«Объем цилиндра. Объем конуса. Объем усеченного конуса»

Набиева Роза Мусаевна

г. Южно-Сухокумск

Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах.

Пойа Дьёрдь

Объем

Объем тела – это положительная величина той части пространства, которую занимает геометрическое тело.

Свойства объемов:

• Равные тела имеют равные объемы
• Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

V F =V F 1 +V F 2

Равновеликими

называются тела, объемы которых равны

V F 2 =V F1

F 1

F 2

Устный опрос

• Конус можно получить путем вращения

а) равнобедренного треугольника относительно основания;

б) прямоугольника относительно одной из сторон;

в) прямоугольного треугольника относительно одного из катетов;

г) прямоугольного треугольника относительно гипотенузы.

• Измерениями конуса являются ….

Высота, радиус, образующая.

• Измерения конуса связаны между собой

а) теоремой о трех перпендикулярах;

б) теоремой Пифагора.

Устный опрос

• Выберите правильные определения цилиндра

Выберите несколько из 5 вариантов ответа:

1) это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её

2) это тело, которое состоит из двух кругов, что совмещаются при параллельном переносе

3) это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон как оси

4) это многогранное тело

5) это тело, ограниченное поверхностью и кругами

Устный опрос

• Какой геометрической фигурой является сечение прямого цилиндра плоскостью, параллельной его оси?

Выберите один из 5 вариантов ответа:

1) произвольная фигура

2) прямоугольник

3) круг

4) квадрат

5) овал

Устный опрос

• Определение усеченного конуса.

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1.Тело, ограниченное поверхностью и кругами.

2.Тело, ограниченное конической поверхностью и двумя кругами.

3.Тело, ограниченное конической поверхностью и кругами.

4. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом.

Устный опрос

• Что представляет осевое сечение усеченного конуса?

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1. Равнобедренный треугольник

2. Равнобедренная трапеция

3. Прямоугольный треугольник

4. Прямоугольная трапеция

Историческая справка

Конус - в переводе с греческого «кегля»,

«сосновая шишка»,

«верхушка шлема»,

остроконечный предмет,

как термин встречается у Евклида, Архимеда.

• Цилиндр - в переводе с греческого «валик»
• «вращаю»,
• «катаю»,
• как термин встречается у Евклида, Аристарха.

Математический диктант.

1) Написать формулу для вычисления объёма цилиндра.

2) Написать формулу для вычисления объёма конуса.

3) Написать формулу для вычисления объёма усечённого конуса.

4) Написать формулу для вычисления площади круга.

5) Написать формулу для вычисления длины окружности.

6) Что произойдёт с объёмом цилиндра, если радиус цилиндра

увеличить в 3 раза, а высоту уменьшить в 5 раз?

7) Что произойдёт с объёмом конуса, если его высоту

увеличить в 8 раз, а радиус основания уменьшить в 4 раза?

V=Sh=  r 2 h

увеличится в 1,8 раз

уменьшится в 2 раза

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 20

Ответ: 60

№ 1

Высота бака цилиндрической формы равна 40 см, а площадь его основания 150 квадратных сантиметров. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

Ответ: 6 литров

№ 2

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Ответ: 210 мл

Примеры моделей цилиндра

в окружающей жизни

Примеры моделей цилиндра в окружающей жизни

Национальное жилище казахов – юрта

Очень часто мы встречаем конус в элементах архитектуры. Ярким примером этого наблюдения является конус, который лежит в основании крыш домов. Я хотела бы проиллюстрировать мои наблюдения.

В природе мы часто встречаем конус. Например, в песчаной пустыне Сахаре, где сами холмы представляют собой конус.

А так же в космическом пространстве.

Из сладкого..

И даже среди рыболовных снастей..

Немного техники..

№ 3

Найдите объем цилиндра, если радиус основания равен 2 см, а высота 5 см.

V=  r 2 h

20  см 3

№ 4

Найдите объем конуса, если его высота 3 см, а радиус основания 4 см.

16  см 3

№ 5

Найти объем усеченного конуса, если его высота 5 см, а радиусы оснований 4 см и 1 см.

35  см 3

Дельфин

Физминутка для глаз

№ 6

Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметра 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г\см 3 ?

