Конспект урока по теме: "Решение систем уравнений второй степени" (Алгебра, 9 класс)

9 класс АЛГЕБРА Урок № __

Тема: Решение систем уравнений второй степени.

Цель: рассмотреть способ подстановки для решения систем уравнений.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Учитель и ученики приветствуют друг друга. Выявляются отсутствующие

II. Сообщение темы и цели урока

III. Повторение и закрепление раннее пройденного материала

1. Проверка выполнения домашнего задания

2. Контроль усвоения материала

Вариант I

1. Графически решите систему уравнений

2. Для каждого значения параметра а найдите число решений системы уравнений

Вариант II

1. Графически решите систему уравнений

2. Для каждого значения параметра а найдите число решений системы уравнений

IV. Изучение нового материала

Рассмотрим теперь аналитическое решение систем уравнений с двумя переменными. Наиболее распространённый способ решения систем – способ подстановки. Для этого необходимо:

1) выразить из более простого уравнения одну переменную через другую;
2) подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной неизвестной;
3) решить полученное уравнение с одной переменной;
4) найти соответствующие значения второй неизвестной.

Пример 1

Решим систему уравнений

Второе уравнение системы является линейным (первой степени) и, соответственно, более простым. Выразим из него переменную у через переменную х: у = 2х – 3. Подставим это уравнение в первое уравнение и получим уравнение с переменной х:

х(2х – 3) + 5х + (2х – 3) = 8, или (после преобразований) -8х+4=0. Корни этого квадратного уравнения: х₁ = 2 и х₂ = . Используя формулу у = 2х – 3, найдём соответствующие значения переменнной у: у₁ = 2∙2 – 3 = 1 и у₂ = 2∙ – 3 = - .

Итак, система имеет два решения: (2; 1) и .

Во многих случаях оба уравнения системы являются нелинейными. Иногда способ подстановки пригоден и для таких систем.

Пример 2

Решим систему уравнений

Очевидно, что х ≠ 0. Из второго уравнения выразим переменную у через х: у = и подставим в первое. Получаем уравнение + 5∙3 – 2∙ = -2, или (после преобраований) +17 -18=0. Корни этого биквадратного уравнения: х₁ = 1 и х₂ = -1. По формуле у = найдём соответствующие значения у: у₁ = = 3 и у₂ = = -3. Итак, система уравнений имеет два решения: (1;3) и (-1;-3).

Способ подстановки полезен и при решении систем уравнений с параметрами.

Пример 3

При всех значениях параметра а определите число решений системы уравнений

Из второго уравнения выразим переменную у через х: у = а + х. Подставим это выражение в первое уравнение и получим: + (а – х)² = 1, или - 2ах + а² – 1 = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения D = 4(2 - а²). Число решений уравнения (а следовательно, и системы уравнений) определяется знаком дискриминанта.

Если D 0, или а ∈ (- , система имеет два решения (пересечение прямой и окружности – случай а).

Если D = 0, или а ∈ , система имеет одно решение (касание прямой и окружности – случай б).

Если D или а ∈ (-∞;- ⋃( , система не имеет решений (прямая не пересекает окружность – случай в).

Заметим, что в ряде случаев при решении используют способ сложения (как частный случай способа подстановки).

Пример 4

Решим систему уравнений

Сложим уравнения системы и получим: = 32, или =4, откуда х+1 = 2 и х₁ = 1 и х₁ = -3. Подставим выражение =4, например, в первое уравнение системы. Получим: 3 ∙ 4 - 2 = 10, откуда = 1, или у + 3 = 1 и у = -2.

Итак, система уравнений имеет два решения: (1; -2) и (-3; -2).
Остальные способы решения систем уравнений будут рассмотрены в конце главы.

V. Решение упражнений

№429; 431; 433 – 437; 443.

VI. Домашнее задание

№ 430; 432; 451.

VII. Оценивание