Тема: «Формулы корней квадратных уравнений»
Цель урока:
образовательные: вывести и обосновать формулы корней квадратных уравнений, отработать умения применять формулы при решении простейших квадратных уравнений;
развивающие: развивать внимание, логическое мышление для сознательного восприятия учебного материала;
воспитательные: воспитывать познавательную активность, чувство ответственности; аккуратность, трудолюбие.
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Ход урока.
І. Организационный момент.
Проверить готовность класса к уроку.
Отметить, что решение квадратных уравнений мы продолжаем и на уроке найдем новые способы для решения любых квадратных уравнений, а для этого выведем формулу для запоминания, по которой определим алгоритм решения квадратных уравнений.
II. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
На доске двумя учениками записаны решения квадратных уравнений, которые были заданы на дом.
1. Решите уравнения: а) х2 = 25; б) (х + 2)2 = 0; в) (х – 1)2 = 25.
2. Представьте в виде квадрата левую часть уравнения и решите его:
а) х2 + 2х + 1 = 0; б) х2 – 8х + 64 = 0.
IIІ. Изучение нового материала.
Решим уравнение выделением квадрата двучлена:
х2 – 6х + 8 = 0;
х2 – 6х + 9 – 9 + 8 = 0; (х – 3)2 = 1; х -3 = 1 х – 3 = -1
х1 = 4 х2 = 2.
Нравится ли этот способ? Нет! Тогда будем рассуждать иначе:
Обозначим: D = b2 – 4ac – дискриминант квадратного уравнения («различитель» – фр.). Что же он «различает»? [количество корней уравнения] А именно:
1) Если D корней нет.
2) Если D = 0, то – один корень.
Если D 0, то – два корня.
Это и есть формула корней квадратного уравнения. Можно ли ее применять для случая D = 0? [Да, проверим это] Именно поэтому принято считать, что если квадратное уравнение имеет одно решение, то это – два совпадающих корня! (мы с этим уже сталкивались).
Примеры. Решите уравнения:
1) 3x2 – 7x + 4 = 0.
Выделять квадрат двучлена – громоздко, поэтому: D = (–7)2 – 434 = 1;
x = ; x = 1 или x = .
Ответ: 1; .
2)
– корней нет.
ІV. Из истории возникновения формулы корней квадратного уравнения.
Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 г. в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:
“Обезьянок резвых стая
Вcласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Уже в то время он знал о двузначности корней квадратных уравнений
(x/8)2 + 12 = x
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в “Книге абака”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. И лишь в XVII веке, благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид, о котором мы с вами говорим сегодня на уроке.
V. Первичное осмысление и закрепление изученного.
№ 615.
1) х2 – 4х + 3 = 0
2) х2 + 2х – 3 = 0
3) х2 + 3х – 4 = 0
4) х2 – 4х – 21 = 0
5) х2 + х- 56 = 0
VI. Подведение итогов урока
– Какие уравнения мы сегодня решали?
– Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
– С помощью чего мы их решали?
Когда D = 0, то …
D D 0, то …
VII. Информация о домашнем задании: §3 п.18 № 614, № 616(1 – 5)