляют итоги работы в виде реферата. Учитель и ученик анализируют и оценивают результаты своей совместной деятельности по поиску вариантов решения поставленной проблемы или выдвинутой гипотезы.

Вырабатываются общие требования к оформлению результатов исследовательской работы, редактируется текст. Определяется, кто будет защищать эту задачу на турнире. Лицеисты свободно владеют современными информационными технологиями, поэтому результаты работы представляют в виде презентаций Power Point. Это придает работам практический смысл, так как все подготовленные учащимися материалы используются в дальнейшем школьным научным обществом учащихся. Подготовка слайдов для сопровождения докладов и выступлений является обязательной для каждого учащегося.

На шестом этапе проводится лицейский математический турнир. На турнире стараемся выдерживать правила областного турнира. Рецензенты и оппоненты из числа учителей, присутствующих учащихся и, что очень приятно, бывших выпускников, дают оценку проделанной работе, указывают на “слабые” места в решении задачи, оказывают помощь. Правда, на лицейском турнире нет конкуренции и того накала, но все же это опыт и репетиция перед главными испытаниями.

Необходимо отметить, что выпускники – участники областного турнира, не забывают и помагают нам в подготовке. Так, участник первого областного турнира Дроздов Игорь, сейчас студент 2-ого курса БГУ ФПМИ, консультирует и направляет при решении алгебраических задач. Мурашко Дмитрий, участник второго областного турнира,студент 1-ого курса БГУИР ФКСиС, консультирует на стратегические, игровые задачи.

На областном туре команда должна состоять из шести участников, и, если задач решено больше, а оно так и бывает, приходится организовать работу, направленную на “натаскивание” члена команды на “не свою” задачу. Обычно выбираются близкие по тематике задачи.

Итогом исследовательской работы становятся выводы, самостоятельно полученные школьниками. Активность учащихся определяется внутренними побудительными силами. Причем весьма важно, чтобы умственную активность сопровождал эмоциональный настрой, что приводит к развитию интереса к знаниям.

Рассмотрим конкретный пример, как проводилась работа по решению задачи “Числа на окружности”, представленная на III областном турнире 2012 года. К решению этой задачи приступили четыре ученика: Монич Денис, Сафаров Руслан – ученики 11А класса, Дащинский Станислав, Жуков Константин – ученики 10Б класса, все учащиеся физико-математического направления. Монич и Сафаров, участники областной олимпиады по информатике, сразу стали составлять программу для поиска простых чисел. Дащинский и Жуков экспериментальным путем (подбором) искали дополнительно наборы чисел, которые удовлетворяют требованию задачи: расставить вдоль окружности 10 (12) натуральных чисел так, чтобы для любых трех подряд идущих чисел а,в,с разность в²-ас делилась на 11 (13). При решении задачи ребятами была замечена закономерность: если рассматривается делимость на 13, то числа на окружности диаметрально противоположные в сумме дают 13. В ходе решения, была найдена литература Васильев, Н. Заочные математические олимпиады / Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахер, Ж.М. Раббот, А.Л. Тоом // Библиотечка Квант – выпуск 121 – С .16., в которой была разобрано решение задачи для числа 13. В решении встретился термин: “первообразный корень”. Изучили дополнительно литературу, как находятся первообразные корни, что такое функция Эйлера.

Учащиеся нашли все аналогичные конструкции для других наборов простых чисел от 11 до 41.

Основываясь на изученное, доказали, что решить задачу возможно для любых

р-1 чисел, где р – простое число. Программа по поиску простых чисел была написана, она позволила проверить правильность конструкций, подобранных ребятами, а так же позволила расширить количество комбинаций и убедиться, что для данного числа их больше нет. По степени значимости вклада в эту задачу на турнир с ней поехал Монич Денис.

После участия в турнире работа над задачей не закончилась. Ребят интересовал вопрос: можно ли таким же образом расположить числа от 1 до п-1 вдоль окружности, если п – составное число? Дело в том, что в 2012 году сроки после публикации задач и до областного турнира были очень короткие – чуть больше месяца, наверно, не хватило времени, но желание продолжить осталось. В результате усилий 5-ый пункт задачи покорился, и тогда было принято решение оформить задачу и отправить ее на XVII Республиканский конкурс исследовательских работ (конференцию) учащихся. Работа прошла отбор. На конкурсе она получила Похвальный отзыв. Ездили защищать ее Дащинский Станислав и Жуков Константин.

