Конспект урока по алгебре "Арифметическая прогрессия". 9 класс

Разработка урока учителя математики Красулиной Ольги Николаевны.

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

Сортавальского муниципального района Республики Карелия
Средняя общеобразовательная школа № 7

Конспект урока по теме «Арифметическая прогрессия»

Класс: 9

Предмет: алгебра

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Цели урока:

• предметные: формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов последовательностей, вывод формулы n-го члена.

• метапредметные: формирование умения видеть в окружающей жизни модель математической задачи и использовать знаково-символичекие средства для создания процесса её решения.

• личностные: развивать мыслительные процессы через решение математических задач, устанавливать причинно-следственные связи при изучении нового вопроса с ранее изученным математическими фактами.

Задачи урока:

• образовательные: ввести понятия арифметической прогрессии; формулы n-го члена; характеристическое свойство, которым обладают члены арифметических прогрессий; рассмотреть применение формулы при решении задач.

• развивающие: вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить математическую модель некоторой реальной ситуации.

• воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике и понимания использования математических законов для решения практических задач.

Учебные пособие: Алгебра-9, Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, 7-е изд, - М.:Просвещение. 2019

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация

Ход урока. (Урок сопровождается презентацией)

1. Организационный момент, приветствие.

2. Повторение.

В целях подготовки к ОГЭ, ребятам предлагаются задачи из открытого банка заданий для самостоятельного решения по теории вероятности. Обучающимся выдаётся бланк ответов в виде таблицы, куда они должны вписать ответы на четыре задачи:

Слайд 2. На экзамене 25 билетов. Костя не выучил 10 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет. (Ответ: 0,6)

Слайд 3. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 4 чёрных, 3 жёлтых и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин. Случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси. (Ответ: 0,2)

Слайд 4. У бабушки 25 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами. (Ответ: 0,8)

Слайд 5. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 3 с мясом, 3 с капустой и 4 с вишней. Саша наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней. (Ответ: 0,4)

Проверка. Слайд 6. Дети называют по порядку ответы и на экране открывается портрет учёного.

Вопрос: кто изображён на экране? (Леонардо Пизанский - первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи).

1. Подготовка к изучению нового материала.

Задание: из полученных ответов составить последовательность.

Получили: (a_n): 0,6; 0,2; 0,8; 0,4 (Один из учеников записывает последовательность на доске).

Вопрос: каким способом задана данная последовательность? (Рекуррентным).

Вопрос: какие способы вы ещё знаете? (Аналитический, описательный).

Слайд 7. На слайде краткое описание способов задания последовательностей.

Устная работа. Слайд 8. Последовательность (х_n) задана формулой: х =n².

Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100?

(Ответы: 12; 15; 10)

Являются ли членами этой последовательности числа: 48? 49? 168?

(Ответы: 49 является, 48 и 168 не являются).

Слайд 9. О последовательности (u_n) известно, что u₁=2, u_n+1=3u_n+1

Как называется такой способ задания последовательности? (Рекуррентный)

Найдите первые четыре члена этой последовательности. (Ответы: u₁=2; u₂=7; u₃=22; u₄=67)

Слайд 10. О последовательности (a_n) известно, что a_n=(n-1)(n+4)

Как называется такой способ задания последовательности? (Аналитический)

Найдите n, если a_n=150? (Ответ: 11)

Вопрос: скажите, если каждый член последовательности больше предыдущего, то последовательность…? (возрастающая);

если каждый член последовательности меньше предыдущего, то последовательность…? (убывающая)

1. Изучение нового материала.

А теперь вернёмся к нашей последовательности (a_n): 0,6; 0,2; 0,8; 0,4 и попробуем преобразовать её в возрастающую. Получили: (a_n): 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 (записываем на доске).

Теперь в убывающую. Получили: (a_n): 0,8; 0,6; 0,4; 0,2 (записываем на доске).

Проанализируем полученные последовательности. (Каждый член больше или меньше на одно и то же число).

Для данных последовательностей характерно то, что у них каждый член больше или меньше на одно и то же число. Последовательности с такой особенностью называются арифметическими прогрессиями.

Цели урока: сегодня мы рассмотрим такие последовательности, посмотрим какой общий вид она имеет, выясним, как отличить арифметическую прогрессию от других последовательностей и решим задачи, где используются свойства арифметических прогрессий.

Таким образом, тема нашего урока…? (Арифметическая прогрессия).

Попробуйте сформулировать определение арифметической прогрессии. (Дети формулируют определение).

Теперь прочитаем определение в учебнике на стр.229.

Слайд 11. Определение арифметической прогрессии.

Для начала надо понимать сам термин «прогрессия». Слайд 12. Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперёд» и был введён автором Боэцием в VI веке. Этим термином в математике именовали всякую последовательность чисел, построенному по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначальном широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили своё названия. С геометрической прогрессией мы так же познакомимся на следующих уроках.

Немного о Боэции. Слайд 13. На слайде Боэций на фреске Рафаэля и историческая справка: Ани́ций Ма́нлий Торква́т Севери́н Боэ́ций, в исторических документах Ани́ций Ма́нлий Севери́н (ок.480 — 524 (526)), один из наиболее авторитетных государственных деятелей своего времени, знаток и ценитель греческой и римской античности, философ-неоплатоник, теоретик музыки, христианский теолог. Помимо богословских трудов в трактатах по дисциплинам квадривия — арифметике («De institutione arithmetica») и музыке («De institutione musica») — передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук.

Слайд 14. Что общего в последовательностях?

