Комбинаторные задачи

Творческий проект « Решение комбинаторных задач»

Работу выполнила Ученица 9 б

Камалетдинова Наиля

Рассмотрим решения комбинаторных задач

Задача 1

В спортивных соревнованиях участвуют 10 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовые медали, если каждая команда может получить только одну медаль?

Решение:

Бронзовую медаль может получить одна из 10 команд (10 вариантов). После этого серебряную медаль получит одна из оставшихся 9 команд (9 вариантов). Наконец, золотую медаль получает одна из оставшихся 8 команд (8 вариантов).

Следовательно, общее число способов, которыми могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали,

равно 10 · 9 · 8 = 720.

Задача 2

В 9 классе изучаются 10 предметов. Во вторник должны быть проведены 6 различных уроков. Сколькими способами можно составить расписание занятий на вторник?

Решение

На первом уроке изучается любой из 10 предметов, на втором уроке - любой из оставшихся 9 предметов, на третьем уроке - любой из оставшихся 8 предметов и т.д.

Таким образом, расписание можно составить 10 · 9 · 8 · 7· 6 · 5 = 151 200 способами.

Задача 3

Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Решение

11, 12, 13, 14, 15,

21, 22, 23, 24, 25,

31, 32, 33, 34, 35,

41, 42, 43, 44, 45,

51, 52, 53, 54, 55.

Задача 3

Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?

Решение

0 не может быть первой цифрой в числе.

200, 202, 204,

220, 222, 224,

240, 242, 244,

400, 402, 404,

420, 422, 424,

440, 442, 444.

Задача 4

В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?

Решение .

Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами

Задача 5

  Сколькими способами Дима сможет покрасить пять елок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски у него неограничено, а каждую елку он красит только в один цвет? 

Решение

Каждую из пяти елок можно покрасить в один из трех цветов, поэтому всего различных способов существует  3·3·3·3·3 = 3 5 . 

Задача 6

  У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик? 

Решение

На первую елку можно надеть любой из пяти шариков, на вторую елку – любой из оставшихся четырех, и так далее; всего получаем   5·4·3·2·1 = 120 способов

Задача 7

У людоеда в подвале томятся 25 пленников. Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин? Порядок важен. 

Решение

На завтрак людоед может предпочесть любого из 25 человек, на обед – любого из 24 оставшихся, а на ужин – кого-то из 23 оставшихся счастливчиков. Всего получаем  25·24·23 = 13800 способов.

Задача 8

Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

Решение

2 3  = 8 последовательностей.

Задача 9

Каждую клетку квадратной таблицы 2×2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

Решение

16 = 2 4   раскрасок.

Задача 10

Сколько существует трехзначных чисел? 

Решение

Чисел, содержащих не более трех цифр,  — 999 (от 1 до 999). Из них 99 содержат менее трех цифр, а остальные 999 - 99 = 900  — ровно три цифры. 

Задача 11

В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Решение

6 • 4 = 24

Задача 12

В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Капитаном может стать любой из 11 футболистов. После выбора капитана на роль его заместителя могут претендовать 10 оставшихся человек. Таким образом, всего есть 11 • 10 = 110 разных вариантов выборов.

Задача 13

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

Решение

Цвет для верхней полоски флага можно выбрать шестью разными способами. После этого для средней полоски флага остается пять возможных цветов, а затем для нижней полоски флага – четыре различных цвета. Таким образом, флаг можно сделать 6 • 5 • 4 = 120 способами.

Задача 14

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Решение

Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380. Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.

Задача 15

Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Решение

Определим количество 6-значных чисел, не обладающих нужным свойством. Так как это в точности те числа, в записи которых встречаются только нечетные цифры, то их количество, очевидно, равно 56 = 15625. Всего 6-значных чисел 900000. Поэтому количество 6-значных чисел, обладающих указанным свойством, равно 900000 – 15625 = 884375.

Конец