Измерение углов. Единицы измерения углов.

Измерение углов.

Градусная мера угла. Измерение углов на местности.

Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало.

Угол можно измерить в разных единицах:

• в градусах, минутах, секундах;

• в радианах;

• в оборотах;

• в градах, минутах, секундах.

Чаще всего углы измеряются в градусах.

развёрнутого угла,

Г радусная мера применяется в элементарной геометрии, в геодезии по карте и на местности. Для измерения углов на местности существует самый точный прибор – теодолит.

Теодолит оптический – это прибор для измерения как горизонтальных, так и вертикальных углов на местности. На его создание ушло много времени. В основу теодолита вошли принципы работы более простых приборов: гномонов, параллактических линеек, армиллы, астролябии, квадрантов.

Армилла Параллактическая линейка

Астролябия Квадрант Секстант Гномон

Для нас в школе самый оптимальный инструмент для построения и измерения углов – это транспортир. Однако, измерение углов с помощью транспортира будет только приближённым, т.к. он не содержит делений для минут, а уж тем более для секунд.

Радианная мера угла используется в математическом анализе, стереометрии. С этой мерой угла подробнее познакомимся позже.

Оборот – это полный угол, т.е. угол в .

Градовая мера измерения углов была предложена к применению исторически, в настоящее время почти нигде не используется.

Аксиома V. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между сторонами этого угла. Градусная мера развёрнутого угла равна 180°.

Приведём пример. Из точки M выходят три луча и , причём, луч проходит между сторонами угла . Определите градусную меру угла , если в раза больше .

Дано: - лучи,

в раза

Найти: .

Решение.

Т.к. луч проходит между сторонами , т.е. , то

(по аксиоме V),

Т.к. в раза, то . Тогда,

. Значит,

.

Ответ: .

1. Начертите угол . Внутри угла проведите луч . Найдите величину угла , если , а в раза больше .

1. Луч проходит между сторонами угла . Найдите и , если в раза меньше, чем .

1. Луч проходит между сторонами угла . Найдите и , если на меньше, чем .

1. Из точки выходят три луча , причём, луч проходит между сторонами угла . Определите градусную меру угла , если на меньше, чем .

1. Луч проходит между сторонами угла . Найдите и , если в раза больше, чем .

1. Луч проходит между сторонами угла . Найдите и , если на больше, чем .

1. Из точки выходят три луча , причём, луч проходит между сторонами угла . Определите градусную меру угла , если в меньше, чем .

1. Луч проходит между сторонами угла . Найдите и , если в раза меньше, чем .

1. Луч проходит между сторонами угла . Найдите и , если на меньше, чем .

1. Из точки выходят три луча , причём, луч проходит между сторонами угла . Определите градусную меру угла , если на больше, чем .

1. Луч проходит между сторонами угла . Найдите и , если в раза больше, чем .

1. Луч проходит между сторонами угла . Найдите и , если на больше, чем .

1. И
   звестно, что . Докажите, что .

2. Прямые и пересекаются в точке . Луч является биссектрисой угла . Найдите угол , если .

1. Из точки проведены три луча: . Найдите угол , если .

2. Прямой угол разделён лучом на два угла и , такие, что половина угла равна одной трети угла . Найдите эти углы.

1. Прямые и пересекаются в точке , причём, сумма углов и равна . Найдите угол , где – биссектриса угла .

1. Л
   учи и лежат на одной прямой, . Найдите , если он в раз больше, чем .

2. Из точки проведены три луча: . Чему равен угол , если ?

1. Л
   учи и лежат на одной прямой, на больше, чем . Найдите .

2. Прямые и пересекаются в точке , луч является биссектрисой угла . Найдите угол , если сумма углов и равна .

1. Из точки проведены три луча: . Найдите угол , если .

1. У
   глы равны. Сколько процентов составляет градусная мера угла между лучом и биссектрисой угла от градусной меры угла ?

1. Луч делит угол на два угла. . Найдите угол .

1. ∠AOВ = 90°. Проведите луч ОС так, чтобы угол АОС равнялся 45°.

1. Чему равен угол СОВ?

2. Каким углом: острым, тупым или развёрнутым является угол СОВ?

3. Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?

1. ∠AOВ = 120°. Проведите луч ОС так, чтобы угол АОС равнялся 60°.

1. Чему равен угол СОВ?

2. Каким углом: острым, тупым или развёрнутым является угол СОВ?

3. Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?

1. ∠AOВ = 80°. Луч ОС делит этот угол на два угла так, что ∠AOС = 4∠СОВ.

1. Найдите эти углы.

2. Найдите угол DOB, если луч OD проведён так, что ОА – биссектриса угла DOB. Каким углом: острым или тупым является этот угол?

1. ∠AOВ = 100°. Луч ОЕ делит этот угол на два угла так, что ∠ВОЕ = 3∠АОЕ.

1. Найдите эти углы.

2. Найдите угол AOF, если луч OF проведён так, что ОE – биссектриса угла FOB. Каким углом: острым или тупым является этот угол?

1. Угол АОВ расположен во внутренней области угла COD. ОЕ и OF – биссектрисы углов СОА и BOD соответственно. Объясните, почему угол EOF прямой, если ∠COD + ∠AOВ = 180°.

1. Угол АОВ принадлежит внутренней области угла COD; ∠COD = 140°, а ∠АОВ = 100°. Найдите угол, образованный биссектрисами углов AOC и BOD, если луч ОВ принадлежит внутренней области угла AOD.

1. Прямой угол разделён лучом, исходящим из его вершины, на два угла, такие, что половина одного угла равна трети другого. Найдите эти углы.

1. Прямой угол двумя лучами, исходящими из его вершины, разделён на три угла, один из которых равен разности двух других углов. Найдите величину большего из этих углов.

3