Конспект урока Степень числа

Конспект урока

Тема урока: «Степень с отрицательным целым показателем»

8 класс

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Цель урока: сформировать понятие степени с отрицательным целым показателем, умение читать и записывать выражения, содержащие степени с отрицательным целым показателем; формировать умение находить значение числового выражения, содержащего степени с отрицательным целым показателем

Общеобразовательный аспект.

1. Продолжить формирование общеучебных умений и навыков:

• умение планировать свою деятельность при решении задач;

• умение контролировать свою деятельность при решении задач;

• умение рассуждать, обобщать, делать выводы;

• умение выполнять задания вычислительного и аналитического характера на всех этапах урока;

• умение работать по образцу и в сходной ситуации при первичном закреплении.

2. Продолжить формирование специальных умений и навыков:

• умение работать с учебником при объяснении нового материала;

• умение проводить решения, пользуясь теоретическими сведениями.

Развивающий аспект.

1. Продолжить развитие умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать изученные факты, выбирать рациональный способ решения.

1. Продолжить развитие логического мышления.

2. Развивать познавательный интерес учащихся к предмету.

Воспитательный аспект.

Реализовать комплексный подход к воспитанию.

1. Воспитание воли, умение доводить начатое до конца, преодолевать трудности.

1. Формировать самооценку знаний, критическое отношение к себе, творческую активность, аккуратность, дисциплину, внимание.

2. Расширять представление об окружающем мире.

Методы обучения:

• по источнику приобретённых знаний – словесные, практические, наглядные;

• по уровню познавательной активности – проблемный, частично-поисковый.

Ход урока

1. Организационный момент.

- Добрый день, дорогие ребята! Давайте улыбнемся друг другу и пусть хорошее настроение сохраниться у вас в течение урока, но при этом будьте внимательны. Думайте, спрашивайте, предлагайте – так как дорогой к истине мы будем идти вместе. 

2. Актуализация знаний

- Перед вами числа. На какие группы мы можем разбить эти числа?

(-2)³ 0,4; _{ }; 3³ 5; -2,15; (1/7)²; _{ }; -6; (-6)²

(ответ: на числа и числа, записанные в виде степени)

- Для каждого числа, записанного в виде степени, назовите показатель и основание степени

- Дайте определение степени с натуральным показателем.

(Ответ. Произведение n одинаковых множителей, равных a. (Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называют произведение п множителей, каждый из которых равен а.)

- Что можно сказать о виде числа n?

Ответ. n – натуральное число.

- Найдите значение выражений записанных в виде степени

(-8, 27, 1/49, 36)

Запишите в виде степени и вычислите: а) 2³·2²; б)5⁷:5⁴; в)(2³)²; г) 10⁰ д) 4²:4⁵

- Что нужно вспомнить для выполнения этого задания

(ответ: свойство степеней с натуральным показателем)

- Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями

(Ответ: При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем, а основания оставляют прежними. ₎

- Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями

(Ответ: При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычисляют показатель степени делителя, а основание оставляют прежним. )

- Сформулируйте правило возведение степени в степень

(Ответ: При возведении степени в степень показатели перемножают, а основание оставляют прежним ₎

- Чему равна степень числа а с показателем 0

Ответ: Для любого числа а, не равного нулю, а⁰=1

(ответы: 2⁵=32, 5³=125, 2⁶=64, 1, 4^-3)

1. Постановка проблемы.

- Почему не смогли выполнить последнее задание? Сформулируйте свое затруднение.

(Ответ: Мы не знаем, что означает отрицательная степень и какое число получится. Мы не можем вычислить значение выражения, так как не знаем, как возводить число в отрицательную степень).

- Сформулируйте тему урока

(Ответ: Степени с целым отрицательным показателем.)

-Откройте тетради запишите число, классная работа, тему урока.

- Какая цель стоит перед нами?

(Ответ: научится находить значение степени с отрицательным показателем)

- Какие задачи вы поставите? Что для этого нужно сделать?

(Ответ: 1.Определить – что называется степенью с отрицательным показателем?

2. Узнать, как возводить число в отрицательную степень.

3.Научиться применять новые знания при решении заданий.)

1. Открытие учениками нового знания.

- Чтобы решить 1 задачу, где мы можем найти информацию

(Ответ: В учебнике.)

- Открываем учебник страница 59-60

- Сформулируйте правило вычисления степени с отрицательным показателем

Запишите в тетради формулу:

a^-n = l/aⁿ, a≠O, n-натуральное число

Историческая справка.

Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англича­нин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесо­образности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В од­ном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А², А³ и т.д., так я ... вместо 1/а, 1/а², 1/а³ пишу а^-1, а^-2, а^-3и т.д."

- Имеет ли смысл выражение 0^-5?

(Ответ. Нет, т.к. основание степени с отрицательным показателем должно быть отлично от нуля.

- 0ⁿ имеет смысл только при положительных зна­чениях n.

- Мы определили, что называют степенью с отрицательным показателем?

(ответ: да, a^-n = l/aⁿ, a≠O, n-натуральное число)

- Итак, как возвести 4^-3?

Ответ: 4^-3=1/4³= 1/64

1. Первичное усвоение новых знаний

- Мы выполнили 2 задачу, поставленную перед нами?

(ответ: да, мы узнали, как вычислить степень с отрицательным показателем)

- Какая 3 задача перед нами стоит

( ответ: Научиться применять новые знания к решению заданий)

- Для этого я предлагаю вам следующие задания

1. Первичное закрепление.

Представьте степени в виде дробей с положительными показателями. (Один ученик у доски выполняет задание 1 и 2, делает самооценку)

а) 8^-3= 1/8³, (а + b)-², (ab)-³.

замените дробь степенью

б) 1/6⁷ = б^-7;

1/у⁷ = у^-7;

1/7 = 7^-1.

- А теперь карточки с заданием для работы . Выполните задание.

- Представьте степени в виде дробей с положительными показателями

- Ответы впишите в таблицу.-

- А теперь проверим получившиеся ответы

- Оцените свою работу с этим упражнением

- А сейчас займемся вычислениями (Один ученик у доски, самооценка)

4^-2= 1/4²= 1/16;

(2/3)^-3 = 1/(2/3)³ = 27/8 = 3 3/8;

0,01-² = (1/100)-²= 10000.

- Подведем промежуточный итог, Как возвести число в отрицательную степень?

1. Самостоятельная работа

- а теперь предлагаю вам выполнить самостоятельную работу по вариантам

Вариант 1

1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

1. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

а) 5^-7; б) 7^-1; в) а^-11; г) х^-1; д) (2у)^-5

1. Вычислите:

а) 2^-3; б) (-5)^-1; в) ; г) (0,2)^-3; д) ; е) 6^-1+2^-2; ж) 278⁰ – 0,1^-2.

4. Представьте в виде дроби и сократите: (а³ +3а⁴ – а⁶) : (3 – а² + а^—1)

5. Известно, что 3^у=а. Найдите: 3^2у; 3^3у+1; 3^-у; 9^2у

Вариант 2

1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

1. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

а) 7^-3; б) 2^-1; в) у^-10; г) с^-1; д) (3а)^-4

1. Вычислите:

а) 3^-2; б) (-5)^-2; в) ; г) (0,1)^-4; д) ; е) 8^-1+6^-2; ж) 456⁰ – 0,1^-3.

4. Представьте в виде дроби и сократите: (х⁴ +2х⁶ + х⁷) : (2 + х + х^—2)

5. Известно, что 5^п=в. Найдите: 5^3п; 5^2п-1; 5^-п; 25^3п

1. Этап контроля и оценки. Итог урока (рефлексия деятельности)

- Все ли задачи поставленные в начале урока мы смогли решить?

– Что нового вы сегодня узнали?

- По какому правилу следует возводить числа в отрицательную степень?

- А я бы хотела подвести итог нашего урока словами известного математика Вейерштрасса:

«Нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе».

Если минус нам не нравится,

С этим горем можно справиться:

Знак меняем в показателе,

Степень пишем в знаменателе,

Сверху ставим единичку.

Получается? Отлично!

Коль числитель единица,

Степень в знаменателе,

Пишем мы ее как степень

С целым показателем:

Дробную черту стираем,

Единицу убираем

И еще, конечно, минус

В показатель добавляем

1. Домашнее задание

§ 8 . № 235, 244

История возникновения степени числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней.

В  своей знаменитой «Арифметике» греческий учёный Диофант описывает первые натуральные степени чисел так: «Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения не­которого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умно­жения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

Немецкие математики Средневековья стремились ввести единое обозначение и сократить число символов. Книга Михеля Штифеля «Полная арифметика» сыграла в этом значительную роль.

Но математики продолжали искать более простую систему обозначений степени, так как её обозначения были не удобны.

Француз, бакалавр медицины Никола Шюке смело ввёл в свою сим­волику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента.

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателями берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса и Исаака Ньютона.

6