Выполнение ученических исследовательских работ имеет следующие цели:

• получение хороших предметных знаний вследствие упорной работы над решением проблемы, многократных обсуждений и защиты своей позиции;

• формирование аналитического и критического мышления учащихся в процессе творческого поиска и выполнения исследований;

• самопроверку учащимися своих наклонностей, профессиональной ориентации и готовности к предстоящей трудовой деятельности;

• самовоспитание целеустремленности и системности учащихся в учебной деятельности;

• удовлетворение познавательных потребностей учащихся;

углубление интереса школьников к научным дисциплинам, в частности, математике;

• воспитание культуры исследовательской деятельности.

Заключение.

Совершенно очевидно, что школа не в состоянии обеспечить ученика знаниями на всю жизнь, но она может и должна вооружить его методами познания, сформировать познавательную самостоятельность. Привлечение учащихся к выполнению творческих учебно-исследовательских работ имеет глубокий воспитательный характер. Это способствует развитию целеустремленности, трудолюбия и силы воли, формированию стремления к познанию, самостоятельности мышления, научного мировоззрения. Помагает личности в учебно-познавательном процессе, способствует созданию ситуаций творческой активности. Ничто не заменит ребёнку наслаждения от собственного творчества, которое доставляет радость, стимулирует процесс мышления, способствует удовлетворению эстетических потребностей и показывает внутреннюю красоту познания.

  Как стать хорошим математиком? Вот те заповеди, которые я всегда повторяю своим ученикам: “Помните, чтобы научиться решать олимпиадные, турнирные, конкурсные задачи, необходимо соответствовать

8 пунктам:

1. Иметь способности.

2. Любить математику.

3. Уметь общаться, ведь в ходе обсуждения рождается много новых идей.

4. Осознать, что тебе это нужно и интересно.

5. Сильно хотеть победить, но не до умопомрачения.

6. Научить других решать задачи, это не обязательно, но объясняя другим, лучше понимаешь сам.”

7. Чтобы научится хорошо решать задачи, нужны постоянные тренировки.

8. Самое главное - быть хорошим человеком, если вы плохой человек, то со всем вашим умением решать задачи, вы никому не нужны.

Литература

1. Леонтович, А. Учебно-исследовательская деятельность школьника как модель педагогической технологии / А. Леонтович // Народное образование - 1999. - № 10 – 126-127 с.

2. Запрудский, Н. Современные школьные технологии-2/ Н.И. Запрудский. – Минск:”Сэр-Вит”, 2010.-157с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Банк данных “Одаренные дети”

Предмет МАТЕМАТИКА

Фамилия , имя, отчество учителя Пучило Наталья Александровна

Достижения учащегося во время обучения в ГУО “Лицей г. Борисова”

1.ФИО учащегося Дроздов Игорь Викторович, студент 4-ого курса ФПМИ БГУ

Учебный год	Олимпиады	Научно-практ конференции	Интеллектуальные конкурсы	Творческие конкурсы
2009/2010 10кл	Iэтап - I Д IIэтап – II Д III этап - IIIД		“Кенгуру” - IIIприз	Физ-мат школа при БГУ Олимпиада мехмата БГУ -2Д
2010/2011 11кл	Iэтап – IД IIэтап – IД III этап - участник		“Кенгуру” - I I приз I обл турнир юных математиков - IIIдиплом	Олимпиады: мехмата БГУ -2Д; ФПМИ БГУ - победитель

2. ФИО учащегося Дощечко Яна Олеговна студентка 3-ого курса БНТУ

Учебный год	Олимпиады	Научно-практ конференции	Интеллектуальные конкурсы	Творческие конкурсы
2009/2010 9кл	Iэтап - III Д		“Кенгуру” - IIIприз
2010/2011 10кл	Iэтап – IIД IIэтап – участница III этап - участник		“Кенгуру” - III приз I обл турнир юных математиков - IIIдиплом	Физ-мат школа при БГУ
2011/2012 11кл	Iэтап - III Д IIэтап – II Д III этап - участница		“Кенгуру” - III приз II обл турнир юных математиков - IIIдиплом	Физ-мат школа при БГУ

