Конус математика

ПЛОЩАДЬ РАЗВЁРТКИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

• AK= l
• ∟ AKA’= φ

φ

φ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• 1. ИЗГОТОВЬТЕ РАЗВЁРТКУ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• 2. ИЗМЕРЬТЕ ДЛИНУ ОБРАЗУЮЩЕЙ (РАДИУС КРУГОВОГО СЕКТОРА)
• l=16. 2 см.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• 3. Измерьте центральный угол развёртки боковой поверхности конуса:
• α =122 о

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• 4. Выполните вычисления по формуле:
• S c = π l 2 φ /360
• Пример:
• S c = π *16,2 2 *122 /360≈ 88,94 π ≈ 279,4 см 2 .

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• 5. Склейте из заготовки развёртки боковой поверхности модель конуса:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• 6. Измерьте радиус основания конуса:
• R= 5.5 см

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• КАК ВЫРАЗИТЬ ВЕЛИЧИНУ УГЛА φ –ЦЕНТРАЛЬНОГО УГЛА РАЗВЁРТКИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА –ЧЕРЕЗ РАДИУС ОСНОВАНИЯ R И ДЛИНУ ОБРАЗУЮЩЕЙ l КОНУСА ?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• КАК ВЫЧИСЛИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ?
• С=2π R ,
• АК= l,
• С=2π l.

l

l

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• КАК ВЫЧИСЛИТЬ ДЛИНУ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ?
• С 1 = π l /180 –длина дуги величиной 1 о .

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• КАК ВЫЧИСЛИТЬ ДЛИНУ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ?

φ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• ДЛИНА ДУГИ АА ’ СЕКТОРА РАВНА ДЛИНЕ ОКРУЖНОСТИ ОСНОВАНИЯ КОНУСА :

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

• ПОДСТАВЬТЕ НАЙДЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ φ В ФОРМУЛУ ПЛОЩАДИ РАЗВЁРТКИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

• ПОЛУЧАЕМ:

ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА:

S БПК = π R l

R – радиус основания, l – длина образующей конуса.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

ВЫПОЛНИТЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ МОДЕЛИ КОНУСА ПО ФОРМУЛЕ S БПК = π R l .

S БПК = π*5,5*16,2= 89,1π ≈279,9π (см 2 )

ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

• S ппк = S бпк + S осн
• S ппк = π Rl + π R 2
• S ппк = π R(R+l)

К

О

А

В

ЗАДАЧА 1.

• По данным чертежа (ОВ=3, КВ=5) вычислите площадь боковой и площадь полной поверхности конуса:

К

5

О

3

В

А

О

ЗАДАЧА 1

• Дано: конус; R=3, l =5.
• Найти: S БПК , S ппк .
• Решение.
• S БПК = π *3*5=15 π ;
• S осн = π *3 2 =9 π ;
• S ппк =15 π +9 π =24 π .

К

5

О

3

В

О

А

ЗАДАЧА 2.

К

• По данным чертежа (ОВ=5, КО=12) вычислите площадь боковой и площадь полной поверхности конуса:

12

5

В

А

О

ЗАДАЧА 2.

К

• Дано: конус; R= 5 , h =12.
• Найти: S БПК , S ппк .
• Решение.
• l 2 = 144+25=169 , l= 13 ;
• S БПК = π *13*5= 6 5 π ;
• S осн = π *5 2 =25 π ;
• S ппк = 6 5 π +25 π ; S ппк = 9 0 π .

12

5

В

А

О

ЗАДАЧА 3.

• По данным чертежа (ОВ= 6 , ∟АКО=30 о ) вычислите площадь боковой и площадь полной поверхности конуса:

К

о

30

6

В

А

О

ЗАДАЧА 3.

• Дано: конус; R=6,∟ АКО=30 о .
• Найти: S БПК , S ппк .
• Решение.
• l = R / sin 30 о ,l=6 / 0.5= 12 ;
• S БПК = π * 12 *6= 72 π ;
• S осн = π *6 2 =36 π ;
• S ппк = 72 π +36 π ; S ппк = 108 π .

К

о

30

6

В

А

О

ЗАДАЧА 4.

А

• РАВНЫ ЛИ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДВУХ КОНУСОВ, ОБРАЗОВАННЫХ ПРИ ВРАЩЕНИИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА АВС ВОКРУГ КАТЕТОВ?

В

С

В

С

А

В

С

С

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 4

• 1) R=ВС = a ; S ППК 1 = S БПК 1 + S осн1 = π a с+π a 2 = π a ( a + с).
• 2) R=АС = b ; S ППК 2 = S БПК 2 + S осн2 = π b с+π b 2 = π b (b + с).
• Если S ППК 1 = S ППК 2 , то a 2 +a с = b 2 +bc, a 2 -b 2 +ac - bc=0, (a-b)(a+b+c)=0. Т.к a , b , c – положительные числа (длины сторон треугольника), то равенство верно только в случае, если a = b .

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

УЧЕБНИК СТЕРЕОМЕТРИИ ПОД РЕД. Л. С. АТАНАСЯНА - п.55, 56; № 548, № 561.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

ЛИТЕРАТУРА:

• 1. ГЕОМЕТРИЯ 10 - 11 классы – Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., М., «Просвещение», 2008;
• 2. «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕБУСЫ И ШАРАДЫ» - Н.В. Удальцова, библиотечка «Первого сентября», серия «МАТЕМАТИКА», выпуск 35, М., Чистые пруды, 2010.