Сегодня мы рассмотрим пространственную геометрическую фигуру — «круглое» геометрическое тело — конус. | ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_1.png) |
Давайте вспомним, какие предметы, окружающие нас, имеют форму конуса. | ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_2.jpeg) ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_3.png) | ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_4.png) ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_5.jpeg) |
Теперь рассмотрим, как строится конус. Сначала изображаем в плоскости α окружность L с центром O и прямую OP, перпендикулярную к этой окружности. Каждую точку окружности соединим прямыми с точкой P. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной, а прямая OР – осью конической поверхности. | ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_6.png) ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_7.jpeg) ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_8.jpeg) |
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна плоскости основания. Отрезок OP называется высотой конуса. Точка P называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса. Следует запомнить, что все образующие конуса равны друг другу. | ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_9.jpeg) Р – вершина конуса ОР– ось конуса, ОР основанию ОР–высота конуса ОВ=r –радиус основания конуса, РА, РВ– образующие конуса (РА=РВ) |
Ещё один способ построения конуса – вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника МОР вокруг катета МО. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы МР, а основание — вращением катета РО. | М Р![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_12.png) О ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_14.jpeg) |
Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. 1.Секущая плоскость проходит через ось конуса. В этом случае сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым. | ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_15.png) АВР– Осевое сечение конуса, ΔАВР –равнобедренный АВ=2r FH–образующая конуса |
2.Секущая плоскость перпендикулярна оси ОР конуса. В этом случае сечение конуса представляет собой круг с центром О, расположенным на оси конуса. Радиус r1 этого круга равен , где r - радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников РОМ и РО1М1. Докажем, что треугольники подобны. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу. Треугольники РОМ и РО1М1. подобны, так как имеют общий острый угол Р, следовательно, сходственные стороны пропорциональны. | ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_16.jpeg) ОР В сечении круг: r1– радиус сечения r1= r– радиус основания конуса Δ ΔРОМ ΔРО1М1.:тре-ки прямоугольные, Р–общий, r1= ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2017/10/01/s_59d0ca5b27474/700240_25.png) |
Задача Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса. Построим чертеж и запишем, что дано и что найти по условию задачи. Решение: Рассмотрим треугольник ОРВ, он прямоугольный, так как РО перпендикулярно АВ и, по определению конуса, — его высота, значит угол РОВ=90⁰. Из треугольника ОРВ по теореме Пифагора найдем РВ — гипотенузу треугольника и образующую конуса. РВ=![](data:image/png;base64,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) РВ= = =17см. | Решение ∆ОРВ- прямоугольный, так как РО┴АВ (высота конуса), значит РОВ=90⁰. Из ∆ОРВ найдем РВ- образующая конуса- по теореме Пифагора РВ=![](data:image/png;base64,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) РВ= = =17 |
Историческая справка! Коническое сечение есть пересечение плоскости с круговым конусом. Впервые рассмотрел их Аполлоний, который в математике известен своими «Коническими сечениями», в которых он дал полное изложение теории, причем развил аналитические и проективные методы. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола. а) Секущая плоскость пересекает все образующие конической поверхности в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая — эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса. б) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конической поверхности; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая — парабола, целиком лежащая на одной полости. в) Секущая плоскость пересекает обе полости конической поверхности; линия пересечения — гипербола — состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса. | |