1, 5, 9, 13, … (Ответ: каждый последующий член больше предыдущего на 4)

17, 15, 13, 11, … (Ответ: каждый последующий член меньше предыдущего на 2)

8, 8, 8, 8, … (Ответ: все члены равны)

Для каждой последовательности найдите следующие два члена. (Ответы: 17 и 21;

9 и 7; 8 и 8)

Число, на которое изменяются члены прогрессии имеет своё название – разность арифметической прогрессии и обозначение d. Попробуем записать формулу для вычисления разности: d=a_n+1-a_n

Таким образом: d=4; d=-2; d=0

Слайд 15. Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии d=a_n+1-a_n.

Вопрос: - разность в наших прогрессиях, в первом случае положительна, то, как вы думаете, какая будет эта прогрессия? (Возрастающая)

- если разность отрицательная? (Убывающая)

- если равна 0? (Постоянная или стационарная)

Сейчас мы с вами рассмотрели свойства арифметической прогрессии. Вывод. Слайд 16.

Задача. Слайд 17.

В арифметической прогрессии четные члены оказались затёрты: 3, …, 7, …, 13…

Можно ли восстановить утраченные числа?

Решение. Заметим, d=(a_n+2-a_n):2, то есть d=2.

Искомая последовательность: 3, 5, 7, 9, 13, 15, …

Можно ли найти пропущенные члены последовательности, не вычисляя разности? (Ответы обучающихся)

Слайд 18. Пусть a_n – искомый член последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна:

a_n-a_n-1=a_n+1-a_n

2a_n=a_n-1+a_n+1

a_nn=(a_n-1+a_n+1):2

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов – это характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Задача. Слайд 19.

Семья решила купить новую машину и решили откладывать каждый месяц по 30000 рублей. Сколько будет денег через 5 месяцев, если уже имели 250000 рублей?

Решение задачи на доске.

Задачу можно решить просто: 250000+30000+30000+30000+30000+30000=400000 руб.

или 25000+5*30000=400000 руб.

Но, если выписать ежемесячное наличие накоплений: 250000; 280000; 310000; 340000; 370000; 400000, то получим арифметическую прогрессию (a_n), где первый член = 250000 (a₁), разность =30000(d), сумма, которую мы хотим знать находится на 6-ом (n) месте.

Таким образом, заменяя в 25000+5*30000=400000 данные математическими обозначениями. Получим: a₁+(n-1)*d= a_n мы получили с вами формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Запишем её в «красивом» виде a_n = a₁+d(n-1)

Формулу можно получить и другим способом. Слайд 20.

Возникает вопрос, так ли необходима формула n-го члена для решения задач или можно решать способом, который мы рассмотрели первым? (Ответы учеников)

Задача. Сколько месяцев понадобится, чтобы накопить на покупку машины стоимостью 1000000? (Данные предыдущей задачи).

Решение: используем формулу n-го члена арифметической прогрессии.

a_n = a₁+d(n-1)

1000000= 250000+30000(n-1)

Получили... (уравнение). Решает обучающийся на доске:

1000000=250000+30000n-30000

30000n=1000000-250000+30000

30000n=780000

n=26

Ответ: 26 месяцев.

Примеры задач с использованием формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Пример 1. Слайд 21. Последовательность (c_n)-арифметическая прогрессия. Найдите с₈₁, если c₁=20 и d=3.

Решение. Воспользуемся формулой n-ого члена

с₈₁=с₁+d(81-1),

c₈₁=20+3·80,

c₈₁=260.

Ответ: 260.

Пример 2. Слайд 22. Последовательность (c_n)- арифметическая прогрессия. Найдите c₂₁, если c₁=5,8 и d=-1,5.

Решение. Воспользуемся формулой n-ого члена

с₂₁=с₁+d(21-1),

c₂₁=5,8+(-1,5)·20,

c₂₁=-24,2.

Ответ: -24,2.

Задача. Слайд 23.

Числовая последовательность задана формулой a_n=3+5n, n=1,2,3,…

Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Если да, то какова ее разность?

Решение.

Поскольку a_n+1=3+5(n+1)

a_n+1+3+5n+5

a_n+1=a_n+5, при всех значениях n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению.

Из полученной формулы a_n+1=a_n+5 разность этой прогрессии равна 5.

Ответ: да, d=5

Интересный факт. a_n=a₁+d(n-1)

Выполним некоторую замену a_n=у; a₁=b; n-1=k; d=x

Какой вид приобрела формула? Ответ: y=kx+b

На что это похоже? Ответ: формула линейного уравнения.

Если формула линейного уравнения, то… (Можно построить график)

На интерактивной доске обучающийся строит график арифметической последовательности:2;4;6; 8; 10;12.

Вывод. Графиком арифметической последовательности является прямая.

Слайд24. Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой a_n=kn+b, где k и b – некоторые числа.

Итоги урока. Выводы. Слайд 25.

А сейчас подумайте, вспомните наш урок и попытайтесь ответить, достигли ли мы с вами целей урока, было ли интересно и понятно, пригодится ли нам это в жизни?

При выходе из кабинета оставьте на доске «рожицу» (своё восприятие урока)

Домашнее задание. п.4.2. №596 (из учебника) Задание 12 № 137303 (из открытого банка заданий для подготовки к ОГЭ)

Задание 12 № 137303. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1. 28+2n 2) 30+2n 3) 32+2n 4)2n

Решение.

Количество мест в рядах кинозала образуют арифметическую прогрессию. По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеем:

a_n = a₁+d(n-1)

a_n = 30+2(n-1)

a_n = 30+2n-2

a_n = 28-2n

Таким образом, правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1.

Спасибо за урок. Вы хорошо потрудились.