Итоговый тест "Стереометрия"

Итоговый тест по стереометрии

(для студентов 1 курса)

Вариант I

1. Найдите косинус угла между плоскостями квадрата ABCD и равностороннего треугольника ABM, если диагональ квадрата равна 4см и расстояние от точки M до стороны DC равно 5 см.

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Основание пирамиды – трапеция, основания которой равны 3 см и 5 см. Найдите объем пирамиды, если все ее боковые грани составляют с основанием равные двугранные углы по 45°, а высота пирамиды равна см.

а) 8см³; б) 12см³; в) 16 см³; г) 12 см³.

3. Около куба описан цилиндр. Найдите полную площадь поверхности цилиндра, если поверхность куба равна S.

а) ; б) ; в) ; г) .

4. В конусе проведено сечение, проходящее через вершину конуса и две его образующие. Найдите расстояние от центра основания до плоскости сечения, если образующая составляет с плоскостью основания угол α, плоскость сечения образует с плоскостью основания угол β, а радиус основания R.

а) R ctg α sin β; б) ; в) ; г) R tg α cos β.

5. Стороны основания наклонного параллелепипеда 3 см и 5 см, а угол между ними 120°. Большее диагональное сечение, являющееся ромбом, перпендикулярно плоскости основания. Найдите объем параллелепипеда, если боковое ребро образует с основанием угол, равный 60°.

а) 54см³; б) 78,75 см³; в) 74,5 см³; г) 60см³.

6. Дано: = 1, = 2, = 3, = 60°, = 90°, = 120°. Найдите косинус угла между векторами и .

а) ; б) ; в) ; г) .

7. На поверхности шара даны три точки A, B и C, причем AB = 2 см, BC = 3 см и AC = 4 см. Расстояние от центра шара до плоскости сечения ABC равно см. Найдите площадь поверхности шара.

а) см²; б) 36π см²; в) см²; г) 40π см².

8. Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ – квадрат ABCD со стороной см, длина ребра AA₁ = 2. Найдите площадь сечения, проведенного через точки C, P и M, где P – середина AD и M – середина BB₁.

а) 5см²; б) 2см²; в) 6 см²; г) 5 см².

Вариант II

1. Найдите косинус угла между плоскостями ромба ABCD и равностороннего треугольника ADK, если AD = 8 см, BAD = 30° и расстояние от точки K до прямой BC равно 4см.

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Основание пирамиды – трапеция с боковыми сторонами 6 см и 9 см. Найдите объем пирамиды, если все ее боковые грани составляют с основанием равные двугранные углы по 60°, а высота пирамиды равна 2см.

а) 24 см³; б) 20см³; в) 18см³; г) 24см³.

3. Около куба описан цилиндр, полная площадь поверхности которого равна S. Найдите площадь поверхности куба.

а) 4Sπ; б) 2Sπ; в) ; г) .

4. В конусе проведено сечение, проходящее через его вершину и две образующие. Найдите радиус основания конуса, если образующая составляет с плоскостью основания угол β, плоскость сечения образует с плоскостью основания угол α и удалена от центра основания на a.

а) ; б) ; в) a cos α tg β; г) .

5. Стороны основания наклонного параллелепипеда 2 дм и дм, а угол между ними 30°. Меньшее диагональное сечение, являющееся ромбом, перпендикулярно основанию. Найдите объем параллелепипеда, если боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом, равным 60°.

а) 1,5 дм³; б) дм³; в) 1,5дм³; г) дм³.

6. Дано: = 2, = 2, = 3, = 90°, = 45°, = 120°. Найдите косинус угла между векторами и .

а) ; б) ; в) ; г) .

7. На поверхности шара лежат три точки C, D и E такие, что CD = 7 см, DE = 8 см, CE = 9 см. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника CDE равно 1 см. Найдите площадь поверхности шара.

а) см²; б) 84π см²; в) см²; г) 92,2π см².

8. ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед, причем ABCD – квадрат со стороной см, а ребро AA₁ = 2см. Найдите площадь сечения, проходящего через точки C, K и M, где K и M – середины ребер AD и BB₁.

а) 12см²; б) 9 см²; в) 12 см²; г) 9см².

Внимание студентов!

В каждом задании обязательно выполнить

подробное решение и сделать чертёж.

Срок сдачи____