Решение:

H = 7 м

d=18 м

ρ = 0,85 г\см 3

m = ?

m= V*ρ

1) V ц  = πR 2 H = π* 81*7 = 567π м 3  = 567π * 10 6 см 3

2) m= V*ρ ≈ 1513 т

Ответ: 1513 т.

Найдите объем кошки Мурки, если после окунания ее в ведро с водой в ведре осталось 6л воды, а до окунания было 8,5л .

2,5л

2 вариант

• Радиусы оснований усеченного конуса равны 10 см и 6 см, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 0 . Найти высоту конуса.

а) 6 см; б) 3 см; в) 4 см; г) 12 см.

2. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60 0 и равна 4 см. Найти площадь осевого сечения конуса.

а) 8 см 2 ; б) 16 см 2 ; в) 4 см 2 ; г) 8 см 2 .

3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 12см 2 , высота – 2 см. Найти радиус основания.

а) 3 см; б) 4 см; в) 5 см; г) 3 см.

1 вариант

• Радиусы оснований усеченного конуса равны 12 см и 6 см, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 0 . Найти высоту конуса.

а) 3 см; б) 4 см; в) 6 см; г) 5 см.

2. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 0 и равна 8 см. Найти площадь осевого сечения конуса.

а) 8 см 2 ; б)16 см 2 ; в) 4 см 2 ; г) 16 см 2 .

3. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а радиус основания - 3см. Найти высоту цилиндра.

а) см; б) 12 см; в) 5 см; г) 10 см.

1 вариант

в

2 вариант

б

г

в

в

г

Это интересно:

В геологии существует понятие "конус выноса". Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород, вынесенных горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

В биологии есть понятие "конус нарастания". Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

"Конусами" называется семейство морских молюсков подкласса пережнежаберных. Укус конусов очень опасен. Известны смертельные случаи.

В физике встречается понятие "телесный угол". Это конусообразный угол, вырезанный в шаре.

По горизонтали. 1. Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки. 2. Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса. 3. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 4. Угол между высотой и плоскостью основания конуса. 5. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его.

По вертикали. 1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Плоская фигура, при вращении которой образуется усечённый конус. 3. Тело вращения, являющееся верхней частью архитектурного сооружения. 4. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара. 5. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 6. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 7. Тело вращения, об устойчивости движения которого написана известная работа великой русской женщины – математика.

3

1

К

У

П

Л

К Р У Г

О

Н

С

2

5

Ш

Р

Т

А

П

Е

И

2

2

7

2

О Б Р А З У Ю Щ А Я

6

Л

А

С

Ф

Е

А

4

Д

А

Е

Т

3

Ц И Л И Н Д Р

4

П Р Я М О Й

5

Т О Р

№ 7

4 м

Найдите объем бункера

с зерном, если его

высота 7м, высота

конической части 2м, а

диаметр 4м.

7м

2м

Решение

V=V ц +V к

4 м

V ц =  r 2 h

r=2 м

h =7-2=5(м)

V ц = 20  ( м 3 )

7м

V=V ц +V к=20+

2м

Ответ:

№ 8

Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем исходного конуса, если объем меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см 3 .

Решение:

РО=5 см, РО1=2 см; РО – высота конуса

Тогда

подготовить проект по теме:

«Цилиндры и конусы вокруг нас».

Задание «Мы – поэты»

Творческое задание.

Из слов урок, цилиндр, конус, высота, радиус, тема, круг, сечение, плоскость, площадь, объём и т.д. придумать четверостишие.

Алгоритм

• Знать
• Различать
• Применять

Рефлексия

Выполнили ли мы цели данного занятия на Ваш взгляд?

Какие затруднения возникли у Вас в ходе занятия?

С какими заданиями справились успешно?

Чему Вы сегодня научились?

Что еще Вам нужно уточнить по этой теме? 

Выводы по уроку

- Вот и подошёл к концу урок, посвящённый вычислению объёмов тел вращения. Где бы вы ни были после окончания школы, всюду вы встретите круглые тела: кирпич с отверстием, графитные стержни, резервуары нефтеперерабатывающих заводов, вёдра и подшипники, вулканы и их кратеры, воронки для переливания жидкостей и смерчи. Словом, вам придётся самостоятельно моделировать жизненные ситуации и помогут вам в этом тела вращения и их формулы.

[email protected]

«Наука изощряет ум;

ученье вострит память.»

Козьма Прутков