Конспект урока Примеры комбинаторных задач

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Организационный момент

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

Включаются в деловой ритм урока.

2. Изучение нового материала

Сегодня мы переходим к изучению новой главы «Элементы комбинаторики и теории вероятностей». Для начала отметим, что существует класс задач, требующих составления различных комбинаций из элементов и подсчета этих комбинаций. Эти задачи носят название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором эти задачи рассматриваются, называется комбинаторикой. Запишите в своих тетрадях тему сегодняшнего урока: «Примеры комбинаторных задач». Рассмотрим с вами несколько примеров (условия задачи записывайте в тетрадях).

Задача 1.

В соревнованиях по легкой атлетике участвуют 4 спортсмена: Иванов, Сидоров, Петров, Григорьев. Сколькими способами можно выбрать пару спортсменов для участия в забеге?

Давайте попробуем составить все возможные пары из этих четырех человек. Для краткости будем обозначать спортсменов первой буквой их фамилии.

Для начала составим пары, в которые входит Иванов (И): ИС, ИП, ИГ.

Теперь все пары, в которые входит Сидоров (С): СП, СГ. Заметьте, что пару СИ мы не учитываем, т.к. её уже называли ранее.

Аналогично составляем пары с Петровым (П), в которых его ранее не было: ПГ.

Как можем заметить, для Григорьева (Г) уже перечислены все возможные пары.

Таким образом, существует 6 способов выбрать пару участников забега.

Задача 2.

Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2, 5, 6, 9 так, чтобы в записи чисел не было повторяющихся цифр (пример: 56, 69, 96).

Давайте решим эту задачу, построив дерево возможных вариантов.

Строим дерево совместно с учениками.

Так как первую цифру числа можно выбрать одной из имеющихся в начальном наборе, то на первом уровне дерева разместим все цифры, которые имеются у нас в наличии. Вторую цифру числа нам придется выбирать из оставшихся в наборе цифр. Например, если первая цифра числа – 2, то второй цифрой может быть либо 5, либо 6, либо 9. Аналогично и для других цифр.

Искомое количество чисел можно найти, подсчитав количество «листьев» дерева – элементов, от которых не идут ответвления. В данном случае листьев у дерева 12, следовательно, и двузначных цифр, удовлетворяющих условию задачи, также 12.

Задача 3.

В 9 классе изучается 10 предметов. Во вторник должны быть проведены 6 различных уроков. Сколькими способами можно составить расписание на вторник?

В данной задаче рассуждать будем следующим образом: первым уроком может один из 10 предметов, тогда вторым – один из 9 оставшихся после выбора первого, третьим – один из 8 оставшихся после выбора первого и второго уроков и т. д. Тогда искомое количество способов можно получить так: N = 10*9*8*7*6*5 = 151200 способов.

Этот ответ мы получили, используя комбинаторное правило умножения. Запишите его для общего случая: (запись представлена справа).

(Записывают тему урока)

(Записывают условие и решение)

Задача 1.

В соревнованиях по легкой атлетике участвуют 4 спортсмена: Иванов, Сидоров, Петров, Григорьев. Сколькими способами можно выбрать пару участников для участия в забеге?

Решение:

Составляем всевозможные пары:

ИС, ИП, ИГ.

СП, СГ.

ПГ.

Ответ: 6 способов.

Задача 2.

Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2, 5, 6, 9 так, чтобы в записи чисел не было повторяющихся цифр (пример: 56, 69, 96).

Решение:

Ответ: 12 чисел.

Задача 3.

В 9 классе изучается 10 предметов. Во вторник должны быть проведены 6 различных уроков. Сколькими способами можно составить расписание на вторник?

Решение.

1-ый урок можно выбрать 10 способами.

2-й урок можно выбрать 9 способами.

3-й урок – 8 способами и т.д.

Тогда N = 10*9*8*7*6*5 = 151200 способов.

Ответ: 151200 способов.

(Записывают в тетрадях)

Комбинаторное правило умножения.

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать n₁ способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n₂ способами и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно n₁*n₂*n₃*…*n_k.

3. Закрепление изученного материала

Теперь перейдем к решению задач.

№ 714

В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

№ 716

Стадион имеет четыре входа: A, B, C, D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких вариантов?

№ 718 (а)

Составьте все возможные двузначные числа из цифр 1, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза.

№ 719 (б) (самостоятельно с последующей проверкой)

Из цифр 1, 2, 3 составьте все возможные двузначные числа при условии, что допускается повторение цифр в числе.

№ 721

В шахматном турнире играют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

(Оформляют решение задач в тетради; у доски при решении примеров также работают учащиеся).

№ 714

Первые блюда: Борщ (Б), Рассольник (Р).

Вторые блюда: Гуляш (Г), Котлеты (К), Сосиски (С), Пельмени (П).

Комбинации с Б: БГ, БК, БС, БП.

Комбинации с Р: РГ, РК, РС, РП.

Дерево возможных вариантов.

№ 716

Комбинации с входом A: AB, AC, AD.

Комбинации с входом B: BA, BC, BD.

Комбинации с входом C: CA, CB, CD.

Комбинации с входом D: DA, DB, DC.

Всего комбинаций 4*3=12.

Ответ: 12 вариантов.

№ 718

Двузначные числа со старшим разрядом 1: 16, 18.

Двузначные числа со старшим разрядом 6: 61, 68.

Двузначные числа со старшим разрядом 8: 81, 86.

№ 719

Двузначные числа со старшим разрядом 1: 11, 12, 13.

Двузначные числа со старшим разрядом 2: 21, 22, 23.

Двузначные числа со старшим разрядом 3: 31, 32, 33.

№ 721

Первый участник сыграет с остальными 8 партий.

Второй участник уже сыграл одну партию с первым, = он отыграет еще 7 партий.

Третий участник уже сыграл две партии с первым и вторым, = он отыграет еще 6 партий. И т. д.

Таким образом, получаем N=8+7+6+5+4+3+2+1=36 партий.

Ответ: 36 партий.

4. Подведение итогов

Подведем итоги нашего занятия.

С задачами из какого раздела математики мы работали сегодня на уроке?

Назовите комбинаторное правило умножения.

(Отвечают на вопросы)

С задачами из раздела «Комбинаторика».

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать n₁ способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n₂ способами и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно n₁*n₂*n₃*…*n_k.

5. Домашнее задание

§11, п. 30.

№ 715

№ 717

№ 718 (б)

№ 719 (а)

№ 723

Записывают в дневниках д/з.