1.ФИО учащегося Федорова Полина Андреевна – студентка 2-ого куса БГУИР

Учебный год	Олимпиады	Научно-практ конференции	Интеллектуальные конкурсы	Творческие конкурсы
2011/2012 10кл		Районная конференция “Обобщение теоремы Пифагора”- I IД	“Кенгуру” - IIIприз II обл турнир юных математиков - IIIдиплом
2012/2013 11кл			“Кенгуру” - I I приз I I I обл турнир юных математиков - ПО

Приложение 2

Свойства площадей в задачах (Задачи к мат. бою)

1. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5. Вычислите площадь этого треугольника.

2. В треугольнике АВС на сторонах Ав и Вс взяты точки К и Р так, что Ак:ВК = 1:2. Прямые АР и СК пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника АВС, если известно, что площадь треугольника ВЕС равна 4 см².

3. Точки Е и Н делят стороны треугольника АВС в отношении ЕА : ЕС =3:1 и СН : НВ 2:3. Прямые АН и ВЕ пересекаются в точке М. Найти отношение площадей треугольников АМВ и АНВ.

4. На гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС с катетами АВ = 5 и ВС = 4 взята точка Д, М – точка пересечения медиан треугольника АВД, а К – точка пересечения медиан треугольника ВСД. Найдите площадь треугольника ВМК.

5. Дан параллелограмм АВСД. М – середина ВС, К – середина ДС. Найти площадь параллелограмма АВСД, если площадь треугольника АМК равна 1.

6. Точка М делит сторону ВС параллелограмма АВСД в отношении 1:5. Площадь параллелограмма равна 1. Отрезок АМ пересекает диагональ ВД в точке о. Найдите площадь четырехугольника ОМСД.

7. В трапеции проведены диагонали. Площади двух треугольников, прилежащих к основаниям трапеции, равны 4 и 9. Найдите площадь трапеции.

8. В трапеции АВСД с площадью 36 через вершину А проведена прямая, которая пересекает диагональ ВД в точке К, а основание ВС – в точке М, причем ВК:КД = 1:3 и ВМ :МС = 2:1. Найдите площадь четырехугольника ДКМС.

Решение задач с применением теорем Чевы и Менелая

1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите: отношение .

2. Пусть AD – медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка K так, что AK:KD=3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

3. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А_{1 ,}В1и С₁ – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС,АС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА₁ и СС₁. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ₁. Найдите АР:РА₁.

4.В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А₁ и С₁ – точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q – точка пересечения отрезков АА₁ и ВВ₁. Q лежит на высоте ВВ₁. Найдите отношение ВQ:QB₁.

5. Стороны треугольника 5,6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

6.Биссектрисы BЕ и AD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если

7.В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:ВК = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой АВ на расстояние . Найдите длину стороны АВ.

8.В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК:ВК = 1:2, CL:BL = 2:1. Q – точка пересечения отрезков AL и CK. Найдите площадь треугольника АВС.

9.На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К, АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LB = 2:3. Q – точка пересечения прямых ВК и CL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В.

10.Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD, площадь которого 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника QMCD.

Приложение 3 Государственное учреждение образования

“Лицей города Борисова”

Тезисы к научно-исследовательской работе

“Исследование свойств прямоугольного тетраэдра”

Выполнила:

Кисель Анна Викторовна,

учащаяся 10 “Э” класса

Руководитель:

Пучило Наталья Александровна

учитель математики

ГУО “Лицей города Борисова”

Борисов 2008

Тезисы

Прямоугольный тетраэдр - особый многогранник, обладающий уникальными свойствами. Знание этих свойств, умение использовать их в практической деятельности, применять при изучении других многогранников – предоставляет большие возможности как в научной, так и в исследовательской деятельности. Стоит отметить, что демонстрация нестандартных подходов, во-первых, открывает тесные глубинные связи разделов в самой математике, во-вторых, способствует развитию широкого математического кругозора, а также позволяет быть психологически подготовленным к неожиданным подходам в решении задач. С свойствами прямоугольного тетраэдра я познакомилась на дополнительных занятиях по математике, тема мне очень близка, потому, что она позволяет приблизиться к будущей профессии, которую я выбрала - профессии архитектора.

