Конспект по математике по теме "Решение задач с помощью квадратных уравнений"

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.Организационный момент.

Класс «разбит» на пары.

Цель: настроить учащихся на урок.

Приветствие.

Мы сегодня будем заниматься решением задач с помощью составления квадратных уравнений.

Открыли тетради, записываем: число, «классная работа», тему урока.

На экране высвечивается тема урока.

Приветствие.

Записывают в тетрадях число, «классная работа», тему урока.

2.Проверка домашней работы.

Цель: коррекция ошибок.

На экране высвечиваются ответы к номерам из домашней работы. Учитель контролирует процесс, отвечает на вопросы по домашнему заданию.

Ученики самостоятельно проверяют, отмечая в тетрадях верные/неверные ответы, задают вопросы учителю. По окончанию проверки домашнего задания ученики самостоятельно выставляют оценки в тетрадях.

3.Актуализация опорных знаний.

Цель: повторить основные понятия, формулы.

На предыдущих уроках мы занимались решением квадратных уравнений.

Фронтальный опрос. Вопросы учащимся:

Какое уравнение называется квадратным?

Какие виды квадратных уравнений вы знаете? Чем они отличаются?

Что такое корень уравнения?

От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

Выполнение заданий, выданных в начале урока

Отвечают на поставленные вопросы:

Квадратное уравнение – уравнение вида

ах²+вх+с=0, где а, в, с – числа, причем а ≠0.

Полные, приведенные (старший коэффициент а=1), неполные (если хотя бы один из коэффициентов (в,с) равен 0).

Корень уравнения – значение переменной, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль.

Количество корней уравнения зависит от его дискриминанта.

4.Работа по изучению нового материала.

Цель: показать расширение аппарата уравнений для решения текстовых задач.

С помощью квадратных уравнений решаются многие задачи в математике, физике, технике.

При решении задач с помощью линейных уравнений или систем (рассмотренных ранее) могло быть два случая: одно решение или ни одного, тогда как при решении задач с помощью квадратных уравнений возможны три случая: задача имеет два решения, одно решение и не иметь ни одного решения.

На экран выводится пример первой задачи с уравнением. Происходит коллективная работа класса под руководством учителя:

обсуждение алгоритма решения задачи, что известно, что обозначим за «х», повторение теоремы Пифагора, анализ составленного уравнения, обсуждение полученных результатов.

Обсуждают решение предложенной задачи, отвечают на поставленные учителем вопросы. На экране:

Задача 1. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.

Решение: Пусть меньший катет равен х см, тогда больший катет равен (х+4) см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е.

х²+(х+4)²=20².

Упростим это уравнение:

х²+х²+8х+16=400,

2х²+8х-384=0,

х²+4х-192=0.

Решив полученное квадратное уравнение, найдем, что

х₁=-16, х₂ = 12.

По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т.е. число 12 – меньший катет. Тогда больший катет будет 16 см.

Ответ: 12 см, 16 см.

Задача 2 (связана с физикой). Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60м?

Решение: из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенное вертикально вверх тело окажется через t(с), может быть найдена по формуле

h=V₀t-gt²/2, где V₀(м/с) – начальная скорость, g – ускорение свободного падения, приближенно равно 10 м/с². Подставив значения h и V₀ в формулу, получим

60=40t-5t².

Отсюда 5t²-40t+60=0,

t²-8t+12=0. Решив полученное уравнение, найдем, что t₁ = 2 , t₂ = 6.

На экране дан график зависимости h от t, где h= 40t-5t². Из графика видно, что тело, брошенное вертикально вверх, в течение первых 4 с поднимается вверх до высоты 80м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после броска. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня. Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

Закрепление пройденного материала.

Цель: совершенствовать навыки составления и решения уравнений по условию задачи.

№ 559. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Какие числа называются натуральными? Какое самое маленькое натуральное число?

Известно ли нам хотя бы одно из чисел?

Что мы обозначаем за «х»?

«Сильный» ученик решает у доски с подробным объяснением, остальные - в тетрадях.

Натуральные – числа, которые используются для счета предметов.

Самое маленькое натуральное число - 1.

Нет.

- Наименьшее.

Решение:

Пусть 1 натуральное число – х, тогда 2 натуральное число – (х+6). Произведение этих чисел равно 187. Составим и решим уравнение:

х (х+6) = 187

х² + 6х -187=0

D =36-4×1×(-187)=784 › 0 → уравнение имеет 2 действительных различных корня

х₁=-17 – не удовлетворяет условию задачи,

х₂=11 – 1 число, тогда 2 число : 17.

Ответ: 11; 17.

Задача № 560. Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см².

Контролирует процесс решения задачи, отвечает на вопросы.

