СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

История возникновения дробей

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

В презентации подобран материал о возникновении дробей.

Просмотр содержимого документа
«История возникновения дробей»

3⅞ 9,67 0,001 История возникновения  дробей ⅘

3⅞

9,67

0,001

История возникновения дробей

Введение  В 5 классе на уроках математики мы познакомились с новыми числами – с дробями. Мне стало интересно узнать:  Откуда произошли такие числа? Почему дроби записывают таким образом?  Кто придумал их записи?  Есть ли их дальнейшее развитие?  Чтобы найти ответы на все эти  вопросы, я обратилась к книгам, и к более  современному помощнику по имени «Интернет».  В них я нашла много интересного материала, с   самыми интересными, на мой взгляд, данными   я хочу поделиться.

Введение

В 5 классе на уроках математики мы познакомились с новыми числами – с дробями. Мне стало интересно узнать:

  • Откуда произошли такие числа?
  • Почему дроби записывают таким образом?
  • Кто придумал их записи?
  • Есть ли их дальнейшее развитие?

Чтобы найти ответы на все эти

вопросы, я обратилась к книгам, и к более

современному помощнику по имени «Интернет».

В них я нашла много интересного материала, с самыми интересными, на мой взгляд, данными я хочу поделиться.

 На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Необходимость в дробях возникла на ранней ступени развития человечества. Так, по-видимому, дележ десятка плодов между большим числом участников охоты заставлял людей обращаться к дробям. Первой дробью была  половина.  Для того, чтобы из одного получить половину, надо разделить единицу, или «разломить» ее на два. От сюда и пошло название ломаные числа. Теперь их называют дробями. Различают три вида дробей: Единичные (аликвоты) или доли  (например, 1/2, 1/3, 1/4, и т.д.). Систематические , т.е дроби, у которых знаменатель выражается степенью числа (например, степенью числа 10 или 60 и т.д.). Общего вида , у которых числителем и знаменателем может быть любое число. Существуют дроби «ложные» – неправильные  и «реальные» –  правильные .

На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Необходимость в дробях возникла на ранней ступени развития человечества. Так, по-видимому, дележ десятка плодов между большим числом участников охоты заставлял людей обращаться к дробям. Первой дробью была половина. Для того, чтобы из одного получить половину, надо разделить единицу, или

«разломить» ее на два.

От сюда и пошло название ломаные

числа. Теперь их называют дробями.

Различают три вида дробей:

  • Единичные (аликвоты) или доли (например, 1/2, 1/3, 1/4, и т.д.).
  • Систематические , т.е дроби, у которых знаменатель выражается степенью числа (например, степенью числа 10 или 60 и т.д.).
  • Общего вида , у которых числителем и знаменателем может быть любое число.

Существуют дроби «ложные» – неправильные и «реальные» – правильные .

Запись дробей в Египте Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Единственным исключением была дробь 2/3. В папирусе Ахмеса есть задача:

Запись дробей в Египте

Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Единственным исключением была дробь 2/3.

В папирусе Ахмеса есть задача:

"Разделить 7 хлебов между 8 людьми". Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.  А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей:

1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

 

1/5 1/23 1/141

Складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм долей.  С помощью этой таблицы выполняли и   деление чисел. Умели египтяне также   умножать и делить дроби. Но для    умножения приходилось умножать доли    на доли, а потом, быть может, снова  использовать таблицу. Еще сложнее     обстояло дело с делением.

Складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова

использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением.

Вавилон   Совсем иным путем пошли вавилоняне.    Они работали только с шестидесятеричными   дробями. Так как знаменателями таких дробей    служат числа 60, 602, 603 и т. д., то такие     дроби,  как 1/7, 1/11,1/13 нельзя было точно     выразить через шестидесятеричные: выражали через них приближенно. Мы и сейчас пользуемся такими дробями в обозначениях времени и величин углов. Например, время 3ч.17мин.28с. можно записать и так: 3,17'28

Вавилон

Совсем иным путем пошли вавилоняне. Они работали только с шестидесятеричными дробями. Так как знаменателями таких дробей служат числа 60, 602, 603 и т. д., то такие дроби, как 1/7, 1/11,1/13 нельзя было точно выразить через шестидесятеричные: выражали через них приближенно. Мы и сейчас пользуемся такими дробями в обозначениях времени и величин углов. Например, время 3ч.17мин.28с. можно записать и так: 3,17'28" ч.(читается 3 целых, 17 шестидесятых 28 три тысячи шестисотых часа).

Вместо слов «шестидесятые доли», «три тысячи шестисотые доли» говорили короче: «первые малые доли», «вторые малые доли». От этого и произошли слова минута (по латыни – меньшая) и секунда (от латыни – вторая). Вавилонский способ обозначения дробей сохранил свое значение и до сих пор.

Так как система счисления у вавилонян была позиционной, они действовали с шестидесятеричными дробями с помощью тех же таблиц, что и для натуральных чисел.

Древний Рим Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась  асс.  Двенадцатую долю асса называли  унцией.  А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Древний Рим

Интересная система дробей была в

Древнем Риме. Она основывалась на

делении на 12 долей единицы веса,

которая называлась асс.

Двенадцатую долю асса называли

унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги.

А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Римская система дробей и мер была двенадцатеричной. Даже сейчас иногда говорят:

Римская система дробей и мер была двенадцатеричной. Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус".

В ходу были и такие названия: "семис" - половина асса, "секстане" - шестая его доля, "семиунция" - полунции, то есть 1/24 асса, и т. д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (3/2 унции, то есть 1/8 асса) получается унция.

Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из них дошли до нас.

Греция Учение об отношениях, о дробях и связывалось у греков с музыкой. Кроме арифметики и геометрии, в греческую математику входила музыка. Музыкой греки называли ту часть арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях.  Греки создали и научную теорию музыки.     Они знали: чем длиннее натянутая    струна, тем «ниже» получается звук,     который она издает; что короткая струна    издает высокий звук. Однако у       музыкального инструмента не одна, а     несколько струн, и для того, чтобы все     струны при игре звучали «согласно»,   приятно для уха, длина звучащих частей их должна быть в определенном отношении. Например, чтобы высоты звуков, издаваемых двумя струнами, различались на октаву, нужно, чтобы их длины относились как 1:2. Подобным же образом квинте соответствует отношение 2:3, кварте – отношение 3:4 и т.д.

Греция

Учение об отношениях, о дробях и связывалось у греков с музыкой. Кроме арифметики и геометрии, в греческую математику входила музыка. Музыкой греки называли ту часть арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях.

Греки создали и научную теорию музыки.

Они знали: чем длиннее натянутая струна, тем «ниже» получается звук, который она издает; что короткая струна издает высокий звук. Однако у музыкального инструмента не одна, а несколько струн, и для того, чтобы все струны при игре звучали «согласно», приятно для уха, длина звучащих частей

их должна быть в определенном отношении. Например, чтобы высоты звуков, издаваемых двумя струнами, различались на октаву, нужно, чтобы их длины относились как 1:2. Подобным же образом квинте соответствует отношение 2:3, кварте – отношение 3:4 и т.д.

Русь На Руси дроби называли долями, позднее «ломанными числами» Например,  - эти дроби назывались родовые или основными.  Половина, полтина –  Четь –  Десятина – Полчеть –  Полполчеть –  Пятина –  Треть – Полполтреть –  Полтреть –   Осьмушка -

Русь

На Руси дроби называли долями,

позднее «ломанными числами»

Например,

- эти дроби назывались родовые

или основными.

Половина, полтина –

Четь –

Десятина –

Полчеть –

Полполчеть –

Пятина –

Треть –

Полполтреть –

Полтреть –

Осьмушка -

Из истории обозначения дробей Современную систему записи  дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель – снизу и не писали дробной черты. Записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы. В Древнем Китае пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзю-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.

Из истории обозначения дробей

  • Современную систему записи

дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель – снизу и не писали дробной черты.

  • Записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.
  • В Древнем Китае пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки.
  • Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзю-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.
В XV веке, в Узбекистане математик и астроном Джемшид Гиясэддин ал –Каши записал дробь в одну строчку числами в десятичной системе и дал правила действия с ними. Он пользовался несколькими способами написания дроби: то он применял вертикальную черту, то чернила черного и красного цветов.  В 1585г. С.Стивенс стал писать цифры дробного числа в одну строчку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их. Например: 12,761  записывалось так: 12076112. Именно Стивнса считают изобретателем десятичных дробей. Запятая в записи дробей впервые встречается в 1592г., а в 1617г. Шотландский математик Дж.Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой. Современную запись, т.е. отделение целой части от запятой, предложил Кеплер. В странах, говорящих на английском языке (Англия, Канада и т.д.), и сейчас вместо запятой пишут, точку. Например: 2.3 и читают: два точка три.
  • В XV веке, в Узбекистане математик и астроном Джемшид Гиясэддин ал –Каши записал дробь в одну строчку числами в десятичной системе и дал правила действия с ними. Он пользовался несколькими способами написания дроби: то он применял вертикальную черту, то чернила черного и красного цветов.
  • В 1585г. С.Стивенс стал писать цифры дробного числа в одну строчку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их. Например: 12,761 записывалось так: 12076112. Именно Стивнса считают изобретателем десятичных дробей.
  • Запятая в записи дробей впервые встречается в 1592г., а в 1617г. Шотландский математик Дж.Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой.
  • Современную запись, т.е. отделение целой части от запятой, предложил Кеплер.
  • В странах, говорящих на английском языке (Англия, Канада и т.д.), и сейчас вместо запятой пишут, точку. Например: 2.3 и читают: два точка три.
Старинные задачи с дробями  В  произведении знаменитого римского поэта I века до н. э. Горация так описана беседа учителях учеником в одной из римских школ этой эпохи: Учитель. Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию? Ученик. Одна треть. Учитель. Правильно. Ты сумеешь беречь свое имущество. Решение:  4 унции 4 унции 4 унции  Ответ: 1/3

Старинные задачи с дробями

В произведении знаменитого римского поэта I века до н. э. Горация так описана беседа учителях учеником в одной из римских школ этой эпохи:

Учитель. Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию?

Ученик. Одна треть.

Учитель. Правильно. Ты сумеешь беречь свое имущество.

Решение:

4 унции 4 унции 4 унции

Ответ: 1/3

  Задача из

Задача из "Арифметики" известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми (IX век н. э.)

"Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10".

четверть треть число 10

 

Решение:

Ответ: 24

  Задача из

Задача из "Папируса Ахмеса" (Египет, 1850 г. до н. э.)

"Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

- Сколько приводишь ты своего многочисленного стада?

Пастух отвечает:

- Я привожу две трети от трети скота. Сочти!"

?

70 быков

Решение:

1) 70:2·3=105 голов - это 1/3 от скота

2) 105·3=315 голов скота

Ответ: 315 голов скота

 Староиндийская задача математика  Сриддхары (XI век н.э.)   Есть кадамба цветок, На один лепесток Пчелок пятая часть опустилась.  Рядом тут же росла  Вся в цвету сименгда,  И на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, Ее трижды сложи И тех пчел на кутай посади,  Только две не нашли  Себе место нигде,  Все летали то взад, то вперед и везде  Ароматом цветов наслаждались.  Назови теперь мне, Подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось?

Староиндийская задача математика Сриддхары (XI век н.э.)

Есть кадамба цветок,

На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди,

Ее трижды сложи

И тех пчел на кутай посади,

Только две не нашли

Себе место нигде,

Все летали то взад, то вперед и везде

Ароматом цветов наслаждались.

Назови теперь мне,

Подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:  пятая часть третья часть  кадамба сименга кутай  Ответ: 30 пчел

Решение:

пятая часть третья часть

кадамба сименга кутай

Ответ: 30 пчел

Задача армянского ученого  Анания Ширакаци (VII век н.э.)

Задача армянского ученого Анания Ширакаци (VII век н.э.)

"Один купец прошел через 3 города, и взыскивали с него в первом городе пошлины половину, и треть имущества, и во втором городе половину и треть (с того, что осталось), и в третьем городе половину и треть (с того, что осталось). Когда он прибыл домой, у него осталось 11 денежков (денежных единиц). Итак, узнай, сколько всего денежков было вначале у купца?"

Ответ: 2376 денежков

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

СПАСИБО

ЗА ВНИМАНИЕ!

Литература Виленкин Н.Я. Из истории дробей. /Квант, №5, 1987. Математика 4 класс. Часть1./Л.Г.Петерсон. – М., Ювента, 2004. Фридман Л.М. Изучаем математику. – М., 2001.

Литература

  • Виленкин Н.Я. Из истории дробей. /Квант, №5, 1987.
  • Математика 4 класс. Часть1./Л.Г.Петерсон. – М., Ювента, 2004.
  • Фридман Л.М. Изучаем математику. – М., 2001.