Цель исследования установление, исследование, определение новых подходов и доказательство свойств прямоугольного тетраэдра; подготовка к централизованному тестированию.

Задачи исследовательской работы

- выявление состояния изученности этой темы;

-анализ, систематизация, проверка и описание изученных свойств;

-использование свойств при решении тематических задач;

-составление «задачника» по этой теме.

Актуальность темы

• Способствует развитию критического и творческого мышления кА необходимого условия самостоятельности при проведении исследования

• Выработка умений оформления текстовых, графических и других материалов

• Обучает навыкам работы с научной и научно-популярной литературой, публицистикой, Интернетом

• Эту работу можно использовать в качестве спецкурса в 11 классе двенадцатилетнего обучения

• Знание этих свойств поможет сэкономить время при решении соответствующих задач на уроках, а также, что очень важно на ЦТ.

Описание работы

Исследовав ряд литературных источников на данную тему, был сделан вывод, что понятие «прямоугольный тетраэдр» в разных источниках трактуется по-разному. В одних источниках это тетраэдр, содержащий прямой трехгранный угол, в других - тетраэдр, все грани которого прямоугольные треугольники.

Мы считаем, что определение прямоугольного тетраэдра должно быть таким:

«тетраэдр называется прямоугольным, если он содержит не менее трех плоских прямых углов».

Мною были изучены:

1)Свойства тетраэдра, содержащего прямой трехгранный угол.

I. Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме квадратов площадей катетных граней.

II. Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме квадратов катетов.

III. Объём прямоугольного тетраэдра равен 1/6 произведения катетов. IV. Расстояние от вершины прямого трёхгранного угла до гипотенузной грани определяется по формуле:

h = (a۰b۰c)/_где a, b, c – катеты тетраэдра

V. Косинусы направляющих углов нормали к гипотенузной грани определяются по формулам:

cos α = h / a= (bc) /_

сos β = h / b = (ac) / _

cos γ = h / c= (ab) / _

где a, b, c – катеты тетраэдра;α – угол между катетом а и нормалью

β – угол между катетом b и нормалью, γ – угол между катетом с и нормалью, h – нормаль.

VI. Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.

Дано: ОАВС -прямоугольный тетраэдр. ОА = ОВ = ОС = а –катеты

Доказать, что гипотенузная грань является правильным треугольником и косинусы двугранных углов между гипотенузной гранью и катетным гранями равны .

Мною сформулированы и доказаны

2) Свойства тетраэдра, все грани которого прямоугольные треугольники.

I. Удвоенная сумма квадрата высоты и квадратов катетов основания равна сумме квадратов сторон грани, противолежащей основанию высоты. II. Объем прямоугольного тетраэдра, все грани которого- прямоугольные треугольники, равен 1/6 произведения высоты на катеты основания.

Мною был изучен:

III. Алгоритм связи трех плоских острых углов в прямоугольном тетраэдре (не лежащих в одной плоскости).

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр,

ОАB = α, АBC = β, ОАC = x.

Установить взаимосвязь угла х с углами α и β:

ОАВ, АВС и ОАС - плоские острые углы.

В работе рассмотрены общие и различные свойства этого тетраэдра, а так же мною доказано, что тетраэдр, содержащий прямой трехгранный угол, не может иметь четвертый прямой угол. Кроме того рассмотрены решения ключевых задач по этой теме, составлен «задачник», где собраны задачи по изучаемой теме. В лицее в профильных математических 10-х классах проведена практическая работа по изготовлению моделей прямоугольных тетраэдров победителем стала ученица 10ФМ1 класса Демидчик Мария.

Перспективы дальнейшей работы

Цели, поставленные в этом году, были достигнуты, но я вижу перспективу развития этой темы. В дальнейшем я продолжу работу и планирую изучить и разработать особенности вписанной и описанной сферы в прямоугольный тетраэдр.

Я считаю, что глубокое изучение этой темы, использование новых подходов в разработке темы «Свойства прямоугольного тетраэдра» позволит в дальнейшем более полно и глубоко понимать и изучать другие математические темы. Это позволит более качественно подготовиться к централизованному тестированию.

Кроме того, эта тема близка мне и потому, что она позволяет приблизиться к будущей профессии, которую я выбрала - профессии архитектора.

22