«Сильный» ученик решает у доски с подробным объяснением, остальные - в тетрадях.

Решение: Пусть ширина прямоугольника – х см, тогда длина (х+4) см. По условию задачи площадь прямоугольника равна 60 см². Составим и решим уравнение:

Х (х+4) = 60

х²+4х-60=0

D₁= 2²-1×(-60) = 4+60= 64.

Х₁= -10 – не удовлетворяет условию задачи,

х₂=6 – ширина прямоугольника, тогда длина 10 см.

Периметр Р=2(а+в) , Р= 2( 6+10)= 32 (см).

Ответ: 32 см.

№ 562. Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м².

Контролирует процесс решения задачи, отвечает на вопросы.

Один ученик решает у доски с подробным объяснением, остальные - в тетрадях.

Решение: По условию периметр прямоугольника равен 62 м, значит Р= 2(а+в)=62, тогда полупериметр равен Р/2= а+в=31 (м).

Пусть одна сторона прямоугольника равна х м, тогда вторая сторона (31-х) м. По условию задачи площадь прямоугольника 210 м².

Составим и решим уравнение:

х ( 31-х)= 210

х² – 31х + 210=0

D= 121

Х₁= 10

х₂=21 .

Ответ: 10м; 21 м.

№ 563. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 м².

Контролирует процесс решения задач, отвечает на вопросы.

Работа в парах: «сильный» ученик помогает «слабому» с последующей проверкой – отвечает «слабый» ученик.

Решение:

Пусть один катет прямоугольного треугольника равна х м, тогда второй катет (23-х) м. По условию задачи площадь треугольника 60 м².

Составим и решим уравнение:

½ х ( 23-х)= 60

D= 49

Х₁= 8

х₂=15 .

Ответ: 8 см; 15 см.

6. Физкультминутка.

Сидим, расслабили ручки и ножки.

Закроем глаза, откроем глаза- повторить по 3 раза.

Закроем глаза и нарисуем сначала в одну сторону, а потом в другую вертикальную линию, горизонтальную линию, окружность, прямоугольник, треугольник.

Широко откроем глаза и постараемся не моргать 5 секунд, а теперь быстро поморгаем 5 секунд.

Посмотрите направо, затем налево, вверх, вниз, а теперь – в окно. Погода на улице замечательная, светит солнце. Посмотрите друг на друга, улыбнитесь друг другу и мне. А теперь вздохнули глубоко, набрались сил, выдохнули, встрепенулись. Ой, какие молодцы! Еще немного поработаем и будем подводить итоги.

Выполняют указания учителя.

7. Самооценка.

Учитель предлагает оценить свою работу на уроке учащимся и поставить оценки в выданных каждому бланках

Работают с индивидуальными бланками

8. Подведение итогов.

Пришло время подвести итоги урока.

Самоанализ учащихся по вопросам: Какая цель была у нас на уроке? Хорошо ли мы повторили и закрепили решение квадратных уравнений и задач? Как вы думаете, пригодятся ли вам знания, которые мы сегодня получили?

Появилось ли у вас желание больше узнать о задачах?

С каким настроение вы находились на уроке?

Отметки получают те ученики, кто отвечал у доски и активно работал с места. Учитель отвечает на вопросы, комментирует оценки за урок.

Спасибо за активную работу!

9. Задание на дом.

Учитель дает рекомендации по выполнению домашнего задания, записывает задание на доске: П. 23, № 561, 564, 566, 569.

Вариант 1

Х²-4х+3=0

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

Вариант2

Х²-2х-2=0

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

Вариант3

36Х²-12х+1=0

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

Вариант4

2Х²-44х-46=0

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

Вариант 1

Х²+5х=0

1) 0;5 2) 1;5 3) 0;-5 4) 1;-5

Вариант2

Х²-49=0

1) 0;49 2)-49;49 3) -7;7 4)нет корней

Вариант3

-2Х²+14х=0

1)7;0 2)-7;0 3)1;7 4)-1;7

Вариант4

4Х²+ 68=0

1) 17/4 2) -17/4 3)± 4) нет корней

Вариант 1

2Х²-7х+5=0

1) 1 2) 2,5 3) 3 4) 3,5

Вариант2

3Х²-2х-1=0

1) 1 2)-1/3 3) -1 4) 3

Вариант3

8Х²-14х+6=0

1)1 2)-3/4 3)3/4 4) 3

Вариант4

4Х²-18х +14=0

1) 0 2) 1 3)3,5 4) 2

Вид работы

Оценка

1

Выполнил тест

2

Правильно оформил и решил задачу № 563

3

Правильно оформил и решил задачу № 568

4

Активно работал на уроке