Конспект урока "Системы счисления"

гимназия «Дмитров» — 7 — 15.02.2019г.

“Системы счисления”.

(Конспект урока)

9А класс

учитель информатики Куликов С.Б.

Тема урока:

Системы счисления.

Цели урока:

Обучающая: Познакомить учащихся с понятиями “система счисления”, “основание системы счисления”, вывести формулу числа в позиционной системе счисления и научить переводить числа из одной системы счисления в другую.

Развивающая: Развить понимание разнообразия видов представления одной и той же числовой информации, попутно расширить математический кругозор элементами вычислительной математики. Определить, почему человек пользуется десятичной системой счисления, а вычислительная машина—двоичной.

Воспитывающая: Привить навык внимательной сосредоточенной работы, поскольку операции перевода чисел из одной системы в другую рутинны и утомительны.

Применяемые технологии:

• технология уровневой дифференциации

Актуализация:

Собеседование по вопросам:

— Что такое число?

— Что такое цифра?

— Какой системой счисления мы обычно пользуемся?

— Имеет ли значение, в каком месте числа находится цифра? Всегда ли это имеет значение?

— В чём различие между нашей десятичной системой счисления и римской (кроме знаков цифр),—римская ведь тоже десятичная система!

— Можно ли сложить римские числа привычным нам столбиком?

Теория:

Вводим определение системы счисления:

Система счисления—это способ записи чисел с помощью заданного набора знаков (цифр).

Системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от её позиции в записи числа. Например, в римской системе счисления (а это непозиционная система счисления) в числе XXXV (тридцать пять) вес цифры X в любой из трёх позиций одинаков и равен десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры зависит от её положения в числе. Например, в числе 252 обе двойки имеют разный вес (первая означает число сотен, а вторая—число единиц).

Само число означает запись:

2•100 + 5•10 + 2 1 = 252.

Далее вводим понятие:

Основание позиционной системы счисления—это количество знаков, применяемых для изображения цифр в данной системе.

Система счисления, которой мы пользуемся,—это позиционная система счисления с основанием десять, т. е. в ней имеется десять знаков для изображения цифр.

Уточняем, какие числа можно взять за основание позиционной системы счисления? (любое натуральное число, начиная с двух).

Получается, что позиционных систем счисления бесчисленное множество, например: двоичная, троичная, четверичная и т. д., и наша десятичная система только лишь частный случай из этого множества.

Пусть q– основание системы, тогда число a_n-1a_n-2…a₁a_0, a_-1…a_-m будет равно:

a_n-1q^n-1 + a_n-2q^n-2 + … + a₁q¹ + a₀q⁰ + a_-1q^-1 + … + a_-mq^-m

где a_i – цифры, n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Заметим, что a_n-1q^n-1 + a_n-2q^n-2 + … + a₁q¹ + a₀q⁰ — целая часть числа, а

a_-1q^-1 + … + a_-mq^-m — дробная.

Прошу привести примеры чисел из различных систем счисления.

(Например: 1011,1₂ = 1•2³ + 0•2² + 1•2¹ + 1•2⁰ + 1•2^-1 — в двоичной системе).

Для общения с ЭВМ используются, как правило, следующие системы счисления: двоичная (используются цифры 0, 1), восьмеричная (используются цифры 0,1, …, 7) и шестнадцатиричная (0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F—всего шестнадцать символов).

Сама машина работает в двоичной системе.

Далее отмечаем, что алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления одинаковы во всех системах счисления, поскольку они построены по одному и тому же принципу, значит они такие же, как в десятичной системе. Так это же счастье!

Вспоминаем эти правила—знакомые, но уже забытые.

Теперь составим двоичные таблицы сложения и умножения.

Арифметические операции в двоичной системе получаются очень простыми.

С ложение: 11010011

10101001

101111100

В ычитание: 11010011

10101001

101010

У множение: 110101

1011

110101

110101

110101

1001000111

Д еление: 110111 1011

1011 101

1011

1011

0

Предлагаю самостоятельно произвести арифметические операции в двоичной системе над числами:

100011₂ и 101₂ — для учеников первого уровня и

100111₂ и 1101₂ — для учеников второго уровня.

Переведём теперь число из недесятичной системы счисления (например—из двоичной) в десятичную. Для этого:

Число в двоичной системе (или любой другой) надо представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Например: 1011₂ = 1000₂ + 10₂ + 1₂ = 1 • 2³ + 1 • 2¹ + 1 • 2⁰ = 11₁₀

Если же надо произвести обратное преобразование, т. е. перевести число из десятичной системы в какую-нибудь другую, то и алгоритм будет обратным: основываться не на умножении, а на делении. Итак:

При переводе десятичного числа в другую систему счисления его необходимо последовательно делить на основание той системы, пока остаток от деления не станет меньше основания.

Число представляется как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Например: 75₁₀ = 113₈ 75 8

72 9 8

3 8 1

1

Особый случай при переводе чисел из двоичной системы представляют восьмеричная и шестнадцатиричная системы, так как они имеют в основании степень двойки: 8 = 2³, а 16 = 2⁴. Это означает, что одну восьмеричную цифру заменят три двоичные цифры (триада), а одну шестнадцатиричную цифру заменят четыре двоичных цифры (тетрада). Поэтому при переводе используют таблицу:

Практическая часть:

1. Перевести десятичное число в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную систему счисления:

27₁₀ — для учеников первого уровня,

76₁₀ — для учеников второго уровня.

2. Для учеников первого уровня:

сложить и перемножить числа 110110₂ и 111₂ в двоичной форме и результат проверить в десятичной.

Для учеников второго уровня:

вычесть и разделить числа 111010111₂ и 11011₂ в двоичной форме и результат проверить в десятичной.

Обобщение:

Предлагаю выяснить, почему в вычислительной технике используется именно двоичная система?

— она наиболее проста и легко реализуется технически;

— она надёжна и помехоустойчива, поскольку требует минимальное число устойчивых состояний (всего – два);

— двоичная система позволяет использовать аппарат булевой алгебры для выполнения логических операций;

— двоичная арифметика предельно проста.

Тогда если двоичная система так проста, то почему мы ею не пользуемся? (она громоздка и непривычна).

Домашнее задание:

Для учеников первого уровня:

— произвести все арифметические операции над числами 84₁₀ и 14₁₀ в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах.

Для учеников второго уровня:

— самостоятельно разобрать (используя, например, книгу Л. З. Шауцуковой “Основы информатики”) перевод десятичных дробей из десятичной системы в двоичную.

— сложить и перемножить числа 6,75₁₀ и 2,25₁₀ в двоичной системе и проверить в десятичной.

г